高階譜非高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù)2

1、第7章 非高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù) 復(fù)數(shù)情形預(yù)濾波方法的關(guān)鍵步驟是噪聲模型的建立。噪聲模型的建立依賴于這樣一個條件，即信號的三階累積量為零，同時噪聲的三階累積量不為零。這樣，就可以從含噪信號中單獨(dú)提取出噪聲特征，建立噪聲模型。但是，正如上一章所研究的，當(dāng)諧波信號中存在二次相位耦合時，信號的三階累積量不為零；且當(dāng)噪聲對稱分布時，噪聲的三階累積量為零。在這兩種情況下，噪聲模型無法建立，預(yù)濾波方法也就不再適用。下面研究非高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù)問題，特別是當(dāng)噪聲為對稱分布和諧波信號存在二次相位耦合時的諧波恢復(fù)問題。本章假定觀測值是復(fù)數(shù)過程。應(yīng)用預(yù)濾波方法由含噪觀測值估計非高斯噪聲模型參數(shù)時，諧波信號

2、起到干擾的作用。因此關(guān)鍵問題在于使信號(無論是否存在二次相位耦合)的累積量為零，同時噪聲(無論何種分布)的累積量不為零，且此累積量應(yīng)滿足高階Yule-Walker方程。針對這一問題，本章利用復(fù)數(shù)過程的高階統(tǒng)計量具有多種定義方式的特點(diǎn)，定義了一種特定的四階矩來滿足上述要求。使用該四階矩，通過SVD-TLS方法求解高階Yule-Walker方程來建立噪聲模型的AR參數(shù)，然后對含噪觀測值濾波，進(jìn)而恢復(fù)諧波信號參數(shù)了。提出的這種方法在復(fù)數(shù)域解決了當(dāng)非高斯噪聲為對稱分布和諧波信號中存在二次相位耦合時的諧波恢復(fù)問題。7.1 觀測模型設(shè)零均值有噪觀測值為 (7.1)其中，為復(fù)數(shù)諧波信號 (7.2)為諧波數(shù)目

3、，和分別為第個諧波分量的幅度、歸一化頻率和隨機(jī)初始相位，這里相互獨(dú)立且在上服從均勻分布。觀測噪聲為非高斯ARMA過程，即 (7.3)或。其中，為后移因子，即。對于噪聲模型有如下假設(shè)：(1) 噪聲模型的傳遞函數(shù)是指數(shù)穩(wěn)定的且不存在零極點(diǎn)相消。(2) 為零均值、平穩(wěn)的獨(dú)立同分布復(fù)數(shù)非高斯白噪聲。(3) 和相互獨(dú)立。(4) 諧波恢復(fù)的目的就是由含噪觀測值來估計諧波數(shù)目，諧波頻率和諧波幅度。7.2 諧波信號的高階累積量特性噪聲中諧波恢復(fù)(RHN)，波達(dá)方向估計(DOA)以及寬帶源信號時延估計(TDE)等許多問題都可用下面的模型描述 (7.4)其中，為信號波形(通常已知)，為未知常數(shù)，為非高斯隨機(jī)過程或

4、隨機(jī)變量，為加性噪聲，且與相互獨(dú)立。在RHN問題中，如果信號包含個復(fù)數(shù)諧波分量，且諧波頻率各不相同，則，其中和為未知常數(shù)，為獨(dú)立地服從同一分布的(i.i.d.)隨機(jī)變量，且在上服從均勻分布，此時稱作復(fù)數(shù)諧波信號 (7.5)如果包含個實(shí)數(shù)諧波分量，則 (7.6)稱作實(shí)數(shù)諧波信號。7.2.1 諧波信號的高階累積量特性復(fù)數(shù)過程的階累積量，根據(jù)累積量各項取共軛與否有種不同的定義方式。定理7.1設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，則的各階累積量分別為： (7.7) (7.8) (7.9) (7.10)由累積量定義易證上述各式成立。對于一般的如式(7.5)或式(7.6)的諧波信號其三階累積量恒等于零，即 (7.1

