高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)

1、導(dǎo)數(shù)（Derivative）是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)自變量的增量趨于零時，因變量的增量與自變量的增量之商的極限。在一個函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)時，稱這個函數(shù)可導(dǎo)或者可微分?？蓪?dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)。不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上就是一個求極限的過程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則來源于極限的四則運(yùn)算法則。導(dǎo)數(shù)（derivative function）亦名紀(jì)數(shù)、微商（微分中的概念），由速度變化問題和曲線的切線問題而抽象出來的數(shù)學(xué)概念。又稱變化率。如一輛汽車在10小時內(nèi)走了 600千米，它的平均速度是60千米小時.但在實(shí)際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以

2、縮短時間間隔，設(shè)汽車所在位置s與時間t的關(guān)系為sf（t）那么汽車在由時刻t0變到t1這段時間內(nèi)的平均速度是f(t1)-f(t0)/t1-t0當(dāng) t1與t0很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時間內(nèi)的運(yùn)動變化情況 .自然就把極限f(t1)-f(t0)/t1-t0 作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這就是通常所說的速度。一般地，假設(shè)一元函數(shù) yf(x )在 x0點(diǎn)的附近(x0a ，x0 a)內(nèi)有定義;當(dāng)自變量的增量x xx00時函數(shù)增量yf（x） f（x0）與自變量增量之比的極限存在且有限,就說函數(shù)f在x0點(diǎn)可導(dǎo)，稱之為f在x0點(diǎn)的（或變化率).導(dǎo)數(shù)的

3、幾何意義若函數(shù)f在區(qū)間I 的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，便得到一個以I為定義域的新函數(shù)，記作 f(x) 或y，稱之為f的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù)。函數(shù)yf（x）在x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)f（x0）的幾何意義：表示函數(shù)曲線在P0x0，f（x0） 點(diǎn)的切線斜率一般地，我們得出用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的增減性的法則：設(shè)yf(x )在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)。如果在（a，b）內(nèi)，f（x）0,則f（x）在這個區(qū)間是單調(diào)增加的。如果在（a，b）內(nèi)，f（x）0,則f（x）在這個區(qū)間是單調(diào)減小的。所以，當(dāng)f（x）=0時，yf(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是該函數(shù)曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。導(dǎo)數(shù)是

4、微積分中的重要概念。導(dǎo)數(shù)另一個定義：當(dāng)x=x0時，f(x0)是一個確定的數(shù)。這樣，當(dāng)x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱他為f(x)的導(dǎo)函數(shù)（derivative function）（簡稱導(dǎo)數(shù)）。y=f(x)的導(dǎo)數(shù)有時也記作y，即（如右圖） ：物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來表示。如，導(dǎo)數(shù)可以表示運(yùn)動物體的瞬時速度和加速度、可以表示曲線在一點(diǎn)的斜率、還可以表示經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈性。以上說的經(jīng)典導(dǎo)數(shù)定義可以認(rèn)為是反映局部歐氏空間的函數(shù)變化。 為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場）的變化，導(dǎo)數(shù)的概念被推廣為所謂的“聯(lián)絡(luò)”。 有了聯(lián)絡(luò)，人們就可以研究大范圍

5、的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎(chǔ)概念之一。注意：1.f(x)0且a不等于1) (x1/2)=2(x1/2)(-1) (1/x)=x(-2)補(bǔ)充一下。上面的公式是不可以代常數(shù)進(jìn)去的，只能代函數(shù)，新學(xué)導(dǎo)數(shù)的人往往忽略這一點(diǎn)，造成歧義，要多加注意。（3）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（和、差、積、商）：(uv)=uv(uv)=uv+uv(u/v)=(uv-uv)/ v2（4）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)，乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)-稱為鏈?zhǔn)椒▌t。導(dǎo)數(shù)是微積分的一個重要的支柱。牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻(xiàn)！編輯本段導(dǎo)數(shù)公式及證明這里將列舉幾個基本的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

