非線性Volterra積分方程

1、一類第二種非線性Volterra積分方程積分?jǐn)?shù)值解方法1前言 微分方程和積分方程都是描述物理問題的重要數(shù)學(xué)工具，各有優(yōu)點(diǎn).相對(duì)于某種情況來說，對(duì)于某種物理數(shù)學(xué)問題，積分方程對(duì)于問題的解決比微分方程更加有優(yōu)勢(shì)，使對(duì)問題的研究更加趨于簡(jiǎn)單化，在數(shù)學(xué)上，利用積分形式討論存在性、唯一性往往比較方便，結(jié)果也比較完美,所以研究積分方程便得越來越有用,日益受到重視. 積分方程的發(fā)展，始終是與數(shù)學(xué)物理問題的研究息息相關(guān).一般認(rèn)為，從積分發(fā)展的源頭可以追溯到國(guó)外的數(shù)學(xué)家克萊茵的著作古今數(shù)學(xué)思想，該書是被認(rèn)為第一個(gè)清醒的認(rèn)為應(yīng)用積分方程求解的是Abel.Abel分別于1833年和1826年發(fā)表了兩篇有關(guān)積分方程的

2、文章，但其正式的名稱卻是由數(shù)學(xué)家du Bois-Raymond首次提出的，把該問題的研究正式命名為積分方程。所以最早研究積分方程的是Abel,他在1823年從力學(xué)問題時(shí)首先引出了積分方程，并用兩種方法求出了它的解,第一的積分方程便是以Abel命名的方程.該方程的形式為：,該方程稱為廣義Abel方程,式中a的值在(0,1)之間.當(dāng)a=時(shí)，該式子便成為.在此之前，Laplace于1782年所提出的求Laplace反變換問題，當(dāng)時(shí)這個(gè)問題就要求解一個(gè)積分方程.但是Fourier其實(shí)已經(jīng)求出了一類積分方程的反變換，這就說明在早些時(shí)候積分方程就已經(jīng)在專業(yè)性很針對(duì)的情況下得到了研究，實(shí)際上也說明了Four

3、ier在研究反變換問題是就相當(dāng)于解出了一類積分方程.積分方程的形成基礎(chǔ)是有兩位數(shù)學(xué)家Fredholm和Volterra奠定的，積分方程主要是研究?jī)深愊嚓P(guān)的方程，由于這兩位數(shù)學(xué)家的突出貢獻(xiàn)，所以這兩個(gè)方程被命名為Fredholm方程和Volterra方程。后來又有德國(guó)數(shù)學(xué)家D.Hilbert進(jìn)行了重要的研究，并作出了突出的貢獻(xiàn)，由于D.Hilbert領(lǐng)頭科學(xué)家的研究，所以掀起了一陣研究積分方程的熱潮，并出現(xiàn)了很多重要的成果，后來該理論又推廣到非線性部分。我國(guó)在60年代前，積分方程這部分的理論介紹和相關(guān)書本主要靠翻譯蘇聯(lián)的相關(guān)書籍，那時(shí)研究的積分方程基本是一種模式，即用古典的方法來研究相關(guān)的積分方

4、程問題，這樣使得問題的研究變得繁瑣、復(fù)雜，在內(nèi)容方面比較單一、狹隘，甚至有些理論故意把積分方程的研究趨向于復(fù)雜化。隨著數(shù)學(xué)研究的高速發(fā)展，特別是積分方程近年來的豐富發(fā)展，如此單一、刻板的解法已經(jīng)不能跟上數(shù)學(xué)研究時(shí)代的步伐。在九十年代我國(guó)的數(shù)學(xué)專家路見可、鐘壽國(guó)出版了積分方程論，該書選擇空間來討論古典積分方程，并結(jié)合泛函分析的算子理論來分析積分方程的相關(guān)問題。最近出版的比較適合一般讀者閱覽的積分方程的書有李星出版的積分方程，該書從最簡(jiǎn)單的方法分析研究積分方程的理論問題，并給日后打算研究泛函的讀者提供了基本的實(shí)例。由于現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)技術(shù)高速發(fā)展，對(duì)于一些比較復(fù)雜，難以求解的非線性積分方程逐漸采用了比

