靜態(tài)套利定價(jià)理論APTDOC

1、第五講 靜態(tài)套利定價(jià)理論第一節(jié) 套利機(jī)會(huì)考慮一個(gè)無(wú)摩擦經(jīng)濟(jì)，假定投資者在期初進(jìn)行投資決策，期末的資產(chǎn)回報(bào)具有不確定性。假定該經(jīng)濟(jì)中存在種可以進(jìn)行交易的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其隨機(jī)回報(bào)率向量、線(xiàn)性無(wú)關(guān)，具有有限方差和期望回報(bào)率，其它風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和投資組合都是這N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的線(xiàn)性組合。假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可以無(wú)限賣(mài)空。記Z為這N種資產(chǎn)的回報(bào)率矩陣，即：則對(duì)任意一個(gè)可行投資組合w，投資一份該組合的成本為，回報(bào)率向量為Zw。定義：一個(gè)投資組合被稱(chēng)為套利組合，如果其成本為零，即。定義：一個(gè)投資組合（或資產(chǎn)）被稱(chēng)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合（或資產(chǎn)），如果該組合（或資產(chǎn)）在每個(gè)自然狀態(tài)上具有相同的回報(bào)，即，其中R為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。定義：一個(gè)特定的投

2、資組合被稱(chēng)為可復(fù)制的(duplicable)，如果存在其它不同的投資組合，滿(mǎn)足。定義：稱(chēng)一個(gè)投資組合是第一類(lèi)套利機(jī)會(huì)，如果它滿(mǎn)足： ，。其中第二個(gè)不等號(hào)至少有一個(gè)分量嚴(yán)格大于零。第一類(lèi)套利機(jī)會(huì)代表了一種投資，具有非正的成本，卻在將來(lái)有可能獲得正的收益，獲得負(fù)的收益的可能為零。定義：稱(chēng)一個(gè)投資組合是第二類(lèi)套利機(jī)會(huì)，如果它滿(mǎn)足： ，第二類(lèi)套利機(jī)會(huì)代表了一種投資，其成本為負(fù)，未來(lái)收益非負(fù)。在一個(gè)經(jīng)濟(jì)中可能只有第二類(lèi)套利機(jī)會(huì)，而沒(méi)有第一類(lèi)套利機(jī)會(huì)。例如：并不存在，滿(mǎn)足，因?yàn)?。但時(shí)，滿(mǎn)足，但。在一個(gè)經(jīng)濟(jì)中可能只有第一類(lèi)套利機(jī)會(huì)，而沒(méi)有第二類(lèi)套利機(jī)會(huì)。例如： 。對(duì)任意投資組合，其回報(bào)率向量為。只存在第一類(lèi)

3、套利機(jī)會(huì)，而沒(méi)有第二類(lèi)套利機(jī)會(huì)。定義：一個(gè)或有權(quán)益（或衍生資產(chǎn)）是期末回報(bào)完全由其它資產(chǎn)回報(bào)率決定的資產(chǎn)。包括遠(yuǎn)期合約(forward contract)、期權(quán)等。例如：一份遠(yuǎn)期合約(forward contract)，指在期末以期初約定的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)特定資產(chǎn)的義務(wù)。假定該資產(chǎn)的隨機(jī)回報(bào)為，操作價(jià)格為X，則該遠(yuǎn)期合約的隨機(jī)回報(bào)為： 。例如：一份一期的看漲期權(quán)(call option)，代表了一種在期末以特定價(jià)格購(gòu)買(mǎi)指定資產(chǎn)的權(quán)利。如果標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)回報(bào)為，期權(quán)的操作價(jià)格為X，則該期權(quán)的隨機(jī)回報(bào)為： 例如：一份一期的看跌期權(quán)(put option)，代表了一種在期末以特定價(jià)格賣(mài)出指定資產(chǎn)的權(quán)利。如果