6、以及它們的推導(dǎo)過程:基本導(dǎo)數(shù)公式1.y=c(c為常數(shù)) y=02.y=xn, y=nx(n-1)3.(1)y=ax ,y=axlna ；(2)y=ex y=ex4.(1)y=logaX, y=1/xlna (a0且a不等于1,x0) ；(2)y=lnx ,y=1/x5.y=sinx y=cosx6.y=cosx y=-sinx7.y=tanx y=1/(cosx)28.y=cotx y=-1/(sinx)29.y=arcsinx y=1/1-x210.y=arccosx y=-1/1-x211.y=arctanx y=1/(1+x2)12.y=arccotx y=-1/(1+x2)在推導(dǎo)的過程

7、中有這幾個常見的公式需要用到：1.y=fg(x),y=fg(x)g(x)fg(x)中g(shù)(x）看作整個變量，而g(x)中把x看作變量2.y=u/v,y=(uv-uv)/v23.y=f(x)的反函數(shù)是x=g(y），則有y=1/x證：1.顯而易見，y=c是一條平行于x軸的直線，所以處處的切線都是平行于x的，故斜率為0。用導(dǎo)數(shù)的定義做也是一樣的：y=c,y=c-c=0,limx0y/x=0。2.這個的推導(dǎo)暫且不證，因?yàn)槿绻鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的定義來推導(dǎo)的話就不能推廣到n為任意實(shí)數(shù)的一般情況。在得到 y=ex y=ex和y=lnx y=1/x這兩個結(jié)果后能用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)給予證明。3.y=ax,y=a(x+x)-

8、ax=ax(ax-1)y/x=ax(ax-1)/x如果直接令x0，是不能導(dǎo)出導(dǎo)函數(shù)的，必須設(shè)一個輔助的函數(shù)ax-1通過換元進(jìn)行計(jì)算。由設(shè)的輔助函數(shù)可以知道：x=loga(1+)。所以(ax-1)/x/loga(1+)=1/loga(1+)1/顯然，當(dāng)x0時，也是趨向于0的。而lim0(1+)1/=e,所以lim01/loga(1+)1/=1/logae=lna。把這個結(jié)果代入limx0y/x=limx0ax(ax-1)/x后得到limx0y/x=axlna。可以知道，當(dāng)a=e時有y=ex y=ex。4.y=logaxy=loga(x+x)-logax=loga(x+x)/x=loga(1+x/

9、x)x/xy/x=loga(1+x/x)(x/x)/x因?yàn)楫?dāng)x0時，x/x趨向于0而x/x趨向于，所以limx0loga(1+x/x)(x/x)logae,所以有l(wèi)imx0y/xlogae/x。也可以進(jìn)一步用換底公式limx0y/xlogae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)(-1)可以知道，當(dāng)a=e時有y=lnx y=1/x。這時可以進(jìn)行y=xn y=nx(n-1)的推導(dǎo)了。因?yàn)閥=xn,所以y=eln(xn)=enlnx,所以y=enlnx(nlnx)=xnn/x=nx(n-1)。5.y=sinxy=sin(x+x)-sinx=2cos(x+x/2)sin(x

10、/2)y/x=2cos(x+x/2)sin(x/2)/x=cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2)所以limx0y/x=limx0cos(x+x/2)limx0sin(x/2)/(x/2)=cosx6.類似地，可以導(dǎo)出y=cosx y=-sinx。7.y=tanx=sinx/cosxy=(sinx)cosx-sinx(cosx)/cos2x=(cos2x+sin2x)/cos2x=1/cos2x8.y=cotx=cosx/sinxy=(cosx)sinx-cosx(sinx)/sin2x=-1/sin2x9.y=arcsinxx=sinyx=cosyy=1/x=1/cosy=1/1-s

11、in2y=1/1-x210.y=arccosxx=cosyx=-sinyy=1/x=-1/siny=-1/1-cos2y=-1/1-x211.y=arctanxx=tanyx=1/cos2yy=1/x=cos2y=1/sec2y=1/1+tan2x=1/1+x212.y=arccotxx=cotyx=-1/sin2yy=1/x=-sin2y=-1/csc2y=-1/1+cot2y=-1/1+x2另外在對雙曲函數(shù)shx,chx,thx等以及反雙曲函數(shù)arshx,archx,arthx等和其他較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時通過查閱導(dǎo)數(shù)表和運(yùn)用開頭的公式與4.y=u土v,y=u土v5.y=uv,y=uv+u

