圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和典型例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上圓的方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和經(jīng)典例題1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圓心：，半徑：注意點(diǎn)(1)求圓的方程需要三個(gè)獨(dú)立條件，所以不論是設(shè)哪一種圓的方程都要列出系數(shù)的三個(gè)獨(dú)立方程(2)對(duì)于方程x2y2DxEyF0表示圓時(shí)易忽視D2E24F0這一條件2點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b

2、)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.3直線與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法設(shè)直線l：AxByC0(A2B20)，圓：(xa)2(yb)2r2(r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為.方法位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d<r>0相切dr0相離d>r<01幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷2代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來判斷3直線系法：若直線恒過定點(diǎn)，可通過判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系，但有一定的局限性，

3、必須是過定點(diǎn)的直線系（2）過一點(diǎn)的圓的切線方程的求法1當(dāng)點(diǎn)在圓上時(shí)，圓心與該點(diǎn)的連線與切線垂直，從而求得切線的斜率，用直線的點(diǎn)斜式方程可求得圓的切線方程2若點(diǎn)在圓外時(shí)，過這點(diǎn)的切線有兩條，但在用設(shè)斜率來解題時(shí)可能求出的切線只有一條，這是因?yàn)橛幸粭l過這點(diǎn)的切線的斜率不存在（3）求弦長(zhǎng)常用的三種方法1利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長(zhǎng)l之間的關(guān)系r2d22解題2利用交點(diǎn)坐標(biāo)若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)3利用弦長(zhǎng)公式設(shè)直線l：ykxb，與圓的兩交點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長(zhǎng)l|x1x2|.4

4、. 圓與圓的位置關(guān)系（1）圓與圓位置關(guān)系的判斷方法設(shè)圓O1：(xa1)2(yb1)2r(r1>0)，圓O2：(xa2)2(yb2)2r(r2>0)方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況外離d>r1r2無(wú)解外切dr1r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1r2|<d<r1r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d|r1r2|(r1r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0d<|r1r2|(r1r2)無(wú)解易誤點(diǎn)：兩圓相切問題易忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形1判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個(gè)步驟：(1)化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，寫出圓心和半徑；(

5、2)計(jì)算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1r2，|r1r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時(shí)可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合2應(yīng)用幾何法判定兩圓的位置關(guān)系或求字母參數(shù)的范圍是非常簡(jiǎn)單清晰的，要理清圓心距與兩圓半徑的關(guān)系（2）兩圓相交有關(guān)問題1圓系方程一般地過圓C1：x2y2D1xE1yF10與圓C2：x2y2D2xE2yF20交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)，然后再由其他條件求出，即可得圓的方程2兩圓相交時(shí)，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2y2D1xE1yF10與圓C2：x2y2D2xE2yF20相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D

6、1D2)x(E1E2)yF1F20.3公共弦長(zhǎng)的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解5. 對(duì)稱問題(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱通常利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式點(diǎn) P（x，y）關(guān)于Q（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)為P'（2ax，2by）. (2)點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱(3)曲線關(guān)于點(diǎn)、曲線關(guān)于直線成中心對(duì)稱或軸對(duì)稱6. 與圓有關(guān)的最值問題的常見解法(1)形如形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題(2)形如taxby形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題(3)形如(x

7、a)2(yb)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題 7. 典型例題1. 直線3x4y50與圓x2y21的位置關(guān)系是()A相交B相切C相離D無(wú)法判斷【解析】圓心(0,0)到直線3x4y50的距離d1，又圓x2y21的半徑r1，dr，故直線與圓相切2. 直線3x4y120與圓(x1)2(y1)29的位置關(guān)系是()A過圓心B相切C相離D相交但不過圓心【解析】圓心(1，1)到直線3x4y120的距離dr.【答案】D3. 求過點(diǎn)(1，7)且與圓x2y225相切的直線方程【解析】由題意知切線斜率存在，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y7k(x1)，即kxyk70.5，解得k或k.所求切

8、線方程為y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.4. 過點(diǎn)A(4，3)作圓C：(x3)2(y1)21的切線，求此切線的方程. 【解析】因?yàn)?43)2(31)2171，所以點(diǎn)A在圓外(1)若所求切線的斜率存在，設(shè)切線斜率為k，則切線方程為y3k(x4)因?yàn)閳A心C(3,1)到切線的距離等于半徑，半徑為1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切線方程為y3(x4)，即15x8y360.(2)若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x4的距離也為1，這時(shí)直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x4.綜上，所求切線方程為15x8y360或x4.5. 求直線l：3xy

