高等代數(shù)北大版λ矩陣

1、第八章 -矩陣本章主要介紹-矩陣及其性質(zhì)，并用這些性質(zhì)證明若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的主要定理。§1 -矩陣如果一個(gè)矩陣的元素是的多項(xiàng)式，即的元素，這個(gè)矩陣就稱為-矩陣。為了與-矩陣相區(qū)別，我們把以數(shù)域P中的數(shù)為元素的矩陣稱為數(shù)字矩陣。由于數(shù)域中的數(shù)也是中的元素，所以在-矩陣中包括以數(shù)為元素的矩陣，即數(shù)字矩陣為-矩陣的一個(gè)特殊情形。同樣可以定義一個(gè)-矩陣的行列式，既然有行列式，也就有-矩陣的子式的概念。利用這個(gè)概念。我們有定義1 如果-矩陣中有一個(gè)級(jí)子獅不為零。而所有級(jí)子式（如果有的話）全為零，則稱的秩為，零矩陣的秩規(guī)定為零。定義2 一個(gè)的-矩陣稱為可逆的，如果有一個(gè)的-矩陣使 = （1）這里是級(jí)單

2、位矩陣。適合（1）的矩陣（它是唯一的）稱為的逆矩陣，記為關(guān)于-矩陣可逆的條件有定理1 一個(gè)的-矩陣是可逆的充分必要條件為行列式是一個(gè)非零的數(shù)。§2 -矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形-矩陣也有初等變換。定義3 下面的三種變換叫做-矩陣的初等變換：（1）矩陣的兩行（列）互換位置；（2）矩陣的某一行（列）乘以非零的常數(shù)；（3）矩陣的某一行（列）加另一行（列）的倍，是一個(gè)多項(xiàng)式。初等變換都是可逆的，并且有。為了寫起來(lái)方便起見(jiàn)，我們采用以下的記號(hào)：代表行（列）互換位置；代表用非零的數(shù)去乘行（列）；代表把行（列）的倍加到行（列）。定義4 -矩陣稱為與等價(jià)，如果可以經(jīng)過(guò)一系列初等變換將化為。等價(jià)是-矩陣

3、之間的一種關(guān)系，這個(gè)關(guān)系，顯然具有下列三個(gè)性質(zhì)：（1） 反身性：每一個(gè)-矩陣與自己等價(jià)。（2） 對(duì)稱性：若與等價(jià)，則與等價(jià)。這是由于初等變換具有可逆性的緣故。（3） 傳遞性：若與等價(jià)，與等價(jià)，則與等價(jià)，引理 設(shè)-矩陣的左上角，并且中至少有一個(gè)元素不能被它除盡，那么一定可以找到一個(gè)與等價(jià)的矩陣，它的左上角元素也不為零，但是次數(shù)比的次數(shù)低。定理2 任意一個(gè)非零的的-矩陣都等價(jià)與下列形式的矩陣 最后化成的這個(gè)矩陣稱為的標(biāo)準(zhǔn)形。例 用初等變換化-矩陣§3 不變因子現(xiàn)在來(lái)證明，-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。為此，我們引入定義5 設(shè)-矩陣的秩為，對(duì)于正整數(shù)，中必有非零的級(jí)子式。中全部級(jí)子式的首項(xiàng)系數(shù)為

4、1的最大公因式稱為的級(jí)行列式因子。由定義可知，對(duì)于秩為的-矩陣，行列式因子一共有個(gè)。行列式因子的意義就在于，它在初等變換下是不變的。定理3 等價(jià)的-矩陣具有相同的秩與相同的各級(jí)行列式因子現(xiàn)在來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的行列式因子。設(shè)標(biāo)準(zhǔn)形為其中，是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，且。不難證明，在這種形式的矩陣中，如果一個(gè)級(jí)子式包含的行與列的標(biāo)號(hào)不完全相同，那么這個(gè)級(jí)子式一定為零。因此，為了計(jì)算級(jí)行列式因子，只要看由列組成的級(jí)子式就行了，而這個(gè)級(jí)子式等于顯然，這種級(jí)子式的最大公因式就是。定理4 -矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。定義6 標(biāo)準(zhǔn)形的主對(duì)角線上非零元素稱為-矩陣的不變因子。定理5 兩個(gè)-矩陣等價(jià)的充分必要條件是它們

5、有相同的行列式因子，或者，它們有相同的不變因子。由(3)可以看出，在-矩陣的行列式之間，有關(guān)系 。 （4）在計(jì)算-矩陣的行列式因子時(shí)，常常是先計(jì)算高級(jí)的行列式因子。這樣，由（4）我們就大致有了低級(jí)行列式因子的范圍了。作為一個(gè)例子，我們來(lái)看可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形。設(shè)為一個(gè)可逆矩陣，由定理1知 其中是一非零常數(shù)。這就是說(shuō)，。于是由（4）可知， 。因此，可逆矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是單位矩陣。反過(guò)來(lái)，與單位矩陣等價(jià)的矩陣一定是可逆的，因?yàn)樗男辛惺绞且粋€(gè)非零的數(shù)。這就是說(shuō)，矩陣可逆的充分必要條件是它與單位矩陣等價(jià)。又矩陣與等價(jià)的充分必要條件是有一系列初等矩陣，使得=。特別地，當(dāng)=時(shí)，就得到定理6 矩陣是可逆的充分必要