4、標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)回報(bào)為，期權(quán)的操作價(jià)格為X，則該期權(quán)的隨機(jī)回報(bào)為： 第二節(jié) 無(wú)套利定價(jià)無(wú)套利條件下的期權(quán)價(jià)格關(guān)系：假定期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)期初價(jià)格為，期末價(jià)格為，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K，經(jīng)濟(jì)中的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為。記看漲期權(quán)價(jià)格為，看跌期權(quán)價(jià)格為，則有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：。性質(zhì)2：看漲期權(quán)的價(jià)格是其執(zhí)行價(jià)格的凸函數(shù)，即： ，。性質(zhì)3：在相同操作價(jià)格K下，標(biāo)的在n種資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合上的看漲期權(quán)的價(jià)格，要小于標(biāo)的在各資產(chǎn)上的看漲期權(quán)的價(jià)格的相同權(quán)重的加權(quán)和，即： ，。 性質(zhì)4：（看跌-看漲平價(jià)關(guān)系）。價(jià)格向量和資產(chǎn)價(jià)格：定義：一個(gè)向量p被稱(chēng)為支撐經(jīng)濟(jì)Z的價(jià)格向量，如果該向量滿(mǎn)足：。注：如果N種資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格向量為v

5、，期末回報(bào)矩陣為Y，則上述定義等價(jià)于。此處是一個(gè)維的向量，代表了自然狀態(tài)的基本權(quán)益價(jià)格，這種基本權(quán)益可以刻畫(huà)為：。經(jīng)濟(jì)中的價(jià)格向量p確定后，任給一份資產(chǎn)或投資組合p，知道其回報(bào)向量，則期初價(jià)格為。例如：操作價(jià)格為X的看漲期權(quán)(call option)，如果標(biāo)的資產(chǎn)的隨機(jī)回報(bào)為，則該期權(quán)的期初價(jià)格為： 。定理2.1：存在一個(gè)支撐回報(bào)率矩陣Z的非負(fù)價(jià)格向量的充分必要條件為不存在第二類(lèi)套利機(jī)會(huì)。例：，則，因此有： ， 。在該經(jīng)濟(jì)中存在第二類(lèi)套利機(jī)會(huì)。定理2.2：存在一個(gè)支撐回報(bào)率矩陣Z的正的價(jià)格向量的充分必要條件為同時(shí)不存在第一類(lèi)和第二類(lèi)套利機(jī)會(huì)。例：，則，因此，定理2.2的條件不成立，該經(jīng)濟(jì)中存在

6、著第一類(lèi)套利機(jī)會(huì)。例：，該經(jīng)濟(jì)存在一個(gè)價(jià)格向量：。容易證明，該經(jīng)濟(jì)中不存在兩類(lèi)套利機(jī)會(huì)。在該經(jīng)濟(jì)中，如果存在一種資產(chǎn)，其期末回報(bào)服從：，則該資產(chǎn)的期初價(jià)格為，標(biāo)的在該資產(chǎn)上的操作價(jià)格為2的看漲期權(quán)價(jià)格為： 。第三節(jié) 因子模型與APT一、因子模型定義：因子模型(factor model)是指一種假設(shè)證券回報(bào)率僅與不同因子變化有關(guān)的經(jīng)濟(jì)模型。因子模型的特點(diǎn)是：（1） 因子模型中的因子系統(tǒng)地影響所有證券價(jià)格的經(jīng)濟(jì)因素；（2） 證券回報(bào)率之間的相關(guān)性?xún)H源于對(duì)因子變化的共同反應(yīng)；（3） 證券回報(bào)率中不能由因子模型解釋的部分是該證券獨(dú)有的部分，與其它證券獨(dú)有部分無(wú)關(guān)。在因子模型中，資產(chǎn)的隨機(jī)回報(bào)率可以表示

7、為： ，在這類(lèi)模型中，資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)可以分為因子風(fēng)險(xiǎn)和非因子風(fēng)險(xiǎn)，通過(guò)分散化投資可以縮小非因子風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)因子的個(gè)數(shù)，因子模型可以分為單因子模型和多因子模型。例如：?jiǎn)我蜃幽Ｐ停篊APM模型是一個(gè)單因子模型，因子為市場(chǎng)組合回報(bào)率（或切點(diǎn)組合回報(bào)率）。多因子模型：資產(chǎn)價(jià)格可能依賴(lài)于GDP增長(zhǎng)率、利率水平、通貨膨脹率與石油價(jià)格，則這些變量都可以當(dāng)作因子。在實(shí)踐中，通?？梢赃x取與這些變量高度相關(guān)的資產(chǎn)或投資組合作為因子。在CAPM模型中，我們要求二基金分離成立，即：對(duì)于任意可行投資組合p的隨機(jī)回報(bào)率滿(mǎn)足：，其中e為切點(diǎn)組合，且，。如果上述條件不成立，直觀地我們可以想到，通過(guò)分散化投資也應(yīng)該可以將非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)消除

