滬科版七年級數(shù)學(xué)下冊第八章8.4因式分解教案

1、8.4 因式分解（二）第 1 課時運用平方差公式進行分解因式一、教學(xué)目標(biāo)：1. 使學(xué)生進一步理解因式分解的意義.2. 使學(xué)生理解平方差公式的意義，弄清公式的形式和特征.3. 會運用平方差公式分解因式.4. 通過對比整式乘法和分解因式的關(guān)系，進一步發(fā)展學(xué)生的逆向思維能力.5. 感受整式乘法和分解因式矛盾的對立統(tǒng)一觀點.6. 培養(yǎng)學(xué)生積極主動參與探索的意識以及觀察能力.7. 感悟換元的思想方法.說明 以前學(xué)習(xí)運用公式法分解因式，主要的評價手段是能否牢記公式的特點， 在運用公式解題時過分地追求問題的熟練和技巧，無形之中影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心.現(xiàn)在我們試圖先通過對具體的數(shù)字運算或簡單圖形的面積

2、計算讓學(xué)生對公式有一個感性認識，讓學(xué)生在與同伴交流中思考、感悟，使學(xué)生內(nèi)心產(chǎn)生解決問題的欲望，從而進一步上升到理性認識.這種設(shè)計更符合學(xué)生從“特殊到一般”、從“具體到抽象”的認知特點 .二、教學(xué)重點、難點：1. 理解平方差公式的意義，弄清公式的形式和特征.2. 會運用平方差公式對某些多項式進行分解因式三、教具、學(xué)具：投影儀、條件較好的使用多媒體演示四、教學(xué)過程：（一）設(shè)置情景：情景 1：小組討論：9921 是 100的整數(shù)倍嗎？你是怎樣想的？說明 ：學(xué)生可能直接計算出結(jié)果，應(yīng)予以肯定.在這兒可以設(shè)計系列問題予以引導(dǎo)：1 .判斷某個數(shù)是否是另一個數(shù)的整數(shù)倍可以怎么判斷？如：12是3的整數(shù)倍嗎？（

3、學(xué)生知道就是把12分解因數(shù).）2 .類似地要判斷992 1是100的整數(shù)倍呢？也可以想到嘗試分解.3 .9921可以寫成（99+1） （991）嗎？為什么可以這么寫？ 9992-1可以 嗎？4 .a21 可以寫成（a+1） （a 1）嗎?5 .a2 4可以寫成乘積形式嗎？你認為可以寫成什么樣子呢？6 .a2 b2 呢？情景2:和老師比一比，看誰算的又快又準確：572-562962952（馬2_（色）22525說明：算式的設(shè)計要體現(xiàn)出運用分解計算的簡便性，以激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲.問：為什么你們沒有老師算的快呢？你想知道老師是怎么計算的嗎？思考：在以上的這些算式中，你發(fā)現(xiàn)他們有什么共同點？用自

4、己的語言說一 說.情景3：計算圖中的陰影部分面積（用 a、b的代數(shù)式表示）問題一：整體計算可以怎樣表示？問題二：分割成如圖兩部分可以怎樣計算？問題三：比較兩種計算的結(jié)果你有什么發(fā)現(xiàn)？說明：學(xué)生可能先分割再整體得出：（a+b）（a b）=s2 b2（1）也有的是先整體再分割得出 a2- b2=（a+b）（a b）（2）兩種形式加以比較進一步明確整式乘法和因式分解的關(guān)系.思考：1 .對于（1）式從左邊到右邊的變形叫什么？2 .對于（2）式從左邊到右邊的變形叫什么？3 .我們已經(jīng)學(xué)習(xí)提公因式法分解因式.在（2）式的左邊有公因式嗎？但它寫 成右邊的形式是分解因式嗎？可見，沒有公因式的某些多項式也可以用

5、別的方法 分解.（二）平方差公式的特征辨析：把乘法公式(a+b)(a b)=a2 b2 反過來得：a2 b2=(a+b)(a b)我們可以運用這個公式對某些多項式進行分解因式.這種方法叫運用平方差公式法.議一議：下列多項式可以用平方差公式分解嗎？(1) x2- y2(2) x2+y2(3) -x2-y2(4) x2+y2(5) 64 a2(6) 4x29y2說明：這里是學(xué)生自主辨析公式特點的好機會，一定讓學(xué)生自己討論，只要 能辨別哪些能用公式就可以，教師在具體使用時，可以先出示前面4道題，為了降低難度可以先把第5題寫為82-a2然后改寫成64-a2形式，讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化 的數(shù)學(xué)思想.對于最后一題

