高分突破微專項(xiàng)1 2

1、全等三角形中的兩大輔助線技巧突破點(diǎn)1倍長中線倍長中線法:延長三角形一邊的中線至一點(diǎn),使所延長的部分與該中線相等,并連接該點(diǎn)與這條邊的一個(gè)頂點(diǎn),得到兩個(gè)全等的三角形.這種方法主要用于構(gòu)造全等三角形或證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系.倍長中線的常用添加方法(倍長中線等中線,等量關(guān)系一大片)敘述圖示結(jié)論基本圖形:在ABC中,AD為BC邊上的中線.倍長中線:延長AD到點(diǎn)E,使ED=AD,連接BE.ACDEBD;根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到:.倍長中線的變形作法一:M為AB上一點(diǎn),連接MD并延長到點(diǎn)N,使ND=MD,連接CN;作法二:過點(diǎn)C作CNAB,與過點(diǎn)D的直線交于點(diǎn)N,該直線與AB交于點(diǎn)M.BDMCDN 如圖,在

2、ABC中,AD是中線,BAC=BCA,點(diǎn)E在BC的延長線上,CE=AB,連接AE.求證:AE=2AD.思路分析見到中線,根據(jù)倍長中線的輔助線作法,得到相等的線段,再利用三角形全等和等量代換進(jìn)行證明.自主解答1.如圖,在ABC中,AB=5,AC=3,則中線AD的取值范圍是. (第1題)(第2題)2.如圖,在ABC中,點(diǎn)E,F分別在AB,AC上,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),DEDF,則BE+CF與EF的大小關(guān)系為. 3.如圖,在ABC中,AD是BC邊上的中線,點(diǎn)E是AD上一點(diǎn),且BE=AC,延長BE交AC于點(diǎn)F.求證:AF=EF.4.如圖,在ABC中,AD交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是BC的中

3、點(diǎn), EFAD交CA的延長線于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G,已知BG=CF,求證:AD為ABC的角平分線.突破點(diǎn)2旋轉(zhuǎn)圖形的旋轉(zhuǎn)是近幾年河南中考必考的內(nèi)容.運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的全等變換,證明線段相等、和差倍分關(guān)系以及角相等、和差倍分關(guān)系都是近幾年中考常見的類型.旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì):對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等;對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角;旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.旋轉(zhuǎn)的基本圖形圖形旋轉(zhuǎn)的要點(diǎn)利用旋轉(zhuǎn)作輔助線的基本思路如圖,將AOB旋轉(zhuǎn)至A'OB',則AOA'=BOB'.1.找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)中的“變”與“不變”;2.找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前后的“對應(yīng)關(guān)系”;3.充分挖掘旋轉(zhuǎn)過程中線段之間的關(guān)系;4.找旋

4、轉(zhuǎn)點(diǎn),得等邊、等角;5.證全等或相似;6.利用全等或相似得到邊、角關(guān)系.1.以等邊三角形為背景的旋轉(zhuǎn)60°(遇60°旋轉(zhuǎn)60°);2.以正方形為背景的旋轉(zhuǎn)90°(遇90°旋轉(zhuǎn)90°);3.將分散的條件通過旋轉(zhuǎn)變換集中在一塊“形成合力”破解難題(若條件是分散的,則試試看把圖形進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)、翻折).如圖,將AOB旋轉(zhuǎn)至A'OB',連接AA',BB',則AOA'BOB'. 如圖,在O的內(nèi)接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,BAD= 60°,點(diǎn)C為的中點(diǎn),則AC的長是 .

5、0;思路分析四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形,ABC+ADC=180°,又點(diǎn)C為的中點(diǎn),BC=CD.將ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至EDC,則A,D,E三點(diǎn)共線,這樣就把分散的條件集中在一塊了,旋轉(zhuǎn)變換后的圖形是等腰三角形,再利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出AC的值即可.(利用旋轉(zhuǎn)時(shí),一般要滿足兩個(gè)條件:有相等的邊,兩角之和為180°)5.如圖,點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),且點(diǎn)P到ABC三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為1,則ABC的面積為. (第5題)(第6題)6.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),點(diǎn)F為CD上一點(diǎn),BE+DF=EF,則EAF的度數(shù)