9、60被圓C：x2y22y40截得的弦長(zhǎng)【解析】圓C：x2y22y40可化為x2(y1)25，其圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑r.點(diǎn)(0,1)到直線l的距離為d，l2，所以截得的弦長(zhǎng)為.6. 直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長(zhǎng)為()A1B2C4D4【解析】圓的方程可化為C：(x1)2(y2)25，其圓心為C(1,2)，半徑r.如圖所示，取弦AB的中點(diǎn)P，連接CP，則CPAB，圓心C到直線AB的距離d|CP|1.在RtACP中，|AP|2，故直線被圓截得的弦長(zhǎng)|AB|4.7. 兩圓x2y29和x2y28x6y90的位置關(guān)系是()A外離B相交C內(nèi)切D外切【解析】?jī)蓤Ax2y29和x2y28x6

10、y90的圓心分別為(0,0)和(4，3)，半徑分別為3和4.所以兩圓的圓心距d5.又43<5<34，故兩圓相交8. 圓O1：x2y22x0和圓O2：x2y24y0的位置關(guān)系為()A外離B相交C外切D內(nèi)切【解析】圓O1的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑長(zhǎng)r11；圓O2的圓心坐標(biāo)為(0,2)，半徑長(zhǎng)r22；1r2r1|O1O2|r1r23，即兩圓相交9. 求兩圓x2y22x10y240和x2y22x2y80的公共弦所在直線的方程及公共弦長(zhǎng)【解析】聯(lián)立兩圓的方程得方程組兩式相減得x2y40，此為兩圓公共弦所在直線的方程法一：設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)滿足方程組解得或所以|AB|2，即公

11、共弦長(zhǎng)為2.法二：由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圓心坐標(biāo)為(1，5)，半徑長(zhǎng)r5，圓心到直線x2y40的距離為d3.設(shè)公共弦長(zhǎng)為2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)2l2，解得l，故公共弦長(zhǎng)2l2.10. 求圓C1：x2y21與圓C2：x2y22x2y10的公共弦所在直線被圓C3：(x1)2(y1)2所截得的弦長(zhǎng)【精彩點(diǎn)撥】【解析】設(shè)兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B的坐標(biāo)是方程組的解，兩式相減得xy10.因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足 xy10，所以AB所在直線方程為xy10，即C1，C2的公共弦所在直線方程為xy10，圓C3的圓心

12、為(1,1)，其到直線AB的距離d，由條件知r2d2，所以直線AB被圓C3截得弦長(zhǎng)為2×.11. 已知圓C與圓(x1)2y21關(guān)于直線yx對(duì)稱，則圓C的方程為()A(x1)2y21Bx2y21Cx2(y1)21Dx2(y1)21【解析】由已知圓(x1)2y21得圓心C1(1,0)，半徑長(zhǎng)r11.設(shè)圓心C1(1,0關(guān)于直線yx對(duì)稱的點(diǎn)為(a，b)，則解得所以圓C的方程為x2(y1)21.12. 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在圓x2y22上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)A(3,1)連線中點(diǎn)Q的軌跡方程為_【解析】設(shè)Q(x，y)，P(a，b)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所以點(diǎn)P(2x3,2y1)滿足圓x2y22的方程，所以(2x3)

13、2(2y1)22，化簡(jiǎn)得22，即為點(diǎn)Q的軌跡方程13. （1）ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（5，1），B（7，3），C（2，8），求它的外接圓的方程；（2）ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（0，0），B（5，0），C（0，12），求它的內(nèi)切圓的方程【解答】解：（1）設(shè)所求圓的方程為（xa）2+（yb）2=r2，因?yàn)锳（5，1），B（7，3），C（2，8）都在圓上，所以它們的坐標(biāo)都滿足方程，于是，可解得a=2，b=3，r=25，所以ABC的外接圓的方程是（x2）2+（y+3）2=25（2）ABC三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，0），B（5，0），C（0，12），ABAC，AB=5，AC=12，BC=13，ABC內(nèi)切圓的半徑r=2，圓心（2，2），ABC內(nèi)切圓的方程為（x2）2+（y2）2=414. 已知圓C：x2+（y+1）2=5，直線l：mxy+1=0（mR）（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；（2）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，若直線l的傾斜角為120°，求弦AB的長(zhǎng)【解答】解：（1）由于直線l的方程是mxy+1=0，即 y1=mx，經(jīng)過定點(diǎn)H（0，1），而點(diǎn)H到圓心C（0，1）的距離為2，小于半徑，故點(diǎn)H在圓的內(nèi)部，故直線l與圓C相交，故直線和圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)（2）直線l的傾斜角