第4章 大數(shù)定律與中心極限定理

1、1第五章第五章2 在數(shù)學(xué)中大家都注意到這樣的現(xiàn)象：有時(shí)候一個(gè)在數(shù)學(xué)中大家都注意到這樣的現(xiàn)象：有時(shí)候一個(gè)有限的和很難求有限的和很難求, , 但一經(jīng)取極限由有限過(guò)渡到無(wú)限但一經(jīng)取極限由有限過(guò)渡到無(wú)限, , 則問(wèn)題反而好辦則問(wèn)題反而好辦. . 例如例如, , 若對(duì)某一若對(duì)某一x, ,要計(jì)算和要計(jì)算和 ，!3!21)(32nxxxxxSnn 則則當(dāng)當(dāng)n很很大大時(shí)時(shí)，很很難難求求)(xSn， 而一經(jīng)取極限，則有而一經(jīng)取極限，則有簡(jiǎn)單的結(jié)果簡(jiǎn)單的結(jié)果 .e)(limxnnxS 利利用用這這個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)果果, ,當(dāng)當(dāng)n很很大大時(shí)時(shí), ,可可以以把把 xe作作為為)(xSn的的近近似似值值. . 3在在概概率率論

2、論中中也也存存在在類類似似的的情情況況: :如如果果nXXX,21是是一一些些隨隨機(jī)機(jī)變變量量，則則nXXX 21的的分分布布一一般般很很復(fù)復(fù)雜雜，因因而而自自然然會(huì)會(huì)問(wèn)問(wèn)：能能否否利利用用極極限限的的方方法法作作近近似似計(jì)計(jì)算算？ 事實(shí)證明這是可能的，而且在一般情況下和的事實(shí)證明這是可能的，而且在一般情況下和的極限分布就是極限分布就是正態(tài)分布正態(tài)分布，由此可見(jiàn)正態(tài)分布的重要，由此可見(jiàn)正態(tài)分布的重要性。對(duì)和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類極限定理性。對(duì)和的分布收斂于正態(tài)分布的這一類極限定理的研究，在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)期內(nèi)成了概率論研究的研究，在長(zhǎng)達(dá)兩個(gè)世紀(jì)的時(shí)期內(nèi)成了概率論研究的中心課題，因此得到了

3、的中心課題，因此得到了“中心極限定理中心極限定理”的名稱。的名稱。本章將列述這類定理中最簡(jiǎn)單，然而也是最重要的本章將列述這類定理中最簡(jiǎn)單，然而也是最重要的情況。情況。 4例例如如，有有一一所所上上萬(wàn)萬(wàn)名名學(xué)學(xué)生生的的大大學(xué)學(xué)，每每人人有有其其身身高高。如如果果我我們們隨隨機(jī)機(jī)觀觀察察一一個(gè)個(gè)學(xué)學(xué)生生的的身身高高， 則則與與全全校校學(xué)學(xué)生生平平均均身身高高 一一般般差差別別比比較較大大。如如果果我我們們觀觀察察 1 10 0 個(gè)個(gè)學(xué)學(xué)生生的的身身高高而而取取平平均均，則則它它有有更更大大的的機(jī)機(jī)會(huì)會(huì)( (概概率率) )與與 更更接接近近些些。這這些些都都是是我我們們?nèi)杖粘３＝?jīng)經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)中中所所體體驗(yàn)

4、驗(yàn)到到的的事事實(shí)實(shí)，而而大大數(shù)數(shù)定定律律則則對(duì)對(duì)這這一一點(diǎn)點(diǎn)從從理理論論的的高高度度給給予予概概括括。 在概率論中，另一類重要的極限定理是所謂在概率論中，另一類重要的極限定理是所謂“大數(shù)定律大數(shù)定律”。 在第一章中我們已經(jīng)討論了在第一章中我們已經(jīng)討論了“頻率的穩(wěn)定頻率的穩(wěn)定性性”。 大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件大量的重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率接近某個(gè)常數(shù)，發(fā)生的頻率接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)實(shí)際上就是事件發(fā)生的概率。這個(gè)常數(shù)實(shí)際上就是事件發(fā)生的概率?！按髷?shù)大數(shù)”的意的意思，就是指試驗(yàn)數(shù)目是大量的。思，就是指試驗(yàn)數(shù)目是大量的。 51 1 切比雪夫不等式切比雪夫不等式( (切切比比雪雪夫夫不不等等式式)