6、為. 7. 如圖,在ABC中,C=90°,點(diǎn)D,E,F分別在邊CA,AB,BC上,且四邊形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,則BFE和AED的面積之和為. 8.如圖,OA=OD,OAOD,OB=OC,OBOC,經(jīng)過點(diǎn)O的直線l分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.(1)試說明:SOAB=SOCD;(2)若直線l平分CD,求證:OF=AB.9.如圖,點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn),DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F.(1)當(dāng)MDN繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動時(shí),求證:DE=DF;(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積.10.如圖,等腰三角形ABC繞頂點(diǎn)B

7、逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1BC1的位置,AB與A1C1相交于點(diǎn)D,AC與A1C1,BC1分別相交于點(diǎn)E,F.(1)求證:BCFBA1D;(2)當(dāng)C=時(shí),判斷四邊形A1BCE的形狀并說明理由.一線三直角模型1.模型說明一線三直角是一個(gè)常見的相似模型,指的是有三個(gè)直角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形,有些地區(qū)稱“三垂直模型”,也有稱“K形圖”或“M形圖”.(一線三等角不僅可以是直角,也可以是銳角或鈍角.本專題主要研究一線三直角模型)2.識別方法(1)查找圖形中已知的直角,順著這個(gè)直角的頂點(diǎn)尋找或者構(gòu)造模型中的“一線”;(2)構(gòu)造其他直角,構(gòu)造的直角的頂點(diǎn)必須在“同一條直線”上, “這條直線”可能在已知角的

8、外部,也可能“穿過”這個(gè)角.3.構(gòu)造一線三直角的基本步驟做題過程中,若出現(xiàn)一直角的頂點(diǎn)在一條直線上的形式,就可以構(gòu)造兩側(cè)的直角三角形,利用全等三角形或相似三角形解決相關(guān)問題.綜合性題目往往就會把全等和相似的轉(zhuǎn)化作為出題的一種形式.本質(zhì)就是找角、定線、構(gòu)相似或垂直.一線三直角的基本圖形一般結(jié)論一線三直角的應(yīng)用ACDBAE.特殊地,當(dāng)AB=AC時(shí),ACDBAE.圖形中已經(jīng)存在“一線三直角”,直接應(yīng)用模型解題;圖形中存在“一線兩直角”,補(bǔ)上“一直角”構(gòu)造此模型;圖形中只有直線上的一個(gè)直角,補(bǔ)上“兩直角”構(gòu)造此模型;圖形中只有一個(gè)直角,過該直角頂點(diǎn)補(bǔ)上“一線”,再補(bǔ)上“兩直角”,構(gòu)造此模型;對于平面直

9、角坐標(biāo)系,在x軸或y軸(也可以是平行于x軸或y軸的直線)上構(gòu)造“一線三直角”是解決問題的關(guān)鍵.突破點(diǎn)1三角形中運(yùn)用一線三直角進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算 如圖,在RtABC中,C=90°,AEB=135°,BE=3,DEBE交AB于點(diǎn)D,若DE=,則AE的長為. 思路分析觀察題圖,有兩個(gè)直角,即DEB和C,有“一條線”,即直線AC.過點(diǎn)D作AC的垂線,即可構(gòu)造一線三直角模型,然后結(jié)合題中的條件用“相似+勾股”進(jìn)行證明和計(jì)算.突破點(diǎn)2四邊形中運(yùn)用一線三直角求線段長 如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn),將ABE沿AE折疊,使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)的點(diǎn)F處,連接C

10、F,則CF的長為. 思路分析題圖中的直角有很多,與CF聯(lián)系緊密且易于構(gòu)造一線三直角模型的直角是AFE,過直角頂點(diǎn)F作豎直的線(作矩形ABCD的邊AD的垂線),可構(gòu)造一線三直角模型,再結(jié)合題中的條件用“相似+勾股”進(jìn)行相關(guān)計(jì)算.突破點(diǎn)3一線三直角在二次函數(shù)中的運(yùn)用 拋物線y=x2-4x+3與坐標(biāo)軸交于A,B,C三點(diǎn),點(diǎn)P在拋物線上,PEBC于點(diǎn)E,若PE=2CE,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 思路分析圖形中與點(diǎn)P相關(guān)的直角頂點(diǎn)是E,可過點(diǎn)E作x軸或y軸的平行線,構(gòu)造一線三直角模型,然后利用相關(guān)知識進(jìn)行計(jì)算.1.在四邊形ABCD中,BAD=ACB=90°,AB=AD,AC=4BC

