高等數(shù)學(xué)競賽例題選講

1、高等數(shù)學(xué)競賽例題選講一、一元微積分（A組考，B組考）例1（8分）、設(shè)，試討論該函數(shù)在內(nèi)的可導(dǎo)性 解：當(dāng)時，-1注意到，由夾逼定理得 當(dāng)時，；-1同理，當(dāng)時，-1顯然，當(dāng)時，可導(dǎo)，-1而時，因，-2所以，在時不可導(dǎo)，同理，在時也不可導(dǎo)-2例2（8分）、設(shè)在處具有二階導(dǎo)數(shù)，且有，求解：因其中-1則-1于是，-2-2故-2例3（8分）、確定了，求 解：時， -1 由 知 -2 由 知 -3-2例4（8分）、設(shè)為的原函數(shù)，當(dāng)時，且，求解: =-2-2 ，故-2-2例5（8分）、計算解（法一）：設(shè)，則原式=-3 =，-2而-1故 原式=-2 解（二）： 原式= =-4 =， -2移項整理得，原式=-2例

2、6（8分）、已知是函數(shù)的一個原函數(shù), 求解 ：由題意有-2原式-3=-3例7（8分）、設(shè)在內(nèi)可導(dǎo)，其反函數(shù)為，且滿足，（1）求；（2）求解：（1）將代入，易得-2（2）令，則有-3上式兩端關(guān)于求導(dǎo)，注意到，有-2將代入上式，解出-1例8（8分）、已知，且，求解：-2-2-2則故-2例9（8分）、若求與.解：令，則 -2故有 -1-3由上述兩式解之得. -2例10（8分）、（1）證明：（2）利用（1）計算證明：（1）左-3移項得-1（2）原式-1-1又-2故原式-1例11（8分）、求曲線與軸所圍成圖形的面積.解：-3 -3.-2例12（10分）、某函數(shù)滿足，其所示曲線與一條單調(diào)遞增的直線在第一象

3、限有唯一交點，其中現(xiàn)記曲線與直線圍成的平面區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積為，而它們與直線圍成的平面區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積為，試確定之值，使達(dá)到最小解：由題意知-1-1-1-2令-1由知于上單調(diào)遞增，-1于是，時，有-1令，得唯一駐點-1由極值的第一充分條件易知，即時，達(dá)到最小-1例13（8分）、就參數(shù)，討論曲線與交點的個數(shù)解：令即，考慮方程-1令，-1則及-1故有唯一駐點，由可知是的最小值-1又注意到-1當(dāng)時，方程有兩解，曲線有兩個交點-1當(dāng)時，方程有一解，曲線有一個交點-1當(dāng)時，方程無解，曲線沒有交點-1例14（8分）、設(shè)當(dāng)時，方程有且僅有一個根，求的取值范圍.解：設(shè)，當(dāng)，為減函

4、數(shù)-2又=，故滿足題意-2當(dāng)，令，得唯一駐點，由知其為極小點，-2若原方程或無解或有兩解，僅當(dāng)時有且僅有一個根，綜上所述，的取值范圍為及.-2例15（10分）、求使得不等式對所有的正整數(shù)都成立的最小的數(shù).解：由 解得 -2令， -2記，由得，于是從而，單調(diào)減-3注意到，有，則， 而，故最小值為.-3例16（8分）、設(shè)，（），求.解：則數(shù)列有下界，-4又，故數(shù)列單調(diào)減少，易得.-4例17（10分）、設(shè)數(shù)列、滿足，請問、收斂嗎？若收斂，求；若發(fā)散，說明理由.答：則，單減有下界-2根據(jù)單調(diào)有界定理知收斂，-1令，在兩邊取極限得，有-2 先考慮 -3故，從而收斂.-2例18（8分）、在上由拉格朗日中值