5、) 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量X具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望 )(XE, ,方方差差2)( XD, ,則則對(duì)對(duì)0 , ,有有 隨機(jī)變量的方差是刻畫(huà)它圍繞其期望值的離散隨機(jī)變量的方差是刻畫(huà)它圍繞其期望值的離散程度的，因此我們希望用方差來(lái)估計(jì)隨機(jī)變量與其程度的，因此我們希望用方差來(lái)估計(jì)隨機(jī)變量與其期望值之間的偏差大于某一給定正數(shù)的概率的上界。期望值之間的偏差大于某一給定正數(shù)的概率的上界。 定理定理x 22| XP67證證設(shè)設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為f( (x) ), ,則則 | )(| XEXPxxfxxd)()(2|2 .22 xxfxd)()(122 ( (切切比比

6、雪雪夫夫不不等等式式) ) 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量X具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望 )(XE, ,方方差差2)( XD, ,則則對(duì)對(duì)0 , ,有有 定理定理xxfxd)(| x 22| XP8上式可改寫(xiě)為上式可改寫(xiě)為221| XP 切切比雪夫不等式具體地估算了隨機(jī)變量比雪夫不等式具體地估算了隨機(jī)變量X取值時(shí)，取值時(shí)，以數(shù)學(xué)期望以數(shù)學(xué)期望E(X)為中心的分散程度。不難看出，方為中心的分散程度。不難看出，方差差D(X)越小，則隨機(jī)變量越小，則隨機(jī)變量X的取值越集中在數(shù)學(xué)期望的取值越集中在數(shù)學(xué)期望E(X)的附近，由此可以進(jìn)一步體會(huì)到方差的概率意的附近，由此可以進(jìn)一步體會(huì)到方差的概率意義，它刻劃了隨機(jī)變量的分

7、散程度。義，它刻劃了隨機(jī)變量的分散程度。 如取如取， 3 111. 093| 22 XP22| XP9例例 已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估計(jì)利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200 9400之間的概率之間的概率 .設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X ，依題意，依題意，E(X) = 7300, D(X) = 7002 ，解解由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式， ,7001|7300| 22 XP得得取取，2100 222100700194005200

8、 XP.98 10例例 根據(jù)過(guò)去統(tǒng)計(jì)資料，某產(chǎn)品的次品率為根據(jù)過(guò)去統(tǒng)計(jì)資料，某產(chǎn)品的次品率為p= =0.05，試試用切比雪夫不等式估計(jì)用切比雪夫不等式估計(jì)1000件產(chǎn)品中，次品數(shù)在件產(chǎn)品中，次品數(shù)在4060之間的概率之間的概率.解解 設(shè)設(shè)X表示表示1000件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則 )05. 0 , 1000( BX,5005. 01000)( npXE,5 .4795. 050)1()( pnpXD由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式， 6040 XP2105 .471 .525. 0 221| XP10|50| XP11 該數(shù)值是非常保守的估計(jì)，事實(shí)上，由中心極該數(shù)值是非常保守

9、的估計(jì)，事實(shí)上，由中心極限定理可知，概率約為限定理可知，概率約為 525. 06040 XP注注：.853. 01)5 .4710(2 12設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 和和 Y 的數(shù)學(xué)期望分別為的數(shù)學(xué)期望分別為2 和和 2, ,方差分方差分別為別為 1 和和 4, ,而相關(guān)系數(shù)為而相關(guān)系數(shù)為0.5, ,則根據(jù)切比雪夫不等式則根據(jù)切比雪夫不等式, ,有有 6| YXP 。 例例解解),(Cov2)()(YXYDXD ，31241 由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式 2)| ( DXEXXP ， ,022)( EYEXYXE)(YXD ,1)5 . 0(21),(Cov XYDYDXYX .12163