6、條件是它可以表成一些初等矩陣的乘積。由此又得到矩陣等價(jià)的另一條件推論 兩個(gè)的-矩陣與等價(jià)的充分必要條件為，有一個(gè)可逆矩陣與一個(gè)可逆矩陣，使 =。§4 矩陣相似的條件在求一個(gè)數(shù)字矩陣的特征值和特征向量時(shí)曾出現(xiàn)過(guò)-矩陣，我們稱它為的特征矩陣。這一節(jié)的主要結(jié)果是證明兩個(gè)數(shù)字矩陣和相似的充分必要條件是它們的特征矩陣和等價(jià)。引理1 如果數(shù)字矩陣，使=（） （1）則與相似。引理2 對(duì)于任何不為零的數(shù)字矩陣和-矩陣與，一定存在-矩陣與以及數(shù)字矩陣和使 =（）+， （2） =（）+。 （3）定理7 設(shè)，是數(shù)域上兩個(gè)矩陣。與相似的充分必要條件是它們的特征矩陣和等價(jià)。矩陣的特征值的不變因子以后就簡(jiǎn)稱為的

7、不變因子。因?yàn)閮蓚€(gè)-矩陣等價(jià)的充分必要條件是它們有相同的不變因子，所以定理7即得推論 矩陣與相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子。應(yīng)該指出，矩陣的特征矩陣的秩一定是。因此，矩陣的不變因子總是有個(gè)，并且，它們的乘積就等于這個(gè)矩陣的特征多項(xiàng)式。以上結(jié)果說(shuō)明，不變因子是矩陣的相似不變量，因此我們可以把一個(gè)線性變換的任一矩陣的不變因子（它們與該矩陣的選取無(wú)關(guān)）定義為此線性變換的不變因子。§5 初等因子這一節(jié)與下一節(jié)中我們假定討論中的數(shù)域是復(fù)數(shù)域。上面已經(jīng)看到，不變因子是矩陣的相似不變量。為了得到若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，再引入定義7 把矩陣（或線性變換）的每個(gè)次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的一次因

8、式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）稱為矩陣（或線性變換）的初等因子。例 設(shè)12級(jí)矩陣的不變因子是1， 1（9個(gè)），。按定義，它的初等因子有7個(gè)，即 ，。其中出現(xiàn)三次，出現(xiàn)二次?，F(xiàn)在進(jìn)一步來(lái)說(shuō)明不變因子和初等因子的關(guān)系。首先，假設(shè)級(jí)矩陣的不變因子，為已知。將分解成互不相同的一次因式方冪的乘積： =， =， =，則其中對(duì)應(yīng)于的那些方冪 就是的全部初等因子。我們注意不變因子有一個(gè)除盡一個(gè)的性質(zhì)，即 ，從而 。因此，在，的分解式中，屬于同一個(gè)一次因式的方冪的指數(shù)有遞升的性質(zhì)，即 。這說(shuō)明，同一個(gè)一次因式的方冪作成的初等因子中，方次最高的必定出現(xiàn)在的分解中，方次次高的必定出

9、現(xiàn)在的分解中。如此順推下去，可知屬于同一個(gè)一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中出現(xiàn)的位置是唯一確定的。上面的分析給了我們一個(gè)如何從初等因子和矩陣的級(jí)數(shù)唯一地作出不變因子的方法。設(shè)一個(gè)級(jí)矩陣的全部初等因子為已知，在全部初等因子中將同一個(gè)一次因式 的方冪的那些初等因子按降冪排列，而且當(dāng)這些初等因子的個(gè)數(shù)不足時(shí)，就在后面補(bǔ)上適當(dāng)個(gè)數(shù)的1，使得湊成個(gè)。設(shè)所得排列為 ， 。于是令 則，就是的不變因子。這也說(shuō)明了這樣一個(gè)事實(shí)：如果兩個(gè)同級(jí)的數(shù)字矩陣有相同的初等因子，則它們就有相同的不變因子，因而它們相似。反之，如果兩個(gè)矩陣相似，則它們有相同的不變因子，因而它們有相同的初等因子。綜上所述，即得定理8

10、 兩個(gè)同級(jí)矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子。引理 設(shè) = =如果多項(xiàng)式，都與，互素，則與等價(jià)。下面的定理給了我們一個(gè)求初等因子的方法，它不必事先知道不變因子。定理9 首先用初等變換化特征矩陣為對(duì)角形式，然后將主對(duì)角線上的元素分解成互不相同的一次因式的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計(jì)算）就是的全部初等因子。§6 若當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)形的理論推導(dǎo)我們用初等因子的理論來(lái)解決若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算問(wèn)題。首先計(jì)算若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的初等因子。不難算出若當(dāng)塊 的初等因子是。事實(shí)上，考慮它的特征矩陣 。顯然=，這就是的級(jí)行列式因子。由于有一個(gè)級(jí)子式是,所以它的級(jí)行列式因子是1

11、，從而它以下各級(jí)的行列式因子全是1。因此，它的不變因子，。有此即得，。在利用§5的定理9，若當(dāng)形矩陣的初等因子也很容易算出。設(shè) 是一個(gè)若當(dāng)形矩陣，其中 既然的初等因子是所以與 與 等價(jià)。因此，全部初等因子是：，。這就是說(shuō)，每個(gè)若當(dāng)形矩陣的全部初等因子就是它的全部若當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的，由于每個(gè)若當(dāng)塊完全被它的級(jí)數(shù)與主對(duì)角線上元素所刻劃，而這兩個(gè)數(shù)都反映在它的初等因子中。因此，若當(dāng)塊被它的初等因子唯一決定。由此可見(jiàn)，若當(dāng)形矩陣除去其中若當(dāng)塊排列次序外被它的初等因子唯一決定。定理10 每個(gè)級(jí)的復(fù)數(shù)矩陣都與一個(gè)若當(dāng)形矩陣相似，這個(gè)若當(dāng)形矩陣除去若當(dāng)塊的排列次序外是被矩陣唯一決定的，它稱為的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形例1 在第5節(jié)的例中，