洛必達(dá)法則75708

1、第二節(jié) 洛必達(dá)法則在第一章中，我們?cè)?jì)算過(guò)兩個(gè)無(wú)窮小之比以及兩個(gè)無(wú)窮大之比的未定式的極限. 在那里，計(jì)算未定式的極限往往需要經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危D(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限的形式進(jìn)行計(jì)算. 這種變形沒(méi)有一般方法，需視具體問(wèn)題而定，屬于特定的方法. 本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作為工具，給出計(jì)算未定式極限的一般方法，即洛必達(dá)法則. 本節(jié)的幾個(gè)定理所給出的求極限的方法統(tǒng)稱為洛必達(dá)法則.分布圖示洛必達(dá)法則 例1-2 例3 例4 例5 例6-7綜合應(yīng)用 例8 例9 例10 例11 例12 例13 例14 例15 例16 例17 例18 例19 例20 例21 例22 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習(xí) 習(xí)題3-2 返回內(nèi)容要點(diǎn)一、

2、未定式的基本類型：型與型； 二、未定式的其它類型：型，型，型 (1) 對(duì)于型，可將乘積化為除的形式，即化為或型的未定式來(lái)計(jì)算. (2) 對(duì)于型，可利用通分化為型的未定式來(lái)計(jì)算. (3) 對(duì)于型，可先化以為底的指數(shù)函數(shù)的極限，再利用指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性，化為直接求指數(shù)的極限，指數(shù)的極限為的形式，再化為或型的未定式來(lái)計(jì)算.例題選講 型例1 (E01) 求 解 原式例2 (E02) 求 解 原式注: 上式中, 已不是未定式,不能再對(duì)它應(yīng)用洛必達(dá)法則.例3 (E03) 求解 例4 (E04) 求 .解 注: 若求為自然數(shù)）則可利用上面求出的函數(shù)極限,得 例5 (E05) 求解 例6 (E06) 求 .解

3、原式例7 (E07) 求 (n為正整數(shù), ).解 反復(fù)應(yīng)用洛必達(dá)法則次，得原式注：對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)均為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大，但它們?cè)龃蟮乃俣群懿灰粯?，其增大速度比較: 對(duì)數(shù)函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù).例8 求解 注意到則有注: 洛必達(dá)法則雖然是求未定式的一種有效方法, 但若能與其它求極限的方法結(jié)合使用, 效果則更好. 例如能化簡(jiǎn)時(shí)應(yīng)盡可能先化簡(jiǎn)，可以應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小替換或重要極限時(shí)，應(yīng)盡可能應(yīng)用，以使運(yùn)算盡可能簡(jiǎn)捷.例9 (E08) 求解 當(dāng)時(shí), 故例10 (E09) 求 .解 所求極限屬于的未定式.但分子分母分別求導(dǎo)數(shù)后，將化為此式振蕩無(wú)極限,故洛必達(dá)法則失效，不能使用.但原極限是存在的,可用下法求得:例11 (E10) 求 (型) 解 對(duì)于型，可將乘積化為除的形式，即化為或型的未定式來(lái)計(jì)算.例12 (E11) 求 . (型) 解 對(duì)于型，可利用通分化為型的未定式來(lái)計(jì)算.例13 求 解 例14求解 原式直接用洛必達(dá)法則, 計(jì)算量較大. 為此作變量替換,令則當(dāng)時(shí), 所以型步驟例15 (E12) 求.解 這是型未定式，將它變形為，由于故 .例16 求 解 例17 (E13) 求 . ()解 將它變形為由于故例18 求解 例19 求解 由于 所以