5、較有效的數(shù)值解，常用的方法有逐次逼近法、Adomian分解法、配置法、haar小波方法、小波-Galerkin方法、泰勒展開等等一些方法. 現(xiàn)在積分方程的應(yīng)用廣泛，很多問題都可以引出積分方程，并可用積分方程來解決.像彈性弦問題、線性系統(tǒng)響應(yīng)問題、人口增長(zhǎng)問題、等時(shí)曲線問題等等.還有在空氣動(dòng)力學(xué)中研究分子運(yùn)動(dòng)，對(duì)于非均勻流體中懸浮晶粒的布朗位移，導(dǎo)致了以柯爾莫哥洛夫命名的一類非線性積分方程.在確定飛機(jī)機(jī)翼方面的研究中，對(duì)于氣流、升力等問題的計(jì)算中也引出了積分方程的研究.現(xiàn)在很多積分方程方面的研究都取得了不錯(cuò)的進(jìn)展.2、 預(yù)備知識(shí) 積分方程是一個(gè)在積分號(hào)下出現(xiàn)待求的函數(shù)的方程，稱作積分方程。含一個(gè)

6、未知函數(shù)的線性積分方程的一般形式為： 1我們把積分號(hào)中的上下限為常數(shù)的積分方程稱為Fredholm方程。其中、是已知函數(shù)，是未知所要求的函數(shù)。一般稱為自由項(xiàng) ，稱為積分方程的核，而是積分方程的一個(gè)參數(shù)，方程的解與相關(guān)而與Fredholm對(duì)應(yīng)的是Volterra積分方程，與Fredholm的一個(gè)不同點(diǎn)是Volterra積分號(hào)下的上下限中的上限是一個(gè)變量而不是一個(gè)常數(shù)。本論文我們主要研究的是非線性的Volterra積分方程。非線性 Volterra積分方程的形式為 。同樣，為所求。積分方程的解法：一、 Fredholm積分方程一般的解法有：有限差分逼近法、逐次逼近法及解核、泛函修正平均法、Fred

7、holm積分方程退化核解法、退化核近似代替法、待定系數(shù)法。二、 Volterra積分方程的常用解法：有限差分逼近法、逐次逼近法、轉(zhuǎn)化為常微分方程的初值問題、第二類Volterra積分方程的數(shù)值積分解法。第二類線性volterra積分方程與第二類線性Fredholm積分方程的一個(gè)很大的差別是volterra方程的解不依賴于參數(shù)的值，即對(duì)于任何的參數(shù)該方程都有解，而且解具有唯一性。具體的證明過程參見，所以得出定理：如果核與自由函數(shù) 在Volterra積分方程的定域是連續(xù)函數(shù)，那么無論參數(shù)取何值該方程都有解，而且解具有唯一性。3、 Volterra積分方程3.1第一類Volterra積分方程3.1.

8、1 第一類線性Volterra積分方程 形如：其中函數(shù)、為已知的，為所要求的未知函數(shù)，這樣的方程叫第一類線性Volterra積分方程.一般來說第一類積分方程由于其不適定性，研究其解跟第二類積分方程有很大的不同，而且比較復(fù)雜，在此主要簡(jiǎn)單介紹一下.3.1.2 第一類Volteraa積分方程的一種解法 在某種情況下第一類Volterra積分方程通?？梢曰癁榈诙恦olterra積分方程的解，一般對(duì)方程兩邊求導(dǎo)，當(dāng)方程的、可微，且,就把第一類該方程化為第二類?；癁榈诙惖男问綖椋?這樣就可以用第二類積分方程的解法來求解.對(duì)于一種特殊的第一類Volterra積分方程：Abel方程，Abel方程是Vol