12、v均能較快捷地求得結(jié)果。對于y=xn y=nx(n-1) ，y=ax y=axlna 有更直接的求導(dǎo)方法。y=xn由指數(shù)函數(shù)定義可知，y0等式兩邊取自然對數(shù)ln y=n*ln x等式兩邊對x求導(dǎo)，注意y是y對x的復(fù)合函數(shù)y * (1/y)=n*(1/x)y=n*y/x=n* xn / x=n * x (n-1)冪函數(shù)同理可證導(dǎo)數(shù)說白了它其實(shí)就是斜率上面說的分母趨于零,這是當(dāng)然的了,但不要忘了分子也是可能趨于零的,所以兩者的比就有可能是某一個數(shù),如果分子趨于某一個數(shù),而不是零的話,那么比值會很大,可以認(rèn)為是無窮大,也就是我們所說的導(dǎo)數(shù)不存在.x/x,若這里讓X趨于零的話,分母是趨于零了,但它們的

13、比值是1,所以極限為1.建議先去搞懂什么是極限.極限是一個可望不可及的概念,可以很接近它,但永遠(yuǎn)到不了那個岸.并且要認(rèn)識到導(dǎo)數(shù)是一個比值.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1函數(shù)的單調(diào)性(1)利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的增減性，這是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想一般地，在某個區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f(x)，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f(x)，那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)=0，則f(x)是常數(shù)函數(shù)注意：在某個區(qū)間內(nèi)，f(x)是f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3

14、在R內(nèi)是增函數(shù)，但x=0時f(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函數(shù)，解題時就必須寫f(x)0。(2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟確定f(x)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；由（或）解出相應(yīng)的x的范圍當(dāng)f(x)0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)f(x)0時，f(x)在相應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)2函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的判定如果在兩側(cè)符號相同，則不是f(x)的極值點(diǎn)；如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么，是極大值或極小值.3求函數(shù)極值的步驟確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；在定義域內(nèi)求出所有的駐點(diǎn)，即求方程及的所有實(shí)根；檢查在駐點(diǎn)左右的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根處取

15、得極小值4函數(shù)的最值(1)如果f(x)在a,b上的最大值（或最小值）是在(a，b)內(nèi)一點(diǎn)處取得的，顯然這個最大值（或最小值）同時是個極大值（或極小值），它是f(x)在(a，b)內(nèi)所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在a，b的端點(diǎn)a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念(2)求f(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值5生活中的優(yōu)化問題生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優(yōu)化問題，優(yōu)化問題也稱為最值問題解決這些問題具有非?，F(xiàn)實(shí)的意

16、義這些問題通常可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的函數(shù)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（?。┲祮栴}6實(shí)習(xí)作業(yè)本節(jié)內(nèi)容概括總結(jié)了微積分建立的時代背景，并闡述了其歷史意義，包括以下六部分：(1)微積分的研究對象；(2)歷史上對微積分產(chǎn)生和發(fā)展的評價；(3)微積分產(chǎn)生的悠久歷史淵源；(4)微積分產(chǎn)生的具體的時代背景；(5)牛頓和萊布尼茨的工作；(6)微積分的歷史意義7. 注意事項(xiàng)（1）函數(shù)圖像看增減，導(dǎo)數(shù)圖像看正負(fù)。（2）極大值不一定比極小值大。（3）極值是局部的性質(zhì)，最值是整體的性質(zhì)編輯本段高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)的求法1.直接法：由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).一般用來尋找解題方法。2.高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:高階導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則注

17、意：必須在各自的導(dǎo)數(shù)存在時應(yīng)用（和差點(diǎn)導(dǎo)數(shù)）3.間接法: 利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式，通過四則運(yùn)算,變量代換等方法，注意：代換后函數(shù)要便于求，盡量靠攏已知公式求出階導(dǎo)數(shù).常見高階導(dǎo)數(shù)的公式：常見高階導(dǎo)數(shù)公式第十講導(dǎo)數(shù)【考點(diǎn)透視】1了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等）；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念2熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號）；會求一些實(shí)際問題（一般指單峰