5、1)上式說明高斯噪聲中的諧波恢復(fù)問題不能用三階累積量信息來處理。在RHN問題中復(fù)數(shù)諧波信號的四階累積量定義如下 (7.12)定義零均值復(fù)數(shù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)為 (7.13)定理7.2對于式(7.5)中的復(fù)數(shù)諧波信號，其四階累積量為 (7.14)四階累積量一維對角切片為 (7.15)的自相關(guān)函數(shù)為 (7.16)如果定義廣義復(fù)數(shù)諧波信號為 (7.17)容易證明，諧波信號四階累積量的一維對角切片正好同具有相同頻率及相應(yīng)幅度的廣義諧波信號的自相關(guān)函數(shù)相等(若不考慮因子1) (7.18)對實(shí)數(shù)諧波信號有類似結(jié)論成立。7.2.2 線性預(yù)測方程式(7.5)中復(fù)數(shù)諧波信號滿足具有零輸入的模型 (7.19

6、)其中，,且多項式的根為。而式(7.6)中實(shí)數(shù)諧波信號則滿足模型 (7.20)多項式的根為。對于有噪觀測值，如果為白噪聲，為復(fù)數(shù)諧波信號，則基于自相關(guān)的線性預(yù)測方程為 (7.21)基于四階累積量的線性預(yù)測方程為 (7.22)如果為高斯噪聲(白色或有色)，則基于四階累積量的線性預(yù)測方程為 (7.23)式(7.21)(7.23)表明，基于自相關(guān)的線性預(yù)測方程僅適用于白噪聲情形，而基于四階累積量的線性預(yù)測方程不僅適用于白噪聲情形，而且還適用于高斯有色噪聲情形，這就是高階累積量諧波恢復(fù)方法自動抑制高斯有色噪聲的理論依據(jù)。7.3 噪聲模型的建立噪聲建模的目的是由復(fù)數(shù)含噪觀測值估計噪聲模型AR參數(shù)，為此首

7、先選擇一種合適的統(tǒng)計量。假定非高斯噪聲為非對稱分布，從而采用三階累積量。對于對稱分布非高斯噪聲，三階累積量為零，噪聲模型無法建立，該方法失效。我們知道，不論是對稱分布還是非對稱分布的非高斯噪聲，其四階累積量都不為零。但是，用于含噪觀測值中噪聲建模的統(tǒng)計量還必須同時能夠抑制信號并且滿足高階Yule-Walker方程。為此本章在復(fù)數(shù)域選擇了一種特定的四階矩，保證對于復(fù)數(shù)諧波信號，該四階矩為零；而對于復(fù)數(shù)非高斯噪聲，該四階矩不為零且滿足高階Yule-Walker方程。因此，可由它估計噪聲模型參數(shù)。本章研究了二次相位耦合的影響，指出本章方法適用于諧波信號存在二次相位耦合情形。7.3.1 復(fù)數(shù)含噪觀測值

8、的無共軛四階矩根據(jù)隨機(jī)過程理論，隨機(jī)變量的三階中心矩定義為偏態(tài)，是用來描述概率分布曲線對稱度的參數(shù)。當(dāng)分布曲線對稱時，偏態(tài)為零，分布曲線非對稱性越嚴(yán)重，偏態(tài)越大。對于零均值隨機(jī)變量，其三階矩、三階中心矩和三階累積量相等。因此，對稱分布隨機(jī)變量的三階累積量為零。隨機(jī)變量的峰態(tài)由其四階中心矩定義，它描述了隨機(jī)變量分布曲線的凸起程度。設(shè)隨機(jī)變量，其峰態(tài)為 (7.24)為的方差。對于且僅對于高斯分布隨機(jī)變量，其峰態(tài)。隨機(jī)變量的四階累積量為 (7.25)由于，且當(dāng)為非高斯分布時，所以任一非高斯分布隨機(jī)變量的四階累積量不為零。設(shè)噪聲由零均值平穩(wěn)非高斯i.i.d.過程通過線性穩(wěn)定因果系統(tǒng)產(chǎn)生，為其沖激響應(yīng)，