11、,若CD的長為5,則四邊形ABCD的面積為. 2.如圖,已知ABC=90°,AD=BC,CE=BD,AE與CD相交于點(diǎn)M,則AMD=°. 3.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角三角形OAB的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)處,ABO=90°,OB=AB,已知點(diǎn)A(2,4),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 4.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)B(4,0),點(diǎn)C在第一象限內(nèi),若ABC為等邊三角形,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為. 5.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,把矩形OABC的頂點(diǎn)O放在原點(diǎn)處,把邊OA,OC分別放在x軸的正半軸、y軸的正半軸上,點(diǎn)D在OC邊上,把B

12、DC沿直線BD翻折,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在x軸上的點(diǎn)E處,已知B(10,8),則直線BD的解析式為. 6.如圖,在四邊形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45°,則BD的長為. 7.如圖,在四邊形ABCD中,ABC=BAD=90°,ACD=45°,AB=3,AD=4,則BC的長為. 8.如圖,已知拋物線y=-x2與直線AB交于A(-2,-4),B兩點(diǎn),連接AO,BO,若AOB=90°,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 高分突破微專項(xiàng)1全等三角形中的兩大輔助線技巧1.1<AD<4【解析】如圖,延長AD

13、到點(diǎn)E,使ED=AD,連接CE.AD是ABC的中線,BD=CD,又ADB=CDE,ABDECD,AB=EC,在AEC中,AC+EC>AE,且EC-AC<AE,即AB+AC>2AD,AB-AC<2AD,2<2AD<8,1<AD<4.2.BE+CF>EF【解析】如圖,延長ED至點(diǎn)P,使DP=DE,連接FP,CP,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),BD=CD,又EDB=CDP,BDECDP,BE=CP.DEDF,DE=DP,EF=FP.又在CFP中,CP+CF=BE+CF>FP,BE+CF>EF.3.證明:如圖,延長AD到點(diǎn)G,使得DG=AD,連接B

14、G.AD是BC邊上的中線,DC=DB.在ADC和GDB中,ADCGDB,CAD=G,BG=AC.BE=AC,BE=BG,BED=G,又BED=AEF,AEF=CAD,AF=EF.4.證明:如圖,過點(diǎn)C作CHAB,交FE的延長線于點(diǎn)H,則B=ECH,BGE=H.點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),BE=CE.在BEG和CEH中,BEGCEH,BG=CH,又BG=CF,CH=CF,F=H.EFAD,F=CAD,BGE=BAD,又BGE=H,BAD=CAD,AD為ABC的角平分線.5.【解析】如圖,將ABP以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得ACD,過點(diǎn)A作AECD交CD的延長線于點(diǎn)E,連接PD,易得ABP

15、ACD,AP=AD,BP=CD,PAD=BAC=60°,ADP為等邊三角形,AP=PD.在CDP中,DP=1,CD=,PC=,PD2+CD2=PC2,CDP是直角三角形,且CDP=90°,CDP+ADP=150°,ADE=30°.在RtADE中,AE=AD=,ED=AE=,CE=CD+DE=+,AC2=3+,SABC=×AC2=.6.45°【解析】如圖,將ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADG的位置,得EAG=90°,ABEADG,BE=DG,AE=AG,又BE+DF=EF,FG=EF,AEFAGF,EAF=GAF,

16、EAF=EAG=45°.7.4.51【解析】方法一:如圖(1),將BEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到GED的位置,易得EGAE,BEFGED,GE=BE=2.2,SBFE+SAED=SAEG=AE·EG=×2.2×4.1=4.51.方法二:如圖(2),將AED繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到GEF的位置,則EGAE,AEDGEF,GE=AE=4.1,SBFE+SAED=SGBE=BE·EG=×2.2×4.1=4.51.圖(1)圖(2)8.(1)證明:OA=OD,可將AOB以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)至DOG的位置,如圖所示,