10、6| 2 YXP132 2 大數(shù)定律大數(shù)定律定定義義 設(shè)設(shè)nX是是一一隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列，X 是是一一隨隨機(jī)機(jī)變變量量，如如果果對(duì)對(duì)任任意意0 ，有有 1)| lim XXPnn成成立立，則則稱稱nX依依概概率率收收斂斂于于 X， 記作記作.XXPn14幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律幾個(gè)常見(jiàn)的大數(shù)定律定理定理1 1（切比雪夫大數(shù)定律）切比雪夫大數(shù)定律） niniiinXEnXnP110| )(11| lim 設(shè)設(shè) X1,X2, 是相互獨(dú)立的隨機(jī)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即且方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i = 1,2,

11、 ， 則對(duì)任意的則對(duì)任意的 有有,0 或或.1| )(11| lim11 niniiinXEnXnP 依概率收斂依概率收斂15證證, )(11 niiXEn iX相相互互獨(dú)獨(dú)立立， niiniiXDnXnD121)(1)1(，nC 由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式, ,對(duì)對(duì)0 , ,有有 ) | )(11| (11 niiniiXEnXnP 0，)(0 nnC 21 兩邊夾兩邊夾, ,即得結(jié)論即得結(jié)論. . )1(1 niiXnE niniiinXEnXnP110| )(11| lim 22| XP16特特別別地地，當(dāng)當(dāng)隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列iX兩兩兩兩獨(dú)獨(dú)立立( (或或兩兩兩兩不不相相關(guān)關(guān)

12、) ), ,且且有有相相同同的的有有限限期期望望和和方方差差時(shí)時(shí)( (記記為為 iEX, ,2)( iXD, , 2 , 1 i) ), ,則則對(duì)對(duì)0 , ,有有 .1 |1| lim1 niinXnP解釋：解釋：取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.niiXn11當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，差不多不再是隨機(jī)的了差不多不再是隨機(jī)的了, niniiinXEnXnP111| )(11| lim 17定理定理2 2（伯（伯努努利利大數(shù)定律大數(shù)定律）1| lim pnnPAn或或.0| lim pnnPAn下面給出的伯努利大數(shù)定律，是定理下面給出的伯努利大數(shù)定律，是定理1的

13、一種特例。的一種特例。 設(shè)設(shè)nA是是n重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生發(fā)生的次數(shù)，的次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任發(fā)生的概率，則對(duì)任給的給的 ,有有0 18 否則否則發(fā)生發(fā)生次試驗(yàn)次試驗(yàn)如第如第， 01AiXi引入引入i =1,2,n則則 ,1 niiAXn1| lim pnnPAn而而 ,)(pXEi 由由切比雪夫大數(shù)定律，切比雪夫大數(shù)定律，對(duì)對(duì)0 , ,有有 1| lim pnnPAn.1 |1| lim1 niinXnP19 niiAXnnn11是事件是事件A發(fā)生的頻率，發(fā)生的頻率，伯努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)伯努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，充分大

14、時(shí)，事件事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n與事件與事件A的概率的概率p有較大偏差有較大偏差的概率很小。的概率很小。這就是這就是頻率穩(wěn)定性頻率穩(wěn)定性的理論解釋。的理論解釋。 歷史上，歷史上，伯伯努利第一個(gè)研究了這種類型的極限定理，努利第一個(gè)研究了這種類型的極限定理，在在1713年發(fā)表的論文中年發(fā)表的論文中(這是概率論的第一篇論文這是概率論的第一篇論文!),他建立了以上定理。所以有人認(rèn)為，概率論的真正他建立了以上定理。所以有人認(rèn)為，概率論的真正歷史應(yīng)從出現(xiàn)歷史應(yīng)從出現(xiàn)伯伯努利大數(shù)定律的時(shí)刻算起。努利大數(shù)定律的時(shí)刻算起。 1| lim pnnPAn20下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，下面給出的獨(dú)立