9、則 (7.26)其中，由于為平穩(wěn)隨機(jī)過程，等于隨機(jī)過程中取任一值所得隨機(jī)變量的四階累積量，所以，亦即。雖然如上所述，對稱和非對稱分布隨機(jī)過程的四階累積量均不為零，但是實(shí)數(shù)諧波信號的四階累積量或復(fù)數(shù)諧波信號的某些定義形式的四階累積量亦不為零。因此，不能簡單地使用四階累積量由含噪觀測值估計噪聲模型參數(shù)。下面的定理在復(fù)數(shù)域很好地解決這一問題。定義7.1定義復(fù)數(shù)過程的四階矩為 (7.27)即四階矩的各項均不取共軛。設(shè)式(7.1)中復(fù)數(shù)有色噪聲的實(shí)部和虛部分別為，則有下述定理成立。定理7.3復(fù)數(shù)噪聲按定義5.1的四階矩的實(shí)部等于噪聲本身實(shí)部或虛部四階累積量的2倍，即 (7.28)證明： (7.29)展開

10、整理： (7.30)由于式(7.3)中的實(shí)部或虛部相互獨(dú)立且滿足同一分布，復(fù)數(shù)有色噪聲的實(shí)部和虛部亦相互獨(dú)立且滿足同一分布。因此，和具有相同的數(shù)字特征，則有下列各式成立： 等等。代入整理，得：同理可得：證畢定理7.4對于如式(7.2)的復(fù)數(shù)諧波信號，其按定義5.1的四階矩恒等于零，即 (7.31)證明：復(fù)數(shù)諧波信號由于為i.i.d.隨機(jī)變量且由定理7.1上式證畢由前面對非線性相位耦合的研究和定理7.4可知，復(fù)數(shù)諧波信號無論是否存在二次或三次相位耦合，按定義7.1求得的四階矩恒等零。再由定理7.3，對稱或非對稱分布非高斯噪聲按定義7.1求得的四階矩均不為零且其實(shí)部等于噪聲實(shí)部或虛部的四階累積量，

11、即 (7.32)利用滿足高階累積量Yule-Walker方程并結(jié)合數(shù)值魯棒方法SVD-TLS，即可估計得到噪聲AR參數(shù)。下面詳細(xì)討論這一問題。7.3.2 噪聲模型AR參數(shù)的估計噪聲模型的建立是指噪聲ARMA模型的AR參數(shù)辨識，它在非高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù)問題中起著關(guān)鍵作用。非高斯ARMA過程如下 (7.33)其中，如果則退化為模型。假定階次已知，輸入過程是一個不可觀測的零均值i.i.d.非高斯過程。系統(tǒng)是因果的，指數(shù)穩(wěn)定的且可以是非最小相位的，即的根在單位圓內(nèi)，而的根可以在單位圓內(nèi)，也可以在單位圓外。非高斯ARMA過程滿足下面的基于高階累積量的Yule-Walker方程 (7.34)7.3.

12、2.1 AR的唯一可識別定理眾所周知，給定一個非高斯ARMA過程，其階累積量就唯一確定。因此，從累積量匹配的觀點(diǎn)出發(fā)，AR參數(shù)由所有的階累積量對所有求解式(7.34)而唯一確定。由于方程組的個數(shù)無窮大，其求解顯然不現(xiàn)實(shí)。于是，必須選擇少量合適的高階累積量切片構(gòu)造具有唯一解的方程組。在式(7.34)中，取，并固定，記，得到下列由一個切片構(gòu)造的方程組 (7.35)或 (7.36)其中，為維矩陣，和均為維向量。若矩陣滿秩，由式(7.35)可以唯一地得到AR參數(shù)估計。然而，矩陣不一定滿秩，Swami給出了反例說明任意切片可能均為非滿秩，這樣，式(7.35)就不能保證AR參數(shù)的唯一可識別性。盡管單獨(dú)某個

