高中數(shù)學(xué)解析幾何知識點(diǎn)總結(jié)

1、07. 直線和圓的方程 知識要點(diǎn)一、直線方程.1. 直線的傾斜角：一條直線向上的方向與軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是.注：當(dāng)或時(shí)，直線垂直于軸，它的斜率不存在.每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對應(yīng)確定.2. 直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點(diǎn)，即直線在軸，軸上的截距分別為時(shí)，直線方程是：.注：若是一直線的方程，則這條直線的方程是，但若則不是這條線.附：直線系：對于直線的斜截式方程，當(dāng)均為確定

2、的數(shù)值時(shí)，它表示一條確定的直線，如果變化時(shí)，對應(yīng)的直線也會變化.當(dāng)為定植，變化時(shí)，它們表示過定點(diǎn)（0，）的直線束.當(dāng)為定值，變化時(shí)，它們表示一組平行直線.3. 兩條直線平行：兩條直線平行的條件是：和是兩條不重合的直線. 在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前提”都會導(dǎo)致結(jié)論的錯誤.（一般的結(jié)論是：對于兩條直線，它們在軸上的縱截距是，則，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分條件，且）推論：如果兩條直線的傾斜角為則. 兩條直線垂直：兩條直線垂直的條件：設(shè)兩條直線和的斜率分別為和，則有這里的前提是的斜率都存在. ，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂

3、直的充要條件）4. 直線的交角：直線到的角（方向角）；直線到的角，是指直線繞交點(diǎn)依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與重合時(shí)所轉(zhuǎn)動的角，它的范圍是，當(dāng)時(shí).兩條相交直線與的夾角：兩條相交直線與的夾角，是指由與相交所成的四個角中最小的正角，又稱為和所成的角，它的取值范圍是，當(dāng)，則有.5. 過兩直線的交點(diǎn)的直線系方程為參數(shù)，不包括在內(nèi)）6. 點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)，直線到的距離為，則有.注：1. 兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：.特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離：2. 定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。若點(diǎn)P(x,y)分有向線段,其中P1(x1,y1),P2(x2,y2).則 特例，中點(diǎn)坐標(biāo)

4、公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。3. 直線的傾斜角（0180）、斜率:4. 過兩點(diǎn). 當(dāng)（即直線和x軸垂直）時(shí)，直線的傾斜角，沒有斜率兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線，它們之間的距離為，則有.注；直線系方程1. 與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.( mR, Cm).2. 與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.( mR)3. 過定點(diǎn)（x1,y1）的直線系方程是： A(x-x1)+B(y-y1)=0 (A,B不全為0)4. 過直線l1、l2交點(diǎn)的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+( A2x+B2y+C2）=0 (R） 注

5、：該直線系不含l2.7. 關(guān)于點(diǎn)對稱和關(guān)于某直線對稱：關(guān)于點(diǎn)對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點(diǎn)到兩直線的距離相等.關(guān)于某直線對稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，且兩直線到對稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點(diǎn)，且對稱直線為兩直線夾角的角平分線.點(diǎn)關(guān)于某一條直線對稱，用中點(diǎn)表示兩對稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對稱直線上（方程），過兩對稱點(diǎn)的直線方程與對稱直線方程垂直（方程）可解得所求對稱點(diǎn).注：曲線、直線關(guān)于一直線（）對稱的解法：y換x，x換y. 例：曲線f(x ,y)=0關(guān)于直線y=x2對稱曲線方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲線C: f(x ,y)=0關(guān)

6、于點(diǎn)(a ,b)的對稱曲線方程是f(a x, 2b y)=0. 二、圓的方程.1. 曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線上的 與一個二元方程的實(shí)數(shù)建立了如下關(guān)系：曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解.以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)其坐標(biāo)與方程的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)是方程的解；反過來，滿足方程的解所對應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0 ,y)線C上的充要條件是f(x0 ,y0)=0 2. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.特例：圓心

7、在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓的方程是：.注：特殊圓的方程：與軸相切的圓方程 與軸相切的圓方程 與軸軸都相切的圓方程 3. 圓的一般方程： .當(dāng)時(shí)，方程表示一個圓，其中圓心，半徑.當(dāng)時(shí)，方程表示一個點(diǎn).當(dāng)時(shí)，方程無圖形（稱虛圓）.注：圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.方程表示圓的充要條件是：且且.圓的直徑或方程：已知（用向量可征）.4. 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)及圓.在圓內(nèi)在圓上在圓外5. 直線和圓的位置關(guān)系： 設(shè)圓圓：； 直線：； 圓心到直線的距離.時(shí)，與相切；附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.時(shí)，與相交；附：公共弦方程：設(shè)有兩個交點(diǎn)，則其公共弦方程為.時(shí)，與相離. 附：若兩圓相離，則相減為圓心的連線的中

8、與線方程. 由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于（或）的一元二次方程，其判別式為，則：與相切；與相交；與相離.注：若兩圓為同心圓則，相減，不表示直線.6. 圓的切線方程：圓的斜率為的切線方程是過圓上一點(diǎn)的切線方程為：.一般方程若點(diǎn)(x0 ,y0)在圓上，則(x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=R2. 特別地，過圓上一點(diǎn)的切線方程為.若點(diǎn)(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則，聯(lián)立求出切線方程.7. 求切點(diǎn)弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點(diǎn)弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程. 如圖：ABCD四類共圓. 已知的方程 又以ABCD為圓為方程為 ，所以BC的方程即代，相切即為所求.三、曲線和方程1.