6、若學(xué)生對幕的運算較生疏，可以適當(dāng)補充練習(xí)，如： 填空：4a2=( )2 4 b2=( )2 x2y2=( )2.進而讓學(xué)生自己體會公式中的 a與b 可以表示一個數(shù)，也可以表示一個式子，滲透換元的思想方法.最后，教師可以用簡練的語言總結(jié)平方差公式的特點：1 .左邊特征是：二項式，每項都是平方的形式，兩項的符號相反 .2 .右邊特征是：兩個二項式的積，一個是左邊兩項的底數(shù)之和，另一個是這 兩個底數(shù)之差.3 .在乘法公式中，平方差是指計算的結(jié)果，在分解因式時，平方差是指要分 解的多項式.(三)例題教學(xué)例1把下列多項式分解因式：(1) 36- 25x2 (2) 16a2-9b2分析：觀察是否符合平方差

7、公式的形式，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把36、25x2、16a2、9b2改寫成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否準確的改寫是本題的關(guān)鍵.解：36- 25x2=62-(5x)2=(6+5x)(6 5x) 16a2-9b2=(4a)2-(3b)2 =(4a+3b)(4a-3b)說明：(1)對于多項式中的兩部分不是明顯的平方形式，應(yīng)先變形為平方形式再運用公式分解，以免出現(xiàn)16a2 9b2=(16a+9b)(16a 9b)的錯誤.(2)在此還要提醒防止出現(xiàn)分解后又乘開的現(xiàn)象，這是舊知識的“倒攝作用”所引起的現(xiàn)象.例2如圖，求圓環(huán)形綠化區(qū)的面積解： 3527t 152 冗二兀(352152)=(35+1

8、5)(35 15)九=50X20 幾二1000 兀(m2)這個綠化區(qū)的面積是10007tm2說明：在這里列出算式后可以讓學(xué)生自己討論怎么計算，要讓學(xué)生解釋他的解法，可能解釋為逆運用乘法結(jié)合律，也可能解釋為合并同類項，都要予以肯定， 在這兒不要怕浪費時間，通過比較得出上述解法和前一節(jié)的提取公因式是一致 的，從而為分解因式的一般步驟打下伏筆，即：先提公因式，再運用公式.例3把下列多項式分解因式：1. (x+p)2 (x+q)22. 9(a+b)2 4(a b)2分析：在這里，尤其要重視對運用平方差公式前的多項式觀察和心算，而后是進行變形.這一點在這兒尤為重要.解：(x+p)2-(x+q)2=(x+

9、p)+(x+q)(x+p) (x+q)=(2x+p+q)(pq)9(a+b)2-4(a- b)2 =3(a+b)2-2(a-b)2=3(a+b)+2(a b) 3(a+b) 2(a- b)=(5a+b)(a+5b)說明：設(shè)計本題的目的是讓學(xué)生加深平方差公式中的a b不僅可以表示數(shù)字、單項式，也可以是多項式，進一步滲透整體、換元的思想 .例4.(供選擇)觀察下列算式回答問題：321=8521=24=8 X372-1=48=8 X6921=80=8 X 10問：根據(jù)上述的式子，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能用自己的語言表達你所發(fā)現(xiàn)的結(jié) 論嗎？你能用數(shù)學(xué)式子來說明你的結(jié)論是正確的嗎？解：任意一個奇數(shù)的平方與1的

10、差是8的整數(shù)倍.(2n+1)21 =(2n+1)+1(2n+1) -1=(2n+2) 2n=2(n+1) 2n=4n(n+1)因為n是整數(shù)，所以n、n+1是兩個連續(xù)的整數(shù)，而兩個連續(xù)的整數(shù)一定有 一個是偶數(shù)，即n(n+1)是2的倍數(shù),因此4n(n+1)是8的倍數(shù).(四)練習(xí)1 .下列分解因式是否正確：(1) -x2- y2=(x+y)(x - y)(2) 9 25a2=(3+25a)(3+25b)(3) -4a2+9b2=(-2a+3b)(-2a-3b)(3) x216y2(6) (x+a)2-(y+b)2(8) 0.25(x+y)2-0.81(x-y)22.把下列各式分解因式：(1) 36 x2(2)a2- -b29(4) x2y2-z2(5) (x+2)29 25(a+b)2-4(a- b)23.在邊長為16.4cm的正方形紙片的四角各剪去一邊長為1.8cm的正方形，求余下的紙片的面積.4.已知 x2 y2=1 , x+y= 1,求 x y 的值.2(五)小結(jié)學(xué)生自己說出通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)