5、定理得中值，求.解：由拉格朗日中值定理得，即-3故.-5二、多元微分學(xué)（A組考，B組考）例1（8分）、證明：在連續(xù).證明：令，則-2而-2因，-2由夾逼定理知：,原題得證. -2例2（8分）、設(shè)連續(xù)，討論在處的可微性解：，且-2若，因不存在，故不存在，從而在處不可微-1若，則，同理-1因，有-2故，即在處可微-2例3（8分）、設(shè)，試確定常數(shù)，使.解：，-2-3 由，可得.-3例4（8分）、設(shè)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且，求，（表示對的一階偏導(dǎo)數(shù)，其他類推）.解：等式兩端對x求導(dǎo),得，-3這兩個等式,對x求導(dǎo)得,-2由已知條件得, 故解得， . -3例5（8分）、設(shè)，若為連續(xù)函數(shù)，求.解：-2-1-2，由

6、對稱性知-2故. -1例6（10分）、已知具有二階導(dǎo)數(shù)，且，由所確定，設(shè)，求解：在中, 令 得 . -1而由兩邊對求導(dǎo)得 -1再對求導(dǎo)得 -1將代入上面兩式得 -2 ，-1-2將，代入上面兩式得-2例7（10分）設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，滿足，若求的函數(shù)解析式.解：-1-2同理-1代入得，即-3，由得于是-1故.-1例8（10分）、已知函數(shù) 的全微分，并且求在橢圓域上的最大值和最小值.解：，于是 ，-2再由，得 C=2, 故 -1令得可能極值點為(0,0)，且-1再考慮其在邊界曲線上的情形：令拉格朗日函數(shù)為，-1解 -1得可能極值點為， ，且，-2可見在區(qū)域內(nèi)的最大值為3，最小值為-2.-2例9（10分

7、）、當(dāng)時, 求函數(shù)在條件上的最大值, 并證明對任意的正實數(shù)成立不等式.解:令-1有-2由, 得-2代入,得 及-1可知最大值為-1即 ，亦即 -2令, 于是.-2三、空間解析幾何（A組考，B組不考）例1（8分）、設(shè)非零向量，求證：.解：左 右.-8例2（8分）、在已知平面：內(nèi)，求一直線通過已知直線：與已知平面的交點且垂直于已知直線.解：聯(lián)立方程組易得與之交點-2的方向向量為，-2可求得過點且與已知直線垂直的平面方程為.-2由題意知，所求直線應(yīng)為平面與平面的交線，其方程為. -2例3（8分）、(1)求空間曲線：在面的投影曲線的方程；(2)求以為準(zhǔn)線，母線與向量=平行的柱面方程.解：（1）對，消得

8、投影柱面方程，-1故投影曲線的方程為 -2(2) 在所求柱面取由題意必有,使得-2有 化簡得柱面方程.-3例4（8分）求以直線為對稱軸，半徑的圓柱面方程.解：在圓柱面上任取一點，過點且垂直于軸的平面為-2軸方程的參數(shù)式為代入平面方程得 -1故該平面和軸的交點為M1-1則的長等于半徑-1故由距離公式得.-3例5（8分）設(shè)可微，求證：曲面的所有切平面都通過定點.證明：由題意知， 故曲面過任一點切平面的法線向量可選為（） 注意到向量（） 而在曲面上，故也在曲面上，原題得證.（）例6（8分）求證：在曲線的切線中，與平面平行的切線有且僅有一條. 證明：曲線的切向量為，若其與垂直，則-2令，則，且-3知在

9、內(nèi)有且僅有一個非零根-1又，則此根不滿足，故原命題成立.-2例7（8分）若點是光滑曲面上與原點距離最近的點，試證:過點的法線必定通過坐標(biāo)原點.證明：考察條件極值問題-1構(gòu)造輔助函數(shù)，-1按題意在點達(dá)到條件極小值，必滿足于是向量與曲面在點處的法向量平行，-5故曲面在點處的法線通過通過原點.-1例8（8分）求函數(shù)在點處沿的方向?qū)?shù)，其中為過處的內(nèi)法向量.解：-3令,則可取,-2故.-3例9（8分）設(shè)確定了隱函數(shù)，求該隱函數(shù)在點處方向?qū)?shù)的最大值解：當(dāng)時，-1設(shè)-1 則 ,于是-3故-3四、多元積分學(xué)（A組考，B組僅考二重積分）例1（7分）計算，其中，且均為常數(shù)解：積分區(qū)域D為與的公共部分。取極坐標(biāo)

