面面垂直答案

1、1已知如圖，P平面ABC，PA=PB=PC，APB=APC=60°，BPC=90 °求證：平面ABC平面PBC【答案】【解析】要證明面面垂直，只要在其呈平面內(nèi)找一條線，然后證明直線與另一平面垂直即可。顯然BC中點(diǎn)D，證明AD垂直平PBC即可證明： 取BC中點(diǎn)D 連結(jié)AD、PD PA=PB；APB=60° PAB為正三角形 同理PAC為正三角形 設(shè)PA=a 在RTBPC中，PB=PC=a BC=a PD=a 在ABC中 AD= =aAD2+PD2= =a2=AP2APD為直角三角形即ADDP又ADBCAD平面PBC平面ABC平面PBC2如圖（1）在直角梯形ABCD中

2、，AB/CD，ABAD且AB=AD=CD=1，現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD將正方形翻拆，使平面ADEF與平面ABCD互相垂直如圖（2）。ABCDEF圖2ABEC圖1FD（1）求證平面BDE平面BEC（2）求直線BD與平面BEF所成角的正弦值?！敬鸢浮孔C見(jiàn)解析 【解析】（1）由折前折后線面的位置關(guān)系得平面，所以，又在中，三邊滿足勾股定理，。由線面垂直的判定定理即證得結(jié)論。（2）因?yàn)橹恍枨蟪鳇c(diǎn)到平面的距離也是點(diǎn)到平面的距離，易證出，平面，由面面垂直的判定定理得平面平面，中邊上的高就是點(diǎn)到平面的距離。根據(jù)線面角的定義可求直線BD與平面BEF所成角的正弦值。3（本小題滿分14分）

3、ABCDA1B1C1D1EF如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)（1）求證：EF平面CB1D1；（2）求證：平面CAA1C1平面CB1D1【答案】（）略（）略【解析】（1）證明：連結(jié)BD.在長(zhǎng)方體中，對(duì)角線. 2分又 E、F為棱AD、AB的中點(diǎn)， . . 4分又B1D1平面，平面，EF平面CB1D1. 7分（2） 在長(zhǎng)方體中，AA1平面A1B1C1D1，而B(niǎo)1D1平面A1B1C1D1，AA1B1D1.9分又在正方形A1B1C1D1中，A1C1B1D1， B1D1平面CAA1C1. 又 B1D1平面CB1D1，平面CAA1C1平面CB1D114分4如圖，四棱錐中，

4、底面為平行四邊形，底面.(1)證明：平面平面； (2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值。【答案】（1）略（2） 【解析】本試題主要是考查了面面垂直的證明和二面角與線面角的求解的綜合運(yùn)用。考查了同學(xué)們的邏輯推理能力和計(jì)算能力，以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。（1）根據(jù)面面垂直的判定定理，先得到線面垂直，然后得到結(jié)論。（2）對(duì)于該試題可以合理的建立空間直角坐標(biāo)系，然后表示平面的法向量，得到向量與向量的夾角，從而得到線面角的表示。5如圖,在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)面底面，若、分別為、的中點(diǎn).() /平面；() 求證:平面平面； 【答案】 同解析【解析】)證明：連結(jié)，在中，的中位線,/，且平

5、面,平面， ()證明：面面，平面面，平面，又,面面 6 (本小題12分) 如圖，四棱錐PABCD的底面是正方形, PA底面ABCD, PA2, PDA=45°, 點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn). （1）求證: AF平面PCE; （2）求證: 平面PCE平面PCD; （3）求AF與平面PCB所成的角的大小. 【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）30°【解析】證明: （1）取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG，F(xiàn)G為CDP的中位線 FGCD 四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)ABCD FGAE 四邊形AEGF是平行四邊形 AFEG 又EG平面PCE，AF平面PCE AF

6、平面PCE （2） PA底面ABCDPAAD，PACD，又ADCD，PAAD=ACD平面ADP ，又AF平面ADP CDAF 直角三角形PAD中，PDA=45°PAD為等腰直角三角形 PAAD=2 F是PD的中點(diǎn)，AFPD，又CDPD=DAF平面PCD AFEGEG平面PCD 又EG平面PCE 平面PCE平面PCD（3）過(guò)E作EQPB于Q點(diǎn), 連QG, CB面PAB QE面PCB, 則QGE為所求的角. SPEB=BE·PA=PB·EQEQ= 在PEC中, PEEC, G為PC的中點(diǎn), EG,在RtEGQ中, sinEGQ= EGQ=30°7(本大題14

7、分)如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是CB、CD、CC1的中點(diǎn)（1）求證：B1D1面EFG（2）求證：平面AA1C面EFG 【答案】證明略【解析】8如圖，在空間四邊形中，分別為，和對(duì)角線的中點(diǎn)求證：平面平面【答案】證明見(jiàn)答案【解析】，是的中點(diǎn)，平面又，平面，平面，平面平面9如圖，在三棱錐中， ABC第19題 圖（1）求證：平面平面（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值； （3）若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值為，求BM的最小值.【答案】（1）見(jiàn)解析 （2） 直線PA與平面PBC所成角的正弦值為。 （3）。 【解析】本試題主要是考查

8、了面面垂直的證明，以及線面角的求解，以及二面角的大小的求解的綜合運(yùn)用?？疾榱送瑢W(xué)們的空間想象能力和邏輯推理能力和計(jì)算能力的綜合運(yùn)用。（1）利用線面垂直的判定定理，求證面面垂直的證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量和直線的方向向量，利用數(shù)量積的性質(zhì)得到線面角的求解。（3）借助于上一問(wèn)中的向量坐標(biāo)，平面的法向量的法向量的夾角與二面角的平面角的大小相等或者互補(bǔ)解：（1）取AC中點(diǎn)O,因?yàn)锳P=BP，所以O(shè)POC 由已知易得三角形ABC為直角三角形，OA=OB=OC,POAPOBPOC,OPOBOP平面ABC, OP在平面PAC中，平面平面 4分（2） 以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB、OC、OP分別

9、為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0, ), 5分 設(shè)平面PBC的法向量，由得方程組，取 6分 直線PA與平面PBC所成角的正弦值為。 8分（2）由題意平面PAC的法向量， 設(shè)平面PAM的法向量為 又因?yàn)?取 11分B點(diǎn)到AM的最小值為垂直距離。1910（本小題滿分12分）三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，（）證明：平面平面；（）求二面角的大小【答案】（）證明見(jiàn)解析。（）【解析】解法一：（）平面平面，在中，又，即又，平面，平面，平面平面（）如圖，作交于點(diǎn)，連接，由已知得

10、平面是在面內(nèi)的射影由三垂線定理知，為二面角的平面角過(guò)作交于點(diǎn)，則，在中，在中，即二面角為解法二：（）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)坐標(biāo)為，又，平面，又平面，平面平面（）平面，取為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，如圖，可取，則，即二面角為11如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，平面AA1C1C平面ABCD（1）證明：BDAA1；（2）證明：平面AB1C/平面DA1C1（3）在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP/平面DA1C1？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）證明見(jiàn)解析。（2）證明見(jiàn)解析。（3）存在【解析】證明：（1）連BD， 面ABCD為菱形，BDAC由于平面AA1C1C平面ABCD，則BD平面AA1C1C 故： BDAA1 （2）連AB1，B1C，由棱柱ABCD-A1B1C1D1的性質(zhì)知AB1/DC1，AD/B1C，AB1