9、曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1） 曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；2） 方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2.求曲線方程的方法：.1）直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡化檢驗(yàn); 2）參數(shù)法; 3）定義法， 4）待定系數(shù)法. -圓錐曲線方程考試內(nèi)容：數(shù)學(xué)探索橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的參數(shù)方程數(shù)學(xué)探索雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)探索拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)探索考試要求：數(shù)學(xué)

10、探索（1）掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程數(shù)學(xué)探索（2）掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)探索（3）掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)探索（4）了解圓錐曲線的初步應(yīng)用 08. 圓錐曲線方程 知識要點(diǎn)一、橢圓方程.1. 橢圓方程的第一定義：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：i. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：. ii. 中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上：. 一般方程：.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：的參數(shù)方程為（一象限應(yīng)是屬于）.頂點(diǎn)：或.軸：對稱軸：x軸，軸；長軸長，短軸長.焦點(diǎn)：或.焦距：.準(zhǔn)線：或.離心率：.焦點(diǎn)半徑：i. 設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為左、右焦點(diǎn)，則由橢圓

11、方程的第二定義可以推出.ii.設(shè)為橢圓上的一點(diǎn)，為上、下焦點(diǎn)，則由橢圓方程的第二定義可以推出.由橢圓第二定義可知：歸結(jié)起來為“左加右減”.注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得方程的軌跡為橢圓. 通徑：垂直于x軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：和共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大于0的參數(shù)，的離心率也是 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.若P是橢圓：上的點(diǎn).為焦點(diǎn)，若，則的面積為（用余弦定理與可得）. 若是雙曲線，則面積為.二、雙曲線方程.1. 雙曲線的第一定義：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：. 一般方程：.i. 焦點(diǎn)在x軸上： 頂點(diǎn)： 焦點(diǎn)： 準(zhǔn)線方程 漸近線方程：或ii. 焦點(diǎn)在軸上：頂點(diǎn)：. 焦點(diǎn)：

12、. 準(zhǔn)線方程：. 漸近線方程：或，參數(shù)方程：或 .軸為對稱軸，實(shí)軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. 離心率. 準(zhǔn)線距（兩準(zhǔn)線的距離）；通徑. 參數(shù)關(guān)系. 焦點(diǎn)半徑公式：對于雙曲線方程（分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)） “長加短減”原則： 構(gòu)成滿足 （與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計(jì)算，而雙曲線不帶符號） 等軸雙曲線：雙曲線稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為，離心率.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.與互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：.共漸近線的雙曲線系方程：的漸近線方程為如果雙曲線的漸近線為時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)

13、為.例如：若雙曲線一條漸近線為且過，求雙曲線的方程？解：令雙曲線的方程為：，代入得.直線與雙曲線的位置關(guān)系：區(qū)域：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；區(qū)域：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；區(qū)域：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線.小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.（2）若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.若P在雙

14、曲線，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m = n，則P到兩準(zhǔn)線的距離比為mn. 簡證： = .常用結(jié)論2：從雙曲線一個焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.三、拋物線方程.3. 設(shè)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：圖形焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對稱軸軸軸頂點(diǎn) （0，0）離心率焦點(diǎn)注：頂點(diǎn).則焦點(diǎn)半徑;則焦點(diǎn)半徑為.通徑為2p，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.（或）的參數(shù)方程為（或）（為參數(shù)）.四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義.4. 圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線；當(dāng)時(shí)，軌跡為圓（，當(dāng)時(shí)）.5. 圓錐曲線方程具有對稱性. 例如：橢圓

15、的標(biāo)準(zhǔn)方程對原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱的.因?yàn)榫哂袑ΨQ性，所以欲證AB=CD, 即證AD與BC的中點(diǎn)重合即可.注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線定義1到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡1到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(02a|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（0e1）與定點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡.圖形方程標(biāo)準(zhǔn)方程(0)(a0,b0)y2=2px參數(shù)方程(t為參數(shù))范圍axa，byb|x| a，yRx0中心原點(diǎn)O（0，0）原點(diǎn)O（0，0）頂點(diǎn)(a,0), (a,0),