極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)參考模板

1、1 / 10第一部分：坐標(biāo)系與參數(shù)方程第一部分：坐標(biāo)系與參數(shù)方程【考綱知識(shí)梳理】1平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換設(shè)點(diǎn) P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換0,0,:yyxx的作用下,點(diǎn)yxP,對(duì)應(yīng)到點(diǎn)yxP,稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換.2.極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系如圖(1)所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做極點(diǎn),自極點(diǎn)O引一條射線Ox,叫做極軸;再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位,一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐

2、標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)設(shè) M 是平面內(nèi)一點(diǎn),極點(diǎn)O與點(diǎn) M 的距離|OM|叫做點(diǎn) M 的極徑,記為;以極軸Ox為始邊,射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn) M 的極角,記為.有序數(shù)對(duì),叫做點(diǎn) M 的極坐標(biāo),記作 M,.一般地,不作特殊說(shuō)明時(shí),我們認(rèn)為, 0可取任意實(shí)數(shù).特別地,當(dāng)點(diǎn) M 在極點(diǎn)時(shí),它的極坐標(biāo)為R, 0。 和直角坐標(biāo)不同,平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無(wú)數(shù)種表示.如果規(guī)定20 , 0,那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo),表示;同時(shí),極坐標(biāo),表示的點(diǎn)也是唯一確定的.3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景:把直角坐標(biāo)

3、系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x 軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,如圖(2)所示:(2)互化公式:設(shè) M 是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是yx,極坐標(biāo)是0,于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表:點(diǎn) M直角坐標(biāo)yx,極坐標(biāo),互化公式sincosyx0tan222xxyyx在一般情況下,由tan確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn) M 所在的象限最小正角.4.常見(jiàn)曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程2 / 10圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓20 r圓心為0 , r,半徑為r的圓222r圓心為2,r,半徑為r的圓0sin2r過(guò)極點(diǎn),傾斜角為的直線(1)RR或(2)00或過(guò)點(diǎn)0 , a,與極軸垂直的直線22cosa

4、過(guò)點(diǎn)2,a,與極軸平行的直線0sina注:由于平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)的表示形式不唯一,即 ,2 ,都表示同一點(diǎn)的坐標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯一性明顯不同.所以對(duì)于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種表示形式,只要求至少有 一 個(gè) 能 滿 足 極 坐 標(biāo) 方 程 即 可 . 例 如 對(duì) 于 極 坐 標(biāo) 方 程點(diǎn)4,4M可 以 表 示 為45,424,424,4MMM或或等多種形式,其中,只有4,4M的極坐標(biāo)滿足方程.二、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念一般地,在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)yx,都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù) tgytfx,并且對(duì)3 / 10于t的每一個(gè)允許值,由方程組所確定的點(diǎn)yxM,都在這條曲線上

5、,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)yx,的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù),相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過(guò)消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)yx,中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如 tfx ,把它代入普通方程,求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系 tgy ,那么 tgytfx就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使yx,的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問(wèn)題，關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù)，如果選用的參

6、數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設(shè)圓O的半徑為r，點(diǎn) M 從初始位置0M出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蛟趫AO上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)Myx,，則為參數(shù)sincosryrx。這就是圓心在原點(diǎn)O，半徑為r的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是0OM轉(zhuǎn)過(guò)的角度。圓心為ba,，半徑為r的圓的普通方程是222rbyax，它的參數(shù)方程為：為參數(shù)sincosrbyrax。4橢圓的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中心，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為012222babyax其參數(shù)方程為為參數(shù)sincosbyax， 其 中 參 數(shù)稱 為 離 心 角 ； 焦 點(diǎn) 在y軸 上 的 橢 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 是0

7、12222babxay其參數(shù)方程為為參數(shù)sincosaybx其中參數(shù)仍為離心角， 通常規(guī)定參數(shù)的范圍為2 , 0。注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角，要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開(kāi)來(lái)，除了在四個(gè)頂點(diǎn)處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在 0 到2的范圍內(nèi)） ，在其他任何一點(diǎn)，兩個(gè)角的數(shù)值都不相等。但當(dāng)20時(shí)，相應(yīng)地也有20，在其他象限內(nèi)類(lèi)似。5雙曲線的參數(shù)方程4 / 10以坐標(biāo)原點(diǎn)O為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)議程為0, 012222babyax其參數(shù)方程為為參數(shù)tansecbyax，其中23,22 , 0且。焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是0, 012222babx

