高等數(shù)學(xué)答案

1、第六章 定積分的應(yīng)用第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用1. 求圖中各陰影部分的面積: （1） . (2) 1 (3). (4). 2. 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積: (1) . (2). (3). (4)3. . 4. （1）.（2）.4 5. (1) pa2. (2) . (3). 6. （1）（2）（3） 7求下列已知曲線所圍成的圖形, 按指定的軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積：（1）（2）（3）（4）xy=1和y=4x、x=2、y=0，繞。（5）擺線8由y=x3, x=2, y=0所圍成的圖形, 分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn), 計(jì)算所得兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積. . 9把星形線所圍成的圖形, 繞x軸旋轉(zhuǎn), 計(jì)

2、算所得旋轉(zhuǎn)體的體積.10（1）證明 由平面圖形0axb, 0yf(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 . 證明略。 （2）利用題（1）結(jié)論, 計(jì)算曲線y=sin x(0xp)和x軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積. 11計(jì)算底面是半徑為R的圓, 而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積. . 12計(jì)算曲線上相應(yīng)于的一段弧的弧長(zhǎng)。13計(jì)算曲線上相應(yīng)于的一段弧的弧長(zhǎng)。14求星型線的全長(zhǎng)。6a15求曲線的周長(zhǎng)。8a第三節(jié) 定積分的應(yīng)用第四節(jié)1. 由實(shí)驗(yàn)知道, 彈簧在拉伸過(guò)程中, 需要的力F(單位: N)與伸長(zhǎng)量s(單位: cm)成正比, 即F=ks (k為比例常數(shù)). 如果

3、把彈簧由原長(zhǎng)拉伸6cm, 計(jì)算所作的功. 18 k(牛厘米) 解 將彈簧一端固定于A, 另一端在自由長(zhǎng)度時(shí)的點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn), 建立坐標(biāo)系. 功元素為dW=ksds, 所求功為 k(牛厘米). 2直徑為20cm、高80cm的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為10N/cm2的蒸汽. 設(shè)溫度保持不變, 要使蒸汽體積縮小一半, 問(wèn)需要作多少功？(J). 解 由玻-馬定律知: . 設(shè)蒸氣在圓柱體內(nèi)變化時(shí)底面積不變, 高度減小x厘米時(shí)壓強(qiáng) 為P(x)牛/厘米2, 則 , . 功元素為, 所求功為 (J). 3設(shè)地球的質(zhì)量為M，半徑為R，現(xiàn)要將一個(gè)質(zhì)量為m的物體從地球表面升高到h處，問(wèn)需要做多少功（設(shè)引力系數(shù)為G）？4半徑

4、為R的圓柱體沿固定水平面做純滾動(dòng)，試分別求圓心C沿其軌跡移動(dòng)的距離S時(shí)，作用于其上的靜滑動(dòng)摩擦力和滾動(dòng)摩阻力偶的功 解 圓柱體做平面運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，點(diǎn)B為圓柱體的速度瞬心，由式 （11-16）知圓柱體沿固定面做純滾動(dòng)時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力的功為零。滾動(dòng)摩阻力偶的功可利用滾動(dòng)摩阻力偶矩M=來(lái)計(jì)算所以它的元功為 =-如及R均為常量，滾動(dòng)一段路程S后滾動(dòng)摩阻力偶的功為 W=-=- 可見(jiàn)滾動(dòng)摩阻力偶的功為負(fù)功，且其絕對(duì)值與圓柱半徑成反比5設(shè)一錐形貯水池, 深15m, 口徑20m, 盛滿水, 今以唧筒將水吸盡, 問(wèn)要作多少功？ 解 在水深x處, 水平截面半徑為, 功元素為 , 所求功為 =1875(噸米)=

5、57785.7(kJ). 6. 有一閘門(mén), 它的形狀和尺寸如圖, 水面超過(guò)門(mén)頂2m. 求閘門(mén)上所受的水壓力.205. 8(kN). 解 建立x軸, 方向向下, 原點(diǎn)在水面. 水壓力元素為 , 閘門(mén)上所受的水壓力為 (噸)=205. 8(kN). 7. 灑水車(chē)上的水箱是一個(gè)橫放的橢圓柱體, 尺寸如圖所示. 當(dāng)水箱裝滿水時(shí), 計(jì)算水箱的一個(gè)端面所受的壓力. 17.3(kN). 解 建立坐標(biāo)系如圖, 則橢圓的方程為 . 壓力元素為 , 所求壓力為 (噸)=17.3(kN). (提示: 積分中所作的變換為) 8. 有一等腰梯形閘門(mén), 它的兩條底邊各長(zhǎng)10m和6m, 高為20m. 較長(zhǎng)的底邊與水面相齊.