9、terra積分方程的一種特殊情況，其形式為： 其中當(dāng)時(shí)，該方程出現(xiàn)弱奇性。其解可根據(jù)定理：假設(shè)Abel積分方程的自由項(xiàng)是連續(xù)可微的，而且，則它有唯一的解.即 3.2第二類volterra積分方程3.2.1第二類線性Volterra積分方程第二類方程的形式：其中是所要求的未知函數(shù)，是已知或是需要討論的參數(shù)，跟Fredholm方程一樣是已知的函數(shù)，叫Volterra方程的核，當(dāng)=0時(shí)，Volterra方程可以看成特殊形式的Fredholm方程，而且Fredholm方程理論適合于Volterra方程。Volterra方程有自己的特點(diǎn)，例如，Volterr方程沒人特征值，對(duì)于任意的自由項(xiàng)它都有解。對(duì)于

10、第一類的Voltrra方程在某種條件下可以轉(zhuǎn)化為第二類Volterra方程。與第二類線性Fredholm積分方程一樣，第二類線性Volterra積分方程也有自己的迭核、解核，其迭核、解核的引出方法跟第二類線性Fredholm一樣.迭核：假設(shè)，則. ,我們稱為Volterra方程的迭核。 解核：我們稱為解核 只要知道方程的迭核，就能求得方程的解核，從而求得方程的解。第二類線性Volerra積分方程的解法：1、逐次逼近法 假設(shè)方程具有這樣一個(gè)形式的解如果對(duì)于逐次方法來說該方程有解，解次方程一般令那么，對(duì)于上述的級(jí)數(shù)一定收斂，即對(duì)級(jí)數(shù)收斂，可以證明對(duì)于任意的參數(shù)方程都有解，依據(jù)定理:如果核及自由項(xiàng)是

11、連續(xù)的實(shí)函數(shù).那么第二類線性Volterra方程 對(duì)于任意的參數(shù)存在一個(gè)唯一的連續(xù)解，而且解可以用逐次逼進(jìn)法求出.迭核：假設(shè)，則. ,我們稱為Volterra方程的迭核。 解核：我們稱為解核, 只要知道方程的迭核，就能求得方程的解核，從而求得方程的解。非線性第二類Volterra積分方程非線性第二類volterra積分方程的形式如：未知函數(shù)為，而、都是已知的。當(dāng)方程滿足一定條件時(shí)，可用逐次逼近法求解。對(duì)于第一類非線性Volterra積分方程可以通過轉(zhuǎn)化成第二類非線性Volterra積分方程求解。具體轉(zhuǎn)化的過程參見。非線性Volterra積分方程的數(shù)值解3.3 卷積型Volterra方程的解法第

12、二類卷積型Volterra積分方程的解1、形如稱為第二類卷積型Volterra積分方程，此類方程一般用Laplace變換來解決。如果方程中的、是足夠光滑、指數(shù)階的函數(shù)，那么方程的解也是指數(shù)階的，這樣就可以用Laplace變換來解此方程。設(shè)，通過對(duì)方程兩邊作Laplace變換，可得，解出，當(dāng)時(shí)，2、對(duì)于第一類Volterra積分方程，即方程同樣對(duì)方程兩邊作Laplace變換，可解得,所以方程的解為3、非線性Volterra積分方程Laplace變換的解.即方程，設(shè)，對(duì)方程兩邊作Laplace變換，可得出，當(dāng)存在時(shí)，該解就是非線性Volterra積分方程的Laplace變換得出的解.4、 積分?jǐn)?shù)值

13、解相關(guān)知識(shí)4.1 Newton-Cotes型積分求積公式 在這里我們主要討論的數(shù)值計(jì)算問題，可以假設(shè)在上可積.在一些時(shí)候函數(shù)并不是可積的能用初等函數(shù)來表示，所以有的時(shí)候并不能求出該函數(shù)的原函數(shù)，因此，這里我們來研究用數(shù)值方法解函數(shù)積分. 欲計(jì)算積分，其中為權(quán)函數(shù)，可以假設(shè)在n+1個(gè)互異的點(diǎn)：的值分別為：, ,就可以用, 的線性組合得出積分的近似解，即，其中插值求積公式： 是離散誤差其中 當(dāng)我們假設(shè)為有限區(qū)間，并將該區(qū)間分成n等份，取等距基點(diǎn)為： ，并且得出步長(zhǎng)為，根據(jù)上面所得出的差值求積公式，便可得出Newton-Cotes型積分求積公式，即，其中在Newton-Cotes型積分求積公式中，n