13、切片構(gòu)造的矩陣可能非小路滿秩，Swami及Giannakis建議利用個一維切片構(gòu)造的矩陣是滿秩的，并提出了AR參數(shù)的唯一可識別性定理。定理5.5當(dāng)且僅當(dāng)模型(7.33)不存在零極點(diǎn)相消時，AR參數(shù)可由個一維累積量切片構(gòu)造的下列線性方程組唯一確定 (7.37)其中，。5.3.2.2AR參數(shù)估計的SVD-TLS方法實(shí)際中只能由觀測值得到高階累積量的估計，同時，階次，也未知。因此，必須討論式(7.37)的實(shí)用求解方法。(1) 用奇異值分解(SVD)法確定AR階次設(shè)模型階次，的上限(通常可以預(yù)先選定一組較大的值)，取，則矩陣 (7.38)的秩為。若用代替，則構(gòu)造的新矩陣的有效秩為。這樣，通過對進(jìn)行奇異

14、值分解可以確定其有效秩。從而確定模型AR階次。(2) 用SVD-TLS法估計AR參數(shù)式(7.37)的求解要受到噪聲擾動的影響，補(bǔ)償?shù)霓k法通常有兩種。第一種方法是最小二乘(LS)法，這種方法假定在由式(7.37)構(gòu)造的矩陣方程右邊的矢量中有一擾動項；第二種方法是主特征矢量法(PE)，這種方法則假定在矩陣方程左邊的系數(shù)矩陣中有一擾動項。顯然，這兩種方法都是不全面的。因為由式(7.37)構(gòu)造的矩陣方程中系數(shù)矩陣和累積量矢量的元素均由觀測值估計得到，因此都含有噪聲擾動項。我們采用同時考慮這兩種影響的總體最小二乘(TLS)法來解決這一問題。由于TLS法通常采用SVD來實(shí)現(xiàn)，因而又稱作SVD-TLS法。S

15、VD-TLS方法步驟如下：1) 選擇階次上限，取，并用代替，由式(7.37)得到矩陣方程 其中，為維矩陣，為維向量，且 (7.39) (7.40)2) 對進(jìn)行奇值分解 (7.41)其中，和分別為和的特征向量矩陣，為由奇異值所構(gòu)成的對角陣。3) 取，計算 (7.42)取使明顯接近于1的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處的值當(dāng)作有效秩。4) 計算矩陣 (7.43)其中，表示由矩陣中第列向量的維向量，且 (7.44)5) 求解線性方程組 (7.45)其中，和均為維向量，且，的選取以使中的第一個元素為1為原則。若為奇異矩陣，則以的零特征值對應(yīng)的歸一化特征向量當(dāng)作AR參數(shù)估計。根據(jù)式(7.32)，由復(fù)數(shù)含噪諧波信號按式(7.27

16、)的四階矩可以得到ARMA噪聲實(shí)部(虛部)的四階累積量。由于高階Yule-Walker方程，使用上面的方法，即可得到噪聲模型AR參數(shù)的估計。7.4 預(yù)濾波式(7.1)兩邊同時乘以，得 (7.46)由式(7,3)，代入式(7.46)，得即 (7.47)其中，稱為濾波輸出過程，稱為濾波諧波信號，為非高斯過程，其自相關(guān) (7.48)7.5 基于濾波輸出過程自相關(guān)函數(shù)的特殊Yule-Walker方程 (7.49) (7.50)由式(7.19)，有，為任意值。即 (7.51)由于與相互獨(dú)立，因此，和亦相互獨(dú)立，則有 (7.52) (7.53)將式(7.51)代入(7.53)，得 (7.54)再由式(7.

17、48)，最后得到 (7.55)由式(7.55)可見，濾波輸出過程和自相關(guān)函數(shù)和諧波信號預(yù)測模型的AR參數(shù)正好滿足一組特殊的Yule-Walker方程。7.6 濾波信號幅度的估計由式(7.49)和式(7.42)有 (7.56)由，有 (7.57)其中，式(7.57)中令，有矩陣方程 (7.58)其中 于是可得的估計為 (7.59)7.7 預(yù)濾波諧波恢復(fù)法的步驟ARMA過程，選擇，使，且的自相關(guān)函數(shù)構(gòu)造的矩陣 (7.60)的秩為。如果用采樣自相關(guān)代替，則的有效秩為。由式(7.55)，可以看作是過程。那么式(7.60)中若用代替，并取，則的有效秩為，采用5.3.2中介紹的SVD-TLS方法可以確定的有效秩及AR參數(shù)。SVD-TLS方法是一種魯棒的數(shù)值計算方法，它可以有效地