十一函數(shù)的模型及其應(yīng)用

1、十一 函數(shù)的模型及其應(yīng)用知識(shí)要點(diǎn)：1 幾類不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型： （1）直線模型： 均勻增加 （2）指數(shù)函數(shù)模型： 隨著自變量的增加，函數(shù)值增大的速度越來越快，爆炸式增長(zhǎng) （3）對(duì)數(shù)函數(shù)模型： 隨著自變量的增加，函數(shù)值增大的速度越來越慢。 （4）冪函數(shù)模型： 隨著自變量的增加，函數(shù)值增大的速度相對(duì)平穩(wěn)。2幾類增長(zhǎng)函數(shù)模型增長(zhǎng)速度比較：對(duì)于指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)模型 ，對(duì)數(shù)函數(shù)，總存在當(dāng)時(shí)，3數(shù)學(xué)建模： 數(shù)據(jù)搜集處理數(shù)據(jù)構(gòu)建擬合函數(shù)回歸實(shí)踐檢驗(yàn)擬合函數(shù)。題例：1客車從甲地以的速度勻速行駛小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時(shí)，然后以的速度勻速行駛小時(shí)到達(dá)丙地。下列描述客車從甲地出發(fā)，經(jīng)過乙地，最后到達(dá)丙地所經(jīng)

2、過的路程與時(shí)間之間關(guān)系的圖象中，正確的是2.已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線假定為直線）行駛甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）那么對(duì)于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是 （ ）A在時(shí)刻，甲車在乙車前面 B時(shí)刻后，甲車在乙車后面C在時(shí)刻，兩車的位置相同D時(shí)刻后，乙車在甲車前面3某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷兩個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)，該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價(jià)表如下：高峰時(shí)間段用電價(jià)格表低谷時(shí)間段用電價(jià)格表高峰月用電量（單位：千瓦時(shí)）高峰電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）低谷月用電量（單位：千瓦時(shí)）低谷電價(jià)（單位：元/千瓦時(shí)）50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超過50至200

3、的部分0.598超過50至200的部分0.318超過200的部分0.668超過200的部分0.388若某家庭5月份的高峰時(shí)間用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，則按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為_元（用數(shù)字作答）。4.要在邊長(zhǎng)為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭，使整個(gè)草坪都能噴灑到水假設(shè)每個(gè)噴水龍頭的噴灑范圍都是關(guān)徑為6米的圓面，則需安裝這種噴水龍頭的個(gè)數(shù)最少是（）（毫克）（小時(shí)）5為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，

4、回答下列問題：（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（II）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室6.某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交元（）的管理費(fèi)，預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元（）時(shí)，一年的銷售量為萬件（）求分公司一年的利潤(rùn)（萬元）與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式；（）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，并求出的最大值解：（）分公司一年的利潤(rùn)（萬元）與售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式為：（）令得或（不合題意，舍去），在兩側(cè)的值由正變負(fù)

5、所以（1）當(dāng)即時(shí)，（2）當(dāng)即時(shí)，所以答：若，則當(dāng)每件售價(jià)為9元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬元）；若，則當(dāng)每件售價(jià)為元時(shí)，分公司一年的利潤(rùn)最大，最大值（萬元）7.水庫的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為V（t）=（）該水庫的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以i1ti表示第i月份（i=1,2,12）,問一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期？（）求一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量（取e=2.7計(jì)算）.解：（）當(dāng)0t10時(shí)，V(t)=(t2+14t40)化簡(jiǎn)得t214t+400,解得t4，或t10，又0t10，故0t4

6、.當(dāng)10t12時(shí)，V（t）4（t10）（3t41）+5050,化簡(jiǎn)得（t10）（3t41）0,解得10t，又10t12,故 10t12.綜合得0t4,或10t12,故知枯水期為1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6個(gè)月.()由()知：V(t)的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到.由V（t）= 令V(t)=0,解得t=8(t=2舍去).當(dāng)t變化時(shí)，V(t) 與V (t)的變化情況如下表：t(4,8)8(8,10)V(t)+0V(t)極大值由上表，V(t)在t8時(shí)取得最大值V(8)8e2+50108.32(億立方米).故知一年內(nèi)該水庫的最大蓄水量是108.32億立方米8.某地建一座橋，兩端的橋墩

7、已建好，這兩墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬元。 （）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （）當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最小？解 （）設(shè)需要新建個(gè)橋墩，所以 （）由（）知，令，得，所以=64 當(dāng)064時(shí)0. 在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，所以在=64處取得最小值，此時(shí)，故需新建9個(gè)橋墩才能使最小。9某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD 的頂點(diǎn)A,B 及CD的中點(diǎn)P 處，已知AB=20km,CB =10km ，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD 的區(qū)域上（含邊界），且A,B 與等距離的一點(diǎn)O 處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO,BO,OP ，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為km（）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：設(shè)BAO=(rad)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)OP(km) ，將表示成x的函數(shù)關(guān)系式（）請(qǐng)你選用（）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短解：（）由條件知PQ 垂直平分AB，若BAO=(rad) ，則, 故，又OP1010ta，所以， 所求