15、同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在。不要求隨機(jī)變量的方差存在。 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 獨(dú)立同分布，獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望具有有限的數(shù)學(xué)期望 E(Xi) =, i=1,2,，定理定理3 3（辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律）.1|1| lim1 niinXnP辛欽辛欽則則對(duì)對(duì)0 , ,有有 辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑實(shí)際可行的途徑.21 例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如某些有代表性的地塊，例如n 塊塊. 計(jì)算其平均畝計(jì)算其平均畝

16、產(chǎn)量，則當(dāng)產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì)畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).22例例解解設(shè)設(shè)nXXX,21是是各各次次擲擲出出的的點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)， 隨隨機(jī)機(jī)變變量量nXXX,21顯顯然然獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布： ), 2 , 16 , 2 , 1( 61nikkXPi ；其共同的數(shù)學(xué)期望為其共同的數(shù)學(xué)期望為 ), 2 , 1( 27)621(61niEXi 因因此此，根根據(jù)據(jù)辛辛欽欽大大數(shù)數(shù)定定律律，nX依依概概率率收收斂斂于于 7/2 將一枚均勻?qū)ΨQ的骰子重復(fù)擲將一枚均勻?qū)ΨQ的骰子重復(fù)擲n次，則當(dāng)次，則當(dāng)n 時(shí)，時(shí)，求求n次擲出點(diǎn)數(shù)的算術(shù)平均值依概率收斂的極

17、限次擲出點(diǎn)數(shù)的算術(shù)平均值依概率收斂的極限 233 3 中心極限定理中心極限定理 中心極限定理從理論上證明，對(duì)于大量的獨(dú)立隨中心極限定理從理論上證明，對(duì)于大量的獨(dú)立隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，只要每個(gè)隨機(jī)變量在總和中所占比重機(jī)變量來(lái)說(shuō)，只要每個(gè)隨機(jī)變量在總和中所占比重很小，那么不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什很小，那么不論其中各個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)是什么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和么形狀，也不論它們是已知還是未知，而它們的和的分布函數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為的分布函數(shù)必然和正態(tài)分布函數(shù)很近似。這就是為什么實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量很多都服從正態(tài)分布的什么實(shí)際中遇到的隨機(jī)變量很多都服從正態(tài)分

18、布的原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)原因，也正因如此，正態(tài)分布在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有極其重要的地位。中占有極其重要的地位。 下面介紹下面介紹兩兩個(gè)常用的中心極限定理。個(gè)常用的中心極限定理。 24 由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我，故我們不直接研究們不直接研究n個(gè)隨機(jī)變量之和，本身而考慮它個(gè)隨機(jī)變量之和，本身而考慮它的的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的隨機(jī)變量 nkknknkkknXDXEXY111)()(的分布函數(shù)的極限的分布函數(shù)的極限.25列維一林德伯格中心極限定理列維一林德伯格中心極限定理設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量,21nXXX相相互互獨(dú)獨(dú)立立, ,服服從

19、從同同一一分分布布, ,且且有有 )(iXE, ,0)(2 iXD), 2 , 1( i, ,則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之和和 niiX1的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量 )()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1的的分分布布函函數(shù)數(shù))(xFn, ,對(duì)對(duì)Rx , ,一一致致地地有有 2627)()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1)(limxFnn )(lim1xnnXPniin . )(de212 2xttx 的的分分布布函函數(shù)數(shù))(xFn, ,對(duì)對(duì)Rx , ,一一致致地地有有 （證略）（證略） 28)(lim1xnnXPniin )(de212 2xttx

20、 此定理說(shuō)明此定理說(shuō)明, ,當(dāng)當(dāng)n充分充分大大時(shí)時(shí), ,有有 nnXnii 1近似地近似地, )1, 0(N或或 niiX1，),(2 nnN近似地近似地29例例 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的機(jī)的, ,假設(shè)每箱的平均重假設(shè)每箱的平均重50千克千克, ,標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差5千克千克. 若用若用最大載重量為最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)噸的汽車承運(yùn), ,試?yán)弥行臉O限定理試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛車最多可以裝多少箱說(shuō)明每輛車最多可以裝多少箱, ,才能才能保證保證不超載的概不超載的概率大于率大于 0.977.解解設(shè)設(shè)iX為為第第i箱箱的的重重量量(