6、 計(jì)算閘門(mén)的一側(cè)所受的水壓力. 14388(千牛) 解 建立坐標(biāo)系如圖. 直線AB的方程為 , 壓力元素為 , 所求壓力為 (噸)=14388(千牛).9一底為8cm、高為6cm的等腰三角形片, 鉛直地沉沒(méi)在水中, 頂在上, 底在下且與水面平行, 而頂離水面3cm, 試求它每面所受的壓力. 解 建立坐標(biāo)系如圖. 腰AC的方程為, 壓力元素為 , 所求壓力為 (克)=1.65(牛). 10. 設(shè)有一長(zhǎng)度為l、線密度為m的均勻細(xì)直棒, 在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M, 試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力. 解 建立坐標(biāo)系如圖. 在細(xì)直棒上取一小段dy, 引力元素為 , dF在x軸方向和y

7、軸方向上的分力分別為 , . , 總復(fù)習(xí)題六1 填空題：（1） 曲線與直線圍成所界區(qū)域的面積為 （2）曲線與直線所界區(qū)域的面積為 18（3）曲線上相應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)為 4(4) 圓盤(pán)繞x=-b(ba0)旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積 . （5）一圓盤(pán)的半徑為，而密度為，其中為圓盤(pán)上一點(diǎn)到圓心的距離，則其質(zhì)量M (6) 半徑為的球沉入水中，它與水面相切，密度與水相同，若將球從水中取出，則做 的功。2求拋物線與軸所圍成圖形的面積。3求拋物線與所圍成圖形的面積。4求圓的面積、圓周長(zhǎng)。5求雙紐線的面積。6求心臟線繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積。7求擺線與軸圍成圖形的面積，弧長(zhǎng)，繞軸旋轉(zhuǎn)體體積。8求懸鏈線下的曲邊梯形的面

8、積，弧長(zhǎng)，繞軸旋轉(zhuǎn)體體積。9拋物線繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)拋物面的體積。10證明曲線的一個(gè)周期的弧長(zhǎng)等于橢圓的周長(zhǎng)。11求橢球體的體積。12設(shè)有一半徑為，長(zhǎng)度為的圓柱體平放在深度為的水池中（圓柱體的側(cè)面與水面相切）。設(shè)圓柱體的比重為，現(xiàn)將圓柱體從水中移出水面，問(wèn)需做多少功？13一塊高為，底為的等腰三角形薄板，垂直地沉沒(méi)在水中，頂在下，底與水面相齊，試計(jì)算薄板每面所受的壓力。14用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比，在鐵錘擊第一次時(shí)能將鐵釘擊入木板內(nèi)，如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功相等，問(wèn)鐵錘擊第二次時(shí)，能將鐵釘又擊入多少？答案：2解：令得。故拋物線與軸交點(diǎn)為及，所求圖形為軸上半部分。 。3解：兩條拋物線交點(diǎn)為。則。4解：由對(duì)稱性，只需考慮第一象限，；故圓面積為。由圓的參數(shù)方程，求周長(zhǎng)只需考慮第一象限，；圓周長(zhǎng)。5解：。6解： 。7解：；8解：；。9解：。10證：曲線的一個(gè)周期的弧長(zhǎng)為；對(duì)于橢圓，由于其參數(shù)方程為故 ；可見(jiàn) 。11解：用垂直于軸的平面截橢球，交軸于，所得截面為橢圓即于是此橢圓的面積為，從而橢球體的體積為。xxyR-yyo12解：建立如圖所示坐標(biāo)系，把平放的圓柱體從水中移出，相當(dāng)把每一個(gè)水平薄板提高，所做的功包括將薄板提升到水面提升力所做的功R+y及從水面提高到高度提升力所做的功之和；水下部分提升力，所以水