8、ay其參數(shù)方程為為參數(shù)csccotaybx， 其中且2 . 0以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點(diǎn)的離心角。6拋物線的參數(shù)方程以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線022ppxy的參數(shù)方程為為參數(shù)tptyptx2227直線的參數(shù)方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)000, yxM， 傾斜角為2的直線l的普通方程是00tanxxyy而過(guò)000, yxM，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)ttyytxxsincos00。注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過(guò)定點(diǎn)000, yxM，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)ttyytxxsincos00，其中t表示直線l上以定點(diǎn)0M為起點(diǎn)，任一點(diǎn)yxM,為終點(diǎn)的有向線段MM0的數(shù)量，當(dāng)點(diǎn)M在0M上

9、方時(shí)，t0；當(dāng)點(diǎn)M在0M下方時(shí)，t0；當(dāng)點(diǎn)M與0M重合時(shí)，t=0。我們也可以把參數(shù)t理解為以0M為原點(diǎn)，直線l向上的方向?yàn)檎较虻臄?shù)軸上的點(diǎn)M的坐標(biāo)，其單位長(zhǎng)度與原直角坐標(biāo)系中的單位長(zhǎng)度相同?！疽c(diǎn)名師透析】一、坐標(biāo)系（一）平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換例在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換yyxx/23:（1）求點(diǎn)2,31A經(jīng)過(guò)變換所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）點(diǎn) B 經(jīng)過(guò)變換得到點(diǎn)1( 3, )2B ，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；5 / 10（3）求直線:6l yx經(jīng)過(guò)變換后所得到直線的l方程；（4）求雙曲線22:164yC x 經(jīng)過(guò)變換后所得到曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)。（二）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化例 2在極坐標(biāo)系中，如

10、果5(2,), (2,)44AB為等邊三角形 ABC 的兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn) C 的極坐標(biāo)(0,02 )。（三）求曲線的極坐標(biāo)方程例已知 P，Q 分別在AOB 的兩邊 OA，OB 上，AOB=3，POQ 的面積為 8，求 PQ 中點(diǎn) M 的極坐標(biāo)方程。（四）極坐標(biāo)的應(yīng)用例如圖，點(diǎn) A 在直線 x=4 上移動(dòng)，OPA 為等腰直角三角形，OPA 的頂角為OPA（O，P，A 依次按順時(shí)針?lè)较蚺帕校?，求點(diǎn) P 的軌跡方程，并判斷軌跡形狀。二、參數(shù)方程（一）把參數(shù)方程化為普通方程例已知曲線 C ：（t 為參數(shù)） ， C ：（為參數(shù)） 。（1）化 C ，C 的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；（2

11、）若 C 上的點(diǎn) P 對(duì)應(yīng)的參數(shù)為2t，Q 為 C上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線tytxC223:3（t 為參數(shù)）距離的最小值。（二）橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值解答：6 / 10（三）直線參數(shù)方程的應(yīng)用例過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線與曲線交于點(diǎn)，求的值及相應(yīng)的的值。解析：（四）圓的參數(shù)方程的應(yīng)用例已知曲線 C 的參數(shù)方程是為參數(shù))，且曲線 C 與直線=0 相交于兩點(diǎn) A、B（1）求曲線 C 的普通方程；（2）求弦 AB 的垂直平分線的方程（3）求弦 AB 的長(zhǎng)【感悟高考真題】1在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，3）到圓2cos的圓心的距離為()（A）2(B)249(C)219（

12、D)32在極坐標(biāo)系中，圓2sin 的圓心的極坐標(biāo)是（）（A）(1,)2（B）(1,)2（C）(1,0)（D）(1, )3在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線1C的參數(shù)方程為sin1cosyx,).( 為參數(shù)在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy 有相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸）中，曲線2C的方程為21, 01)sin(cosCC 與則的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)4直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線1C的參數(shù)方程為sin3cos2yx).( 為參數(shù)在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 xOy取 相 同 的 長(zhǎng) 度 單 位 ， 且 以 原 點(diǎn) O 為 極 點(diǎn) ， 以 x 軸 正 半 軸 為 極 軸 ） 中 ，

13、曲 線2C的 方 程 為21, 01)sin(cosCC 與則的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)7 / 105.（1） （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）若曲線的極坐標(biāo)方程為=2sin4cos，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為 x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為.6 （2011陜西高考理科T15C）直角坐標(biāo)系xoy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) A， B 分別在曲線1C：3cos4sinxy（為參數(shù)） 和曲線2C：1上， 則|AB的最小值為7 （坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn) A， B 分別在曲線1C：3cossinxy（為參數(shù)）