21、(ni, 1 ) ), , ,50)( iXE.5)(2 iXD由由題題意意, ,iX( (ni, 1 ) )相相互互獨(dú)獨(dú)立立, ,且且 由列維由列維- -林德伯格中心極限定理林德伯格中心極限定理, ,有有 總重量總重量， niinXY1，)25,50(nnNnY近似地近似地305000 nYP nn5505000977. 0 ，)2( 所以所以n必須滿足必須滿足，2101000 nn，0199.98 n即最多可以裝即最多可以裝98箱箱. . ，)25,50(nnNnY近似地近似地31例例 將將n個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)相加時(shí)，首先對(duì)小數(shù)部分按個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)相加時(shí)，首先對(duì)小數(shù)部分按“四舍五四舍五入入”舍去小數(shù)位

22、后化為整數(shù)試?yán)弥行臉O限定理估計(jì)，舍去小數(shù)位后化為整數(shù)試?yán)弥行臉O限定理估計(jì)， 解解(1) 當(dāng)當(dāng)n = 1500時(shí)時(shí), 舍入誤差之和的絕對(duì)值大于舍入誤差之和的絕對(duì)值大于15的概率；的概率； (2) n滿足何條件時(shí)，能以不小于滿足何條件時(shí)，能以不小于0.90的概率使舍入誤差的概率使舍入誤差 之和的絕對(duì)值小于之和的絕對(duì)值小于10 設(shè)設(shè)), 2 , 1(niXi 是是第第 i 個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的舍舍入入誤誤差差； 由條件可以認(rèn)為由條件可以認(rèn)為), 2 , 1(niXi 獨(dú)立且都在區(qū)間獨(dú)立且都在區(qū)間5 . 0 5 . 0， 上服從均勻分布上服從均勻分布, 從從而而12/10 iiDXEX， 記記nnXX

23、XS 21為為 n個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)的的舍舍入入誤誤差差之之和和， 根據(jù)列維根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理，當(dāng)林德伯格中心極限定理，當(dāng) n 充分大時(shí)充分大時(shí) nS近似地近似地, )12, 0(nN32(1) 15| 1500 SP 12/15001512/1500|1500SP 1802. 0)34. 1(1 2 nS近似地近似地, )12, 0(nN)1, 0( NX| aXP | 1aXP )()(1aa 1)(21 a)(1 2a 33(2) 數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù) n 應(yīng)滿足條件：應(yīng)滿足條件： , 90. 012/1012/|10| nnSPSPnn, 90. 01)12/10(2 n即即, 95

24、. 0)12/10( n, 645. 112/10 n, 5 .443 n即當(dāng)即當(dāng) 時(shí)，才能使誤差之和的絕對(duì)值小于時(shí)，才能使誤差之和的絕對(duì)值小于10的的概率不小于概率不小于0.90 443 nnS近似地近似地, )12, 0(nN34下面給出上述定理的一個(gè)重要特例。下面給出上述定理的一個(gè)重要特例。 35棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯中心極限定理拉普拉斯中心極限定理設(shè)設(shè)n 是是n次次伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)中中成成功功的的次次數(shù)數(shù), ,在在每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中成成功功的的概概率率為為) 10( pp, ,則則對(duì)對(duì)Rx , ,一一致致地地有有 )1(limxpnpnpPnn . )(de2122xttx

25、證證，次試驗(yàn)不成功次試驗(yàn)不成功第第次試驗(yàn)成功次試驗(yàn)成功第第記記 ,0 ,1 iiXi, 2 , 1ni ,21 nnXXX 則則, ), 1( pBXi而而,)(pXEi , )1 ()(ppXDi 由列維一林德伯格定理可知，由列維一林德伯格定理可知， 對(duì)對(duì)Rx , ,一一致致地地有有 3637)1(limxpnpnpPnn ,21 nnXXX 則則, ), 1( pBXi而而,)(pXEi , )1 ()(ppXDi 由列維一林德伯格定理可知，由列維一林德伯格定理可知， 對(duì)對(duì)Rx , ,一一致致地地有有 . )(de2122xttx 38)1(limxpnpnpPnn )(de212 2xt