18、函數(shù)）的最大值和最小值【例題解析】考點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的概念對概念的要求：了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，掌握導(dǎo)數(shù)在一點(diǎn)處的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念. 例1是的導(dǎo)函數(shù)，則的值是考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和計(jì)算等基礎(chǔ)知識和能力.解答過程故填3.例2.設(shè)函數(shù),集合M=,P=,若MP,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( )A.(-,1) B.(0,1) C.(1,+) D. 1,+)考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和集合等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.解答過程由綜上可得MP時,考點(diǎn)2 曲線的切線（1）關(guān)于曲線在某一點(diǎn)的切線求曲線y=f(x)在某一點(diǎn)P（x,y）的切線，即求出函數(shù)y=f(x)在P點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是曲線在該點(diǎn)的切

19、線的斜率.（2）關(guān)于兩曲線的公切線若一直線同時與兩曲線相切，則稱該直線為兩曲線的公切線.典型例題例3.已知函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個極值點(diǎn)（I）求的最大值；（II）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象（即動點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動，經(jīng)過點(diǎn)時，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式思路啟迪：用求導(dǎo)來求得切線斜率.解答過程：（I）因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為（），則，且于是，且當(dāng)，即，時等號成立故的最大值是16（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是，即，因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處空過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則不是的極值點(diǎn)而，且若，則和都是的極值點(diǎn)所

20、以，即，又由，得，故解法二：同解法一得因?yàn)榍芯€在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，于是存在（）當(dāng)時，當(dāng)時，；或當(dāng)時，當(dāng)時，設(shè)，則當(dāng)時，當(dāng)時，；或當(dāng)時，當(dāng)時，由知是的一個極值點(diǎn)，則，所以，又由，得，故例4.若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）A BC D考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.解答過程與直線垂直的直線為，即在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為4，而，所以在(1，1)處導(dǎo)數(shù)為4，此點(diǎn)的切線為.故選A.例5過坐標(biāo)原點(diǎn)且與x2+y2 -4x+2y+=0相切的直線的方程為 ( )A.y=-3x或y=x B. y=-3x或y=-x C.y=-3x或y=-x D. y=3

21、x或y=x考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和圓的方程、直線方程等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.解答過程解法1：設(shè)切線的方程為又故選A.解法2:由解法1知切點(diǎn)坐標(biāo)為由故選A.例6.已知兩拋物線, 取何值時，有且只有一條公切線，求出此時公切線的方程.思路啟迪：先對求導(dǎo)數(shù).解答過程：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，曲線在點(diǎn)P()處的切線方程為，即曲線在點(diǎn)Q的切線方程是即若直線是過點(diǎn)P點(diǎn)和Q點(diǎn)的公切線，則式和式都是的方程，故得，消去得方程，若=，即時，解得，此時點(diǎn)P、Q重合.當(dāng)時，和有且只有一條公切線，由式得公切線方程為 .考點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中學(xué)階段所涉及的初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是可導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要而有力的工具，特

22、別是對于函數(shù)的單調(diào)性，以“導(dǎo)數(shù)”為工具，能對其進(jìn)行全面的分析，為我們解決求函數(shù)的極值、最值提供了一種簡明易行的方法，進(jìn)而與不等式的證明，討論方程解的情況等問題結(jié)合起來，極大地豐富了中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法.復(fù)習(xí)時，應(yīng)高度重視以下問題:1. 求函數(shù)的解析式; 2. 求函數(shù)的值域; 3.解決單調(diào)性問題; 4.求函數(shù)的極值（最值）;5.構(gòu)造函數(shù)證明不等式.典型例題例7函數(shù)的定義域?yàn)殚_區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極小值點(diǎn)（）A1個B2個C3個D4個考查目的本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象性質(zhì)等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力.解答過程由圖象可見,在區(qū)間內(nèi)的圖象上有一個極小值點(diǎn).故選A.例8 .設(shè)函數(shù)在