10、計算，有xtan例2（8分）設(shè)，求解：將區(qū)域D分成三塊：-2則原式-2-2-2例3（8分）設(shè)求，其中解：記區(qū)域，-2-2-2-2例4（10分）若在內(nèi)連續(xù)，（1） 證明：；（2） 利用上式，求.（1）證明：-3同理，-1（2）由（1）知-2故-2-2例5（7分）設(shè)f (r)在0，1上連續(xù)，則證明：，-2設(shè)，則注意到：，于是由夾逼定理可知要證結(jié)論成立-5例6（8分）若連續(xù)函數(shù)滿足, 求解：令-1則-3-1=-3例7（10分）設(shè)在單位圓域有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在邊界上取值為零，而，若D為圓環(huán)域：，求.解：令，則-2在單位圓的邊界上取值為零，則-1 -1-2-1，-2故-1例8（8分）設(shè)函數(shù)f (u)連續(xù)

11、，在點u = 0處可導(dǎo)，且f(0)= 0，求解：記，應(yīng)用球坐標(biāo)，并同時注意到積分區(qū)域與被積函數(shù)的對稱性，有-4于是有-4例9（8分）設(shè)在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，起點為 終點為記（1）證明曲線積分與路徑無關(guān)；（2）當(dāng)時，求的值.解：（1）記，則， 于是滿足：在時，且 ，所以曲線積分與路徑無關(guān)-4（2）由于曲線積分與路徑無關(guān)，取為從到的折線段，于是-2-2例10（8分）（1）求空間曲線：在面的投影曲線的方程;（2）若取上述為順時針方向，求解：（1）對，消得投影柱面方程-2故投影曲線的方程為 -2（2）原式-1-3例11（8分）求，其中圓周，的方向為逆時針方向.解：由于

12、時，被積函數(shù)無意義，故所包圍的區(qū)域不滿足格林公式的條件，作一小圓挖去原點，作逆時針方向的圓周：，使全部被所包圍，在和為邊界的區(qū)域內(nèi)，根據(jù)格林公式，有-3，故上式為零-3原式.-2例12（10分）設(shè)函數(shù)在x O y平面上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，并且對任意的t恒有，求.解：由曲線積分與路徑無關(guān)知，-2所以，其中為待定函數(shù)。又-2-2根據(jù)題設(shè)，有，-1上式兩邊對t求導(dǎo)，得到，于是知，即，-2故.-1例13（12分）設(shè)連續(xù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線上，恒為常數(shù),(1)對右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線，有；(2)求函數(shù)的表達(dá)式.Y l2 C o Xl3證明：(1)如圖，將C

13、分解為：，另作一條曲線圍繞原點且與C相接，則.-4解：(2) 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由(1)知，在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān)，故當(dāng)時，總有-2由-2得 -2由得，將代入得,從而-2例14（10分）設(shè)C是取正向的圓周，f (x)是正的連續(xù)函數(shù)，證明：.證明：由格林公式有，-2其中D是由 ( x 1 )2 + ( y 1 )2 = 1所圍成的區(qū)域。而，-2，-2即，-2則左.-2例15（8分）設(shè)為橢球面的上半部分，點，為在點處的切平面，為點到平面的距離，求解：的方程為-2由知-2則原式. -4例16（10分）設(shè)為夾在兩個平面和之間的拋物面，求證：.證明：-1-2，-2令-1易知唯一駐點亦為其極大點-1則-1-1，故原題得