26、tx 該該定定理理表表明明, ,當(dāng)當(dāng) n時(shí)時(shí), ,二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布以以正正態(tài)態(tài)分分布布為為極極限限分分布布. . 實(shí)實(shí)際際應(yīng)應(yīng)用用中中, ,若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量),(pnBX, ,只只要要n充充分分大大, ,即即有有 ，),(npqnpNX近似地近似地或或npqnpX ，)1 , 0(N近似地近似地即有近似計(jì)算公式即有近似計(jì)算公式 )()(npqnpanpqnpbbXaP 39例例 設(shè)在某保險(xiǎn)公司有設(shè)在某保險(xiǎn)公司有1萬(wàn)萬(wàn)個(gè)人參加投保個(gè)人參加投保，每人每年付每人每年付120元保險(xiǎn)費(fèi)元保險(xiǎn)費(fèi)。在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006，死亡時(shí)其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得死亡時(shí)其家屬可

27、向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1萬(wàn)萬(wàn)元元，問(wèn)問(wèn)：(1) 該保該保險(xiǎn)公司虧本的概率為多少險(xiǎn)公司虧本的概率為多少? (2) 該保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)該保險(xiǎn)公司一年的利潤(rùn)不少于不少于40, 60, 80萬(wàn)元的概率各是多少萬(wàn)元的概率各是多少? 解解 設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為設(shè)一年內(nèi)死亡的人數(shù)為X, ,則則 , )006. 0 ,10000( BX由由D- -L中心極限定理中心極限定理, , 120000010000)1( XP)64.5960120(1 )77. 7(1 ,0 120 XP即即該保險(xiǎn)公司虧本的概率該保險(xiǎn)公司虧本的概率幾乎幾乎為為 0。, )9.645 ,60( NX 40400000100001200000)

28、2( XP80 XP)64.596080( )589. 2( ,995. 0 600000100001200000 XP60 XP)64.596060( )0( ,5 . 0 800000100001200000 XP40 XP)64.596040( )589. 2(1 .005. 0 , )9.645 ,60( NX 41例例 (供電問(wèn)題供電問(wèn)題) 某車間有某車間有200臺(tái)車床，在生產(chǎn)期間由臺(tái)車床，在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換零件等常于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換零件等常需停車。設(shè)開(kāi)工率為需停車。設(shè)開(kāi)工率為0.6，并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)，并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，

29、且在開(kāi)工時(shí)需電力立的，且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦千瓦。問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以電力就能以99.9%的概率保證該車間不會(huì)因供電不的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)足而影響生產(chǎn)?解解 某一時(shí)刻開(kāi)動(dòng)的車床數(shù)某一時(shí)刻開(kāi)動(dòng)的車床數(shù) , )6 . 0 ,200( BX要求最小的要求最小的 k, 使使 .999. 00 kXP由由D- -L定理定理, , ，)48,120( NX ,1206 . 0200)( npXE,484 . 0120)1()( pnpXD42,999. 0 查表得查表得 ，1 . 348120 k)48120( k.5 .141 k所以若供電所以若供電141.5千瓦，

30、那么由于供電不足而影響生千瓦，那么由于供電不足而影響生產(chǎn)的可能性不到產(chǎn)的可能性不到0.001，相當(dāng)于，相當(dāng)于8小時(shí)內(nèi)約有半分鐘小時(shí)內(nèi)約有半分鐘受影響，這一般是允許的。受影響，這一般是允許的。 )481200()48120(0 kkXP由由D- -L定理定理, , ，)48,120( NX 43練習(xí)：練習(xí)：P96 習(xí)題四習(xí)題四 1. 2. 3. 44End45補(bǔ)充題：補(bǔ)充題：1. 某電教中心有彩電某電教中心有彩電 100 臺(tái)，若彩電的故障率為臺(tái)，若彩電的故障率為 0.02,試?yán)弥行臉O限定理， 求至少有一臺(tái)彩電出故障的概率。試?yán)弥行臉O限定理， 求至少有一臺(tái)彩電出故障的概率。（用（用)(x 表示