23、及時取得極值（）求a、b的值；（）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍思路啟迪：利用函數(shù)在及時取得極值構(gòu)造方程組求a、b的值解答過程：（），因?yàn)楹瘮?shù)在及取得極值，則有，即解得，（）由（）可知，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，所以，當(dāng)時，取得極大值，又，則當(dāng)時，的最大值為因?yàn)閷τ谌我獾?，有恒成立，所以，解得或，因此的取值范圍為?.函數(shù)的值域是_.思路啟迪：求函數(shù)的值域，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，一般可以通過圖象觀察或利用不等式性質(zhì)求解，也可以利用函數(shù)的單調(diào)性求出最大、最小值。此例的形式結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，采用導(dǎo)數(shù)法求解較為容易。解答過程：由得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，又，當(dāng)時，函數(shù)在上是增函數(shù)，而，的值域是.例10已

24、知函數(shù)，其中為參數(shù)，且（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)是否有極值；（2）要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；（3）若對（2）中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍考查目的本小題主要考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究三角函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合分析和解決問題的能力，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.解答過程（）當(dāng)時，則在內(nèi)是增函數(shù)，故無極值.（），令，得.由（），只需分下面兩種情況討論.當(dāng)時，隨x的變化的符號及的變化情況如下表：x0+0-0+極大值極小值因此，函數(shù)在處取得極小值，且.要使，必有，可得.由于，故.當(dāng)時，隨x的變化，的符號及的變化情況如下表：+0-0+

25、極大值極小值因此，函數(shù)處取得極小值，且若，則.矛盾.所以當(dāng)時，的極小值不會大于零.綜上，要使函數(shù)在內(nèi)的極小值大于零，參數(shù)的取值范圍為.（III）解：由（II）知，函數(shù)在區(qū)間與內(nèi)都是增函數(shù)。由題設(shè)，函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿足不等式組或由（II），參數(shù)時時，.要使不等式關(guān)于參數(shù)恒成立，必有，即.綜上，解得或.所以的取值范圍是.例11設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(x+1)，其中a-1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間.考查目的本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法,函數(shù)的極值的判定,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力解答過程由已知得函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，（2）當(dāng)時，由解得、隨的

26、變化情況如下表0+極小值從上表可知當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增.例12已知函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值，其導(dǎo)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示.求：（）的值；（）的值.考查目的本小題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)的極值的判定,閉區(qū)間上二次函數(shù)的最值, 函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用,考查了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題解決問題的能力解答過程解法一：（）由圖像可知，在上，在上，在上,故在上遞增，在上遞減，因此在處取得極大值，所以（）由得解得解法二：（）同解法一（）設(shè)又所以由即得所以例13設(shè)是函數(shù)的一個極值點(diǎn).（）求與的關(guān)

27、系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，.若存在使得成立，求的取值范圍.考查目的本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.解答過程（）f (x)x2(a2)xba e3x,由f (3)=0，得32(a2)3ba e330，即得b32a，則f (x)x2(a2)x32aa e3xx2(a2)x33a e3x(x3)(xa+1)e3x.令f (x)0，得x13或x2a1，由于x3是極值點(diǎn)，所以x+a+10，那么a4.當(dāng)a3x1，則在區(qū)間（，3）上，f (x)0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（a1，）上，f (x)4時，x23x1，則在區(qū)間（，a1）上，f (x

28、)0，f (x)為增函數(shù)；在區(qū)間（3，）上，f (x)0時，f (x)在區(qū)間（0，3）上的單調(diào)遞增，在區(qū)間（3，4）上單調(diào)遞減，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是min(f (0)，f (4) )，f (3)，而f (0)（2a3）e30，f (3)a6，那么f (x)在區(qū)間0，4上的值域是（2a3）e3，a6.又在區(qū)間0，4上是增函數(shù)，且它在區(qū)間0，4上的值域是a2，（a2）e4，由于（a2）（a6）a2a（）20，所以只須僅須（a2）（a6）0，解得0a0時，f(0)為極大值C、b=0 D、當(dāng)a0時，f(0)為極小值11、已知函數(shù)y=2x3+ax2+36x-24在x=2處有極值，則該函數(shù)