14、 和曲線2C：1上， 則|AB的最小值為8.（2011.天津高考理科.T11）.已知拋物線C的參數(shù)方程為tytx882（t為參數(shù)）若斜率為 1 的直線經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與圓()2224(0)xyrr-+=相切，則r=_.9.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知兩曲線參數(shù)方程分別為5cos(0)sinxy 和25()4xttRyt，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為.10 （2）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，直線l的方程為 x-y+4=0，曲線 C 的參數(shù)方程為x3cosysin（ 為參數(shù)）.（I）已知在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系 xOy 取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)，以 x 軸正半軸為極軸）中，點(diǎn) P 的極坐標(biāo)

15、為2, 4，判斷點(diǎn) P 與直線 l 位置關(guān)系；（II）設(shè)點(diǎn) Q 是曲線 C 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線 l 的距離的最小值.11.選修 4-4： 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （本小題滿分 10 分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， 求過(guò)橢圓5cos3sinxy（為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線423xtyt（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程。12.（2011新課標(biāo)全國(guó)高考理科23）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為2cos22sinxy（為參數(shù)）M 是 C1 上的動(dòng)點(diǎn)，P 點(diǎn)滿足2OPOMuuu vuuuv,P 點(diǎn)的軌跡為曲線 C2()求 C2 的方程()在以 O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)

16、系中，射線3與 C1 的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A，與 C28 / 10的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B，求AB.13.（2011新課標(biāo)全國(guó)高考文科23）在直角坐標(biāo)系 xOy 中，曲線 C1 的參數(shù)方程為2cos22sinxy（為參數(shù)）M 是 C1 上的動(dòng)點(diǎn)，P 點(diǎn)滿足2OPOMuuu vuuuv,P 點(diǎn)的軌跡為曲線 C2()求 C2 的方程()在以 O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線3與 C1 的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 A，與 C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為 B，求AB.14.（2011遼寧高考理科23） （本小題滿分 10 分） （選修 4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在平面直角坐標(biāo)系xOy 中 ， 曲 線

17、C1 的 參 數(shù) 方 程 為)(,sin,cos為參數(shù)yx， 曲 線 C2 的 參 數(shù) 方 程 為), 0(,sin,cos為參數(shù)babyax.在以 O 為極點(diǎn)，x 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線 l：=a 與C1，C2 各有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng) a=0 時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為 2，當(dāng) a=2時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合（I）分別說(shuō)明 C1，C2 是什么曲線，并求出 a 與 b 的值；（II）設(shè)當(dāng)=4時(shí)，l 與 C1，C2 的交點(diǎn)分別為 A1，B1，當(dāng) a=-4時(shí)，l 與 C1，C2 的交點(diǎn)為 A2，B2，求四邊形 A1A2B2B1 的面積15. 極坐標(biāo)cosp和參數(shù)方程12xtyt （t 為參數(shù)）所表示的

18、圖形分別是（D）A. 直線、直線 B. 直線、圓C. 圓、圓 D. 圓、直線16極坐標(biāo)方程（p-1） （）=（p0）表示的圖形是（A）兩個(gè)圓（B）兩條直線（C）一個(gè)圓和一條射線（D）一條直線和一條射線17在極坐標(biāo)系（，） （0 0，0)可寫(xiě)為_(kāi)4過(guò)點(diǎn)2，4 平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是()Acos4Bsin4Csin 2Dcos 2答案：C5曲線的參數(shù)方程是x11ty1t2(t 是參數(shù)，t0)，它的普通方程是()A(x1)2(y1)1Byxx21x2Cyx1x21Dy11x216直線cos2 關(guān)于直線4對(duì)稱的直線方程為()Acos2Bsin2Csin2D2sin7已知直線 l 的參數(shù)方程為x

19、122ty222t(t 為參數(shù))，則直線 l 的斜率為()A1B1C.22D228直線 3x4y90 與圓：x2cos y2sin ，(為參數(shù))的位置關(guān)系是()A相切B相離C直線過(guò)圓心D相交但不過(guò)圓心9設(shè)直線過(guò)極坐標(biāo)系中的點(diǎn) M(2,0)，且垂直于極軸，則它的極坐標(biāo)方程為_(kāi)10在極坐標(biāo)系中，直線sin4 2 被圓4 截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)二、填空題11在極坐標(biāo)系中，直線6截圓2cos6 (R)所得的弦長(zhǎng)是_12直線 2x3y10 經(jīng)過(guò)變換可以化為 6x6y10，則坐標(biāo)變換公式是_13（皖南八校 2011 屆高三第二次聯(lián)考） 已知平面直角坐標(biāo)系 xOy 內(nèi)， 直線 l 的參數(shù)方程式為2xtyt （t為參數(shù)為參數(shù)） ，以，以 Ox 為極軸建立極坐標(biāo)系（取相同的長(zhǎng)度單位為極軸建立極坐標(biāo)系（取相同的長(zhǎng)度單位） ，圓，