14、=1時(shí)，便可以得到梯形公式，即令，根據(jù)Newton-Cotes型積分求積公式便可以得出公式：，其中.如果令n=2時(shí)就可以得到simpson公式.4.2 復(fù)合梯形公式 我們假設(shè)所討論的積分中函數(shù)的定域義為，在該區(qū)間取n+1個(gè)互異基點(diǎn)，即，且取步長(zhǎng)為.在子區(qū)間上使用體型公式，所以從而可以得出： 舍去項(xiàng)，于是就得到復(fù)合梯形公式：5 積分方程的數(shù)值解方法5.1未知函數(shù)展開法 在這里，我們將討論在中完備的函數(shù)系在近似方程解方面的作用，這些函數(shù)系可以是正交的，也可以的非正交的，可以去某個(gè)函數(shù)系的有限項(xiàng)當(dāng)作方程解的近似值.設(shè)該函數(shù)系為，其中該函數(shù)系的各個(gè)函數(shù)是線性無關(guān)的，可令積分方程的解，把該近似函數(shù)代人積

15、分方程：，這樣就可得到，把它整理成： ，其中是殘差，如果能是等于零，那么方程的近似解就等于該方程的精確解，但是一般來說，要使等于零是很難的，一般在很小的情況下可以忽略，即得出方程的一種數(shù)值解：，但對(duì)殘差的不同要求，可以得出不同的解法，一般來說有如下幾種解法：配點(diǎn)法、Galerkin法、最小二乘法等方法.1、 配點(diǎn)法如果要求殘差在所選取的基點(diǎn)上滿足等于零，其中是一些互異的基點(diǎn)，如此便可以得到一下方程組：，（），求解該方程組變可以得到展開系數(shù)2、 矩量法對(duì)于矩量法以下用于Fredholm積分方程，即.矩量法就是要求殘差關(guān)于原點(diǎn)到N階的矩為零，即，可得到如下的方程組：，（）解此方程變可以得到展開系數(shù)

16、3、 Galerkin法Galerkin法要求殘差函數(shù)在平方可積空間即空間與函數(shù)內(nèi)積為零,即要求，.所以展開系數(shù)可以這樣來確定，取函數(shù)系中的前n個(gè)函數(shù)（）在a,b上與積分方程兩端正交，令于是展開系數(shù)滿足下列線性方程組： ,其中，解該方程組便可以得到展開系數(shù)5.2積分核級(jí)數(shù)展開法 積分核級(jí)數(shù)展開法又稱退化核近似方法，就是利用某種展開方式把非退化的核展開成近似退化的核，一般的展開方式有泰勒級(jí)數(shù)展開、Fourier級(jí)數(shù)展開、空間內(nèi)的線性無關(guān)的針對(duì)為知函數(shù)近似展開的函數(shù)系等等.如果利用泰勒展式，那么應(yīng)該注意保留合適的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)，一般來說應(yīng)該根據(jù)積分限的大小來決定級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù).也有把未知函數(shù)展開求積分方程的未

17、知函數(shù)的解. 對(duì)于用退化核來近似積分方程核的誤差有如下估計(jì)方法：定理1：設(shè)是積分方程核的近似退化核，對(duì)于退化核滿足條件 而且以退化核為積分核的積分方程的解核，成立 則積分方程 的解與用近似退化核代替的積分方程的解，滿足 在式子中,B是的一個(gè)上界.6 非線性Volterra積分方程的數(shù)值解 ，我們假定、在其定義域上都是連續(xù)函數(shù)，利用數(shù)值求值公式 =,是數(shù)值積分公式中的權(quán)系數(shù)，該方程組是一個(gè)n階的下三角方程組，有此我們可以順著方程組的頂端解出n個(gè)數(shù)值解，所以我們便得出方程的近視解 當(dāng)n趨向于無窮時(shí)該解也是趨于精確解6.1梯形公式我們?nèi)步長(zhǎng)，（n為大于1的正整數(shù)），是的終點(diǎn)，由梯形公式,，上述方程是一個(gè)下三角方程組，由積分方程組可知，