29、的一個遞增區(qū)間是( )A、（2，3） B、（3，+）C、（2，+）D、（-，3）12、方程6x5-15x4+10x3+1=0的實(shí)數(shù)解的集合中( )A、至少有2個元素 B、至少有3個元素 C、至多有1個元素 D、恰好有5個元素二、填空題13.若f(x0)=2, =_.14.設(shè)f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),則f(0)=_.15.函數(shù)f(x)=loga(3x2+5x2)(a0且a1)的單調(diào)區(qū)間_.16.在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開時它的面積最大.三、解答題17.已知曲線C：y=x33x2+2x,直線l:y=kx,且l與C切于點(diǎn)(x0,y0)(x00)，求直線l的方

30、程及切點(diǎn)坐標(biāo).18.求函數(shù)f(x)=p2x2(1-x)p(pN+)，在0，1內(nèi)的最大值.19.證明雙曲線xy=a2上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸組成的三角形面積等于常數(shù).20.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=(x22x+3)e2x;(2)y=.21.有一個長度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上，假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動，求當(dāng)其下端離開墻腳1.4 m時，梯子上端下滑的速度.22.求和Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,nN*).23.設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定a的取值范圍，并求其單調(diào)區(qū)間.24.設(shè)x=1與x=2是函數(shù)f(x)=alnx+bx2+x的兩個極值點(diǎn)

31、.(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)試判斷x=1,x=2是函數(shù)f(x)的極大值還是極小值，并說明理由.25.已知a、b為實(shí)數(shù)，且bae,其中e為自然對數(shù)的底，求證：abba.26.設(shè)關(guān)于x的方程2x2ax2=0的兩根為、(),函數(shù)f(x)=.(1)求f()f()的值；(2)證明f(x)是，上的增函數(shù)；(3)當(dāng)a為何值時，f(x)在區(qū)間，上的最大值與最小值之差最?。俊緟⒖即鸢浮恳?、1.解析：y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1.答案：B2.解析：設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線的斜率為k=,另一方面，y=()=,故y(x0)=k,即或x02

32、+18x0+45=0得x0(1)=3,y0(2)=15,對應(yīng)有y0(1)=3,y0(2)=,因此得兩個切點(diǎn)A(3，3)或B(15,),從而得y(A)= =1及y(B)= ,由于切線過原點(diǎn)，故得切線：lA:y=x或lB:y=.答案：A3.解析：由=1,故存在含有0的區(qū)間(a,b)使當(dāng)x(a,b),x0時0,于是當(dāng)x(a,0)時f(0)0,當(dāng)x(0,b)時，f(0)0,這樣f(x)在(a,0)上單增，在(0,b)上單減.答案：B4.解析：fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n-1=n2x(1x)n-12(1x)nx,令fn(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=時取

33、得最大值，最大值fn()=n2()2(1)n=4()n+1.答案：D5、B 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 11、B 12、C二、13.解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：f(x0)=(這時)答案：114.解析：設(shè)g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),則f(x)=xg(x),于是f(x)=g(x)+xg(x),f(0)=g(0)+0g(0)=g(0)=12n=n！答案：n!15.解析：函數(shù)的定義域是x或x2,f(x)=.(3x2+5x2)=,若a1,則當(dāng)x時，logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0,函數(shù)f(x)在(,+)上是增函數(shù)，x2時，f(x)0.函數(shù)f(x)在(,2

34、)上是減函數(shù).若0a1,則當(dāng)x時，f(x)0,f(x)在(,+)上是減函數(shù)，當(dāng)x2時，f(x)0,f(x)在(,2)上是增函數(shù).答案：(,2)16.解析：設(shè)圓內(nèi)接等腰三角形的底邊長為2x,高為h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2Rh),于是內(nèi)接三角形的面積為S=xh=從而.令S=0,解得h=R,由于不考慮不存在的情況，所在區(qū)間(0,2R)上列表如下：h(0, R)R(,2R)S+0S增函數(shù)最大值減函數(shù)由此表可知，當(dāng)x=R時，等腰三角形面積最大.答案：R三、17. 解：由l過原點(diǎn)，知k=(x00),點(diǎn)(x0,y0)在曲線C上，y0=x033x02+2x0,=x023x0+2,y=3x26x+2,k=3x026x0+2又k=,3x026x0+2=x023x0+2,2x023x0=0,x0=0或x0=.由x0,知x0=,y0=()33()2+2=.k=