8、，從而投資組合的期望收益率之間存在著類(lèi)似的線(xiàn)性關(guān)系。Ross(1976)創(chuàng)立的套利定價(jià)理論（APT）告訴我們，如果經(jīng)濟(jì)中存在著大量的資產(chǎn)，并且不存在（極限情形下的）套利機(jī)會(huì)，那么在絕大多數(shù)資產(chǎn)的期望回報(bào)率之間仍然存在著一種近似線(xiàn)性關(guān)系。Ross(1976)的APT是一種多因子模型。定義：極限情形下的套利機(jī)會(huì)，是指一個(gè)具有期望回報(bào)率的下界大于零、方差收斂到零的套利組合序列。（無(wú)成本，且?guī)缀鯚o(wú)風(fēng)險(xiǎn)地得到正的回報(bào)）二、Ross的APT理論1、模型建立考慮一個(gè)資產(chǎn)數(shù)上升的經(jīng)濟(jì)序列，假定市場(chǎng)是完全競(jìng)爭(zhēng)的、無(wú)摩擦的，投資者是理性的、不飽和的，當(dāng)經(jīng)濟(jì)中存在套利機(jī)會(huì)時(shí)，投資者會(huì)通過(guò)構(gòu)造套利組合來(lái)增加自己的財(cái)富

9、。假定在第n個(gè)經(jīng)濟(jì)中，存在n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)回報(bào)率由一個(gè)K-因子模型生成： ， 。 (5.1)滿(mǎn)足： ， ；, 。 ，。 利用線(xiàn)性代數(shù)(5.1)式可以改寫(xiě)為： 。 (5.2)2、不存在非因子風(fēng)險(xiǎn)的情形：（）定理5.1：當(dāng)，即風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)回報(bào)完全由K因子和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)生成時(shí)，如果經(jīng)濟(jì)中不存在套利機(jī)會(huì)，則資產(chǎn)回報(bào)率之間存在一個(gè)嚴(yán)格的線(xiàn)性關(guān)系：。 (5.3)證明：對(duì)資產(chǎn)j，首先構(gòu)造一個(gè)由無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和K因子構(gòu)成的投資組合，其投資組合權(quán)重滿(mǎn)足：，該投資組合的隨機(jī)回報(bào)率為： 。下面我們根據(jù)無(wú)套利條件，來(lái)證明關(guān)系式：（1）如果，則賣(mài)空一單位貨幣在證券j上，投資一單位貨幣在上，該組合是一個(gè)套利組

10、合，成本為零，但期末回報(bào)，這蘊(yùn)涵經(jīng)濟(jì)中存在套利機(jī)會(huì)，與命題的假設(shè)矛盾。（2）如果，則賣(mài)空一單位貨幣在上，投資一單位貨幣在證券j上，該組合是一個(gè)套利組合，成本為零，但期末回報(bào)，這蘊(yùn)涵經(jīng)濟(jì)中存在套利機(jī)會(huì)，與命題的假設(shè)矛盾。由此我們有，所以由(5.1)得，資產(chǎn)的期望回報(bào)率之間存在著如下的線(xiàn)性關(guān)系式： 。證明完畢。3、存在非因子風(fēng)險(xiǎn)的情形（，）引理5.1：對(duì)于任意給定的正數(shù)，為滿(mǎn)足的資產(chǎn)數(shù)，如果極限情形下的套利機(jī)會(huì)不存在，則存在一個(gè)，對(duì)任意的，成立。 證明：采用反證法，假定不存在這樣一個(gè)，使得對(duì)所有的n，滿(mǎn)足，則序列存在一個(gè)子序列，滿(mǎn)足當(dāng)時(shí)，。下面我們來(lái)構(gòu)造套利組合：對(duì)于給定的，不妨假定滿(mǎn)足的資產(chǎn)為。