31、）表示） 2. 在在一一次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件A出出現(xiàn)現(xiàn)的的概概率率為為 0.4，應(yīng)應(yīng)至至少少進(jìn)進(jìn)行行多多少少次次試試驗(yàn)驗(yàn)，才才能能使使事事件件A出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻率率與與概概率率之之差差在在1 . 0 之之間間的的概概率率不不低低于于 0.9 ？ 3.某射手打靶某射手打靶,得得10分、分、9分、分、8分、分、7分、分、6分的概率分分的概率分別為別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 現(xiàn)獨(dú)立射擊現(xiàn)獨(dú)立射擊100次次,求總分在求總分在900分與分與930分之間的概率分之間的概率 .46解解)1( XP. )7143. 0( 由中心極限定理知由中心極限定理知, ,) 96. 1 , 2(

32、 NX )1(1 XP)96. 121(1 1. 某電教中心有彩電某電教中心有彩電 100 臺(tái)，若彩電的故障率為臺(tái)，若彩電的故障率為 0.02,試?yán)弥行臉O限定理， 求至少有一臺(tái)彩電出故障的概率。試?yán)弥行臉O限定理， 求至少有一臺(tái)彩電出故障的概率。（用（用)(x 表示）表示） 設(shè)設(shè) X 為為100臺(tái)彩電中出故障的臺(tái)數(shù)，臺(tái)彩電中出故障的臺(tái)數(shù)，則則, )02. 0 , 100( BX47解解 由中心極限定理知由中心極限定理知, , ) ,(npqnpNn )1 . 0| ( pnPn )1 . 0| (pqnnpqnpPn 1)1 . 0(2 pqn95. 0)1 . 0( pqn65. 11 .

33、 0 pqn9 . 0 .66 n2. 在在一一次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件A出出現(xiàn)現(xiàn)的的概概率率為為 0.4，應(yīng)應(yīng)至至少少進(jìn)進(jìn)行行多多少少次次試試驗(yàn)驗(yàn)，才才能能使使事事件件A出出現(xiàn)現(xiàn)的的頻頻率率與與概概率率之之差差在在1 . 0 之之間間的的概概率率不不低低于于 0.9 ？ 48解解設(shè)設(shè)第第i次次射射擊擊得得分分為為iX, ,則則iX的的分分布布律律為為 iXP67891005. 005. 01 . 03 . 05 . 0,15. 9)( iXE.227. 1)( iXD由中心極限定理，由中心極限定理， 930900 1001 iiXP1)354. 1(2 08.11157 .12210008.

34、1115 iXP19115. 02 3.某射手打靶某射手打靶,得得10分、分、9分、分、8分、分、7分、分、6分的概率分分的概率分別為別為0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 現(xiàn)獨(dú)立射擊現(xiàn)獨(dú)立射擊100次次,求總分在求總分在900分與分與930分之間的概率分之間的概率 .)22.71 ,915( 1001NXii .823. 0 49習(xí)題課習(xí)題課501、將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲10000次，出現(xiàn)正面次，出現(xiàn)正面5800次，是否次，是否有理由認(rèn)為這枚硬幣不均勻有理由認(rèn)為這枚硬幣不均勻? 解解: 設(shè)設(shè)X為為10000次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，次試驗(yàn)中出現(xiàn)正面的次數(shù)，若硬幣是均勻的若硬幣是

35、均勻的, 則則 XB(10000, 0.5),505000)1 ( XpnpnpX由由D-LD-L定理定理, , 5800 XP,5000 np,2500 npq近似地近似地，)1 , 0(N)5050005800(1 )16(1 ，0 此概率接近于此概率接近于0，故認(rèn)為這枚硬幣不均勻是合理的，故認(rèn)為這枚硬幣不均勻是合理的 .512、假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布假設(shè)生產(chǎn)線組裝每件成品的時(shí)間服從指數(shù)分布,統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為統(tǒng)計(jì)資料表明每件成品的組裝時(shí)間平均為10分鐘分鐘.設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立設(shè)各件產(chǎn)品的組裝時(shí)間相互獨(dú)立. (1)試求組裝試求組裝100件成品需