17、則AOBDOG,SOAB=SODG,AOB=DOG,OB=OG.OAOD,OB=OC,OBOC,COD+AOB=COD+DOG=180°,OC=OG,C,O,G三點(diǎn)共線,OD為CDG中CG邊上的中線,SODG=SOCD,SOAB=SOCD.(2)證明:直線l平分CD,CF=DF.由(1)可知,OC=OG,OF為CDG的中位線,OF=DG,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得DG=AB,OF=AB.9.(1)證明:連接DC,點(diǎn)D為等腰直角三角形ABC斜邊AB的中點(diǎn),CDAB,CD=DA,CD平分BCA,ECD=DCA=45°.DMDN,EDN=90°,又CDA=90°,CDE=

18、FDA.在CDE和ADF中,CDEADF,DE=DF.(2)CDEADF,SCDE=SADF,=CD·AD=.10.(1)證明:ABC是等腰三角形,AB=BC,A=C.將等腰三角形ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到A1BC1的位置,A1B=AB=BC,A1=A=C,A1BD=CBC1.在BCF與BA1D中,BCFBA1D.(2)當(dāng)C=時(shí),四邊形A1BCE是菱形.理由:由題易得A1=A.又ADE=A1DB,AED=A1BD=,DEC=180°-.C=,A1=,A1BC=360°-A1-C-A1EC=180°-,A1=C,A1BC=A1EC,四邊形A1BCE是平行四

19、邊形,又A1B=BC,四邊形A1BCE是菱形.高分突破微專項(xiàng)2一線三直角模型1.10【解析】如圖,過點(diǎn)D作DEAC,交AC于點(diǎn)E.BAD=ACB=90°,AB=AD,根據(jù)一線三直角模型,可得ABCDAE,AE=BC,AC=DE.設(shè)BC=AE=a,則CE=3a.在RtCDE中,CE2+DE2=CD2,即(3a)2+(4a)2=52,解得a=1(負(fù)值已舍去),DE=AC=4a=4,S四邊形ABCD=SABC+SACD=BC·AC+AC·DE=×1×4+×4×4=10.2.45【解析】如圖,過點(diǎn)A作ANAB,且AN=BD,連接DN

20、,CN.AD=BC,DANCBD,AND=CDB,DN=DC.又AND+NDA=90°,CDB+NDA=90°,NDC=90°,CDN是等腰直角三角形,NCD=45°.AN=DB,CE=BD,AN=CE.又ANCE,四邊形ANCE是平行四邊形,CNAE,AMD=NCD=45°.3.(3,1)【解析】如圖,過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為F,過點(diǎn)A作y軸的垂線,垂足為E,兩線交于點(diǎn)D,則ADB=BFO=90°.ABO=90°,AB=OB,根據(jù)一線三直角模型,可得ABDBOF,AD=BF,BD=OF.設(shè)AD=BF=a,BD=OF=b.

21、A(2,4),AE=2,DF=4,解得a=1,b=3.OF=3,BF=1,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1).4.(5,3)【解析】如圖,過點(diǎn)C作CDAB于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作y軸的垂線,垂足為E,過點(diǎn)C作CFED,交ED的延長線于點(diǎn)F.點(diǎn)A(0,2),點(diǎn)B(4,0),OA=2,OB=4.ABC為等邊三角形,CD=AD.易知DE為AOB的中位線,DE=OB=2,AE=OA=.根據(jù)一線三直角模型,可得ADEDCF,=,解得DF=3,CF=2,EF=DE+DF=5,CF+OE=3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,3).5.y=x+3【解析】在矩形OABC中,B(10,8),OC=AB=8,OA=BC=10.由折疊的性質(zhì)可知DE=CD,BE=BC=10.在RtABE中,AE=6,OE=OA-AE=10-6=4.根據(jù)一線三直角模型可知,DOEEAB,=,即=,解得OD=3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3).設(shè)直線BD的解析式為y=ax+3,將B(10,8)代入,解得a=,故直線BD的解析式為y=x+3.6.【解析】如圖,過點(diǎn)C作CFAD于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BEAD,交DA的延長線于點(diǎn)E.在RtCDF中,ADC=45°,CD=DF=CF,CF=DF=,AF=AD-DF=4-.CFA=CAB=AEB=90°,AC=AB,根據(jù)一線三直角模型,可得ACFBAE,AE=CF=,BE=AF=4-,DE=AD+AE=4+