11、（1）對(duì)于每一個(gè)滿(mǎn)足條件的j，首先構(gòu)造一個(gè)由K個(gè)因子和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的投資組合，其投資組合權(quán)重滿(mǎn)足：，該投資組合的隨機(jī)回報(bào)率為： 。接著構(gòu)造套利投資組合：當(dāng)時(shí)，賣(mài)空一單位貨幣在上，投資一單位貨幣在證券j上；當(dāng)時(shí)，賣(mài)空一單位貨幣在證券j上，投資一單位貨幣在上。該組合是一個(gè)套利組合，其回報(bào)率為： 。其中 。（2）通過(guò)個(gè)套利組合來(lái)構(gòu)造套利組合，在中，在每個(gè)上的權(quán)重相等，都是。因此套利組合的期望回報(bào)率和方差分別為： ， 。由此出現(xiàn)了極限情形下的套利機(jī)會(huì)，與假設(shè)矛盾。定理5.2（Ross(1976)的APT）：當(dāng)經(jīng)濟(jì)中的資產(chǎn)數(shù)足夠多，且不存在極限情形下的套利機(jī)會(huì)時(shí)，對(duì)絕大多數(shù)資產(chǎn)而言，其期望回報(bào)率之間存

12、在一個(gè)近似線(xiàn)性關(guān)系。證明：根據(jù)引理5.1，對(duì)任意給定的正數(shù)，至多存在個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其隨機(jī)回報(bào)率可以表示為，且有：。相應(yīng)地這些資產(chǎn)的期望回報(bào)率滿(mǎn)足： 因此當(dāng)n足夠大時(shí)，經(jīng)濟(jì)中絕大多數(shù)資產(chǎn)滿(mǎn)足： ，即期望回報(bào)率之間存在一個(gè)近似線(xiàn)性關(guān)系。三、均衡套利定價(jià)理論在Ross(1976)的APT理論中，當(dāng)資產(chǎn)數(shù)足夠大時(shí)，近似線(xiàn)性關(guān)系對(duì)絕大多數(shù)資產(chǎn)都成立；但對(duì)特定的資產(chǎn)而言，對(duì)這種線(xiàn)性關(guān)系的偏離可能很大，因此對(duì)任意給定的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，我們希望來(lái)估計(jì)其期望回報(bào)率對(duì)線(xiàn)性關(guān)系偏離的程度。這方面的研究由Dybvig(1983)、Crinblatt&Titmam(1983)和Connor(1984)等給出。1、 模型假設(shè)假定

13、經(jīng)濟(jì)中存在N種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其回報(bào)率分別為和。假定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)嚴(yán)格地正供給，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)回報(bào)率由K-因子模型生成： ， 。其中，相互獨(dú)立。假定效用函數(shù)單調(diào)增、嚴(yán)格凹、三次連續(xù)可微，且所有個(gè)體的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)回避系數(shù)存在一個(gè)上界，即： ，對(duì)成立。假定市場(chǎng)是均衡的，經(jīng)濟(jì)中不存在套利機(jī)會(huì)。2、 均衡套利定價(jià)理論定理（均衡APT）：在上述假定下，對(duì)任意的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)j，我們有： 其中為投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)j上的市場(chǎng)總值，I為投資者總數(shù)。證明：（1）當(dāng)時(shí)，類(lèi)似于定理5.1的證明，有，因此風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)j的期望回報(bào)率服從： 。 （2）當(dāng)時(shí)， 首先考慮一個(gè)投資組合，該組合在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和K因子上的權(quán)重分別為：，該投資組合的隨機(jī)回報(bào)率為： 。接下來(lái)構(gòu)造一個(gè)套利組合：投資單位貨幣在投資組合上，同時(shí)賣(mài)空單位貨幣的資產(chǎn)j，該套利組合的隨機(jī)回報(bào)率為： 。設(shè)個(gè)體的初始財(cái)富量為，期末的隨機(jī)財(cái)富量為，因?yàn)榻?jīng)濟(jì)中不存在套利機(jī)會(huì)，如下最大化問(wèn)題的解為。在處，上述最大化問(wèn)題的一階條件可以表示為： ，即。上式可以改寫(xiě)為： ，因此有：。 注意到，且風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)嚴(yán)格地正供給，因此至少存在一個(gè)個(gè)體，其投資在資產(chǎn)j上的財(cái)富量嚴(yán)格大于零，即，因此我們有： 。相應(yīng)地，當(dāng)時(shí)，我們有所有個(gè)體在資產(chǎn)j上的投資量都嚴(yán)格大于零。下面我們通過(guò)估計(jì)、的界，來(lái)估計(jì)的界，我們分