36、要件成品需要15到到20小時(shí)的概率；小時(shí)的概率； (2)以以95%的概率在的概率在16小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品小時(shí)內(nèi)最多可以組裝多少件成品? 解解 設(shè)第設(shè)第i件組裝的時(shí)間為件組裝的時(shí)間為Xi分鐘分鐘,i=1,100. 利用獨(dú)立同分布中心極限定理利用獨(dú)立同分布中心極限定理. (1),10)( iXE,10)(2 iXD,100, 2 , 1 i12009001001 iiXP10100101001200101001010010100101009002210012 iiXP5210100101001200101001010010100101009002210012 iiXP)1()2( .81

37、85. 0 (2)(2)100109601001095. 01nnnnXPnii ，)10010960(nn 查表得查表得 ,645. 110010960 nn解得解得,18.81 n故故最多可組裝最多可組裝81件成品件成品。 53 諸諸Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)數(shù)定律定律, , 解解,9 . 01 . 001 kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 在一個(gè)罐子中在一個(gè)罐子中,裝有裝有10個(gè)編號(hào)為個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球的同樣的球, 從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼號(hào)碼.3.問(wèn)對(duì)序列問(wèn)

38、對(duì)序列Xk,能否應(yīng)用大數(shù)定律？能否應(yīng)用大數(shù)定律？，否則否則次取到號(hào)碼次取到號(hào)碼第第 001kXk(1)(1)設(shè)設(shè)k = 1,2, 即即對(duì)對(duì)Rx , ,一一致致地地有有 .1|1 . 01|lim1 nkknXnP 54(2) 至少應(yīng)取球多少次才能使至少應(yīng)取球多少次才能使“0”出現(xiàn)的頻率出現(xiàn)的頻率在在0.09-0.11之間的概率至少是之間的概率至少是0.95?設(shè)應(yīng)取球設(shè)應(yīng)取球n次，次，0出現(xiàn)頻率為出現(xiàn)頻率為， nkkXn11,1 . 0)1(1 nkkXnE，nXnDnkk09. 0)1(1 由中心極限由中心極限定理定理, ,nnXnkk3 . 01 . 01 nXnnkk3 . 01 . 01

39、1 解解近似地近似地，)1 , 0(N5511. 0109. 01 nkkXnP01. 0|1 . 01|1 nkkXnP30|3 . 01 . 01|1nnXnPnkk 1)30(2 nnnXnkk3 . 01 . 01 nXnnkk3 . 01 . 011 近似地近似地，)1 , 0(N，95. 0 ，975. 0)30( n，96. 130 n查表得查表得.3458 n56(3) 用中心極限定理計(jì)算在用中心極限定理計(jì)算在100次抽取中次抽取中, 數(shù)碼數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在出現(xiàn)次數(shù)在7和和13之間的概率之間的概率.在在100次抽取中次抽取中, 數(shù)碼數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)為出現(xiàn)次數(shù)為， 1001k

40、kX由中心極限定理由中心極限定理, 100110011001)()(kkkkkkXDXEX3101001 kkX即即E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09,解解近似地近似地，)1 , 0(N近似地近似地，)1 , 0(N57即在即在100次抽取中，數(shù)碼次抽取中，數(shù)碼“0”出現(xiàn)次數(shù)在出現(xiàn)次數(shù)在7和和13之間的概率為之間的概率為0.6826. 1001137kkXP131011001 kkXP1)1(2 3101001 kkX近似地近似地，)1 , 0(N.6826. 0 58END59習(xí)題選解習(xí)題選解60解解(1) 由由題題設(shè)設(shè)知知，)2 . 0100(，BX，即即 X 的的分分布布為為 8. 某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中被盜某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中被盜戶占戶占20%，設(shè)，設(shè)X表示在隨機(jī)抽查的表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠戶中因被個(gè)索賠戶中因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)。盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù)。（1