6函數(shù)的應(yīng)用問題

1、江蘇省2014屆一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題選編6：函數(shù)的應(yīng)用問題一、解答題 某單位設(shè)計(jì)的兩種密封玻璃窗如圖所示:圖1是單層玻璃,厚度為8 mm;圖2是雙層中空玻璃,厚度均為4 mm,中間留有厚度為的空氣隔層.根據(jù)熱傳導(dǎo)知識(shí),對(duì)于厚度為的均勻介質(zhì),兩側(cè)的溫度差為,單位時(shí)間內(nèi),在單位面積上通過的熱量,其中為熱傳導(dǎo)系數(shù).假定單位時(shí)間內(nèi),在單位面積上通過每一層玻璃及空氣隔層的熱量相等.(注:玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為,空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為.)(1)設(shè)室內(nèi),室外溫度均分別為,內(nèi)層玻璃外側(cè)溫度為,外層玻璃內(nèi)側(cè)溫度為,且.試分別求出單層玻璃和雙層中空玻璃單位時(shí)間內(nèi),在單位面積上通過的熱量(結(jié)果用,及表示);(2)為使雙層中空玻

2、璃單位時(shí)間內(nèi),在單位面積上通過的熱量只有單層玻璃的4%,應(yīng)如何設(shè)計(jì)的大小?圖1圖2墻墻8T1T2室內(nèi)室外墻墻x4T1T2室內(nèi)室外4（第17題） 【答案】解:(1)設(shè)單層玻璃和雙層中空玻璃單位時(shí)間內(nèi),在單位面積上通過的熱量分別為, 則, (2)由(1)知, 當(dāng)4%時(shí),解得(mm). 答:當(dāng)mm時(shí),雙層中空玻璃通過的熱量只有單層玻璃的4% 如圖所示,有兩條道路與,現(xiàn)要鋪設(shè)三條下水管道,(其中,分別在,上),若下水管道的總長(zhǎng)度為,設(shè),.(1)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并指出的取值范圍;(2)已知點(diǎn)處有一個(gè)污水總管的接口,點(diǎn)到的距離為,到點(diǎn)的距離為,問下水管道能否經(jīng)過污水總管的接口點(diǎn)?若能,求出的值,若不能

3、,請(qǐng)說明理由.【答案】 在一個(gè)矩形體育館的一角MAN內(nèi)(如圖所示),用長(zhǎng)為a的圍欄設(shè)置一個(gè)運(yùn)動(dòng)器材儲(chǔ)存區(qū)域,已知B是墻角線AM上的一點(diǎn),C是墻角線AN上的一點(diǎn).(1)若BC=a=10,求儲(chǔ)存區(qū)域三角形ABC面積的最大值;(2)若AB=AC=10,在折線MBCN內(nèi)選一點(diǎn)D,使DB+DC=a=20,求儲(chǔ)存區(qū)域四邊形DBAC面積的最大值.ABCMND(第17題圖)【答案】(1)因?yàn)槿切蔚拿娣e為倍AB·AC,所以當(dāng)AB=AC時(shí)其值才最大,可求得為25 (2)求四邊形DBAC面積可分為ABC跟BCD兩個(gè)三角形來計(jì)算,而ABC為定值可先不考慮,進(jìn)而只考慮三角形BCD的面積變化,以BC為底邊,故

4、當(dāng)D點(diǎn)BC 的距離最長(zhǎng)時(shí)面積取得最大值.因?yàn)镈B+DC=a=20總成立,所以點(diǎn)D的軌跡是一個(gè)橢圓,B.C是其兩交點(diǎn),結(jié)合橢圓的知識(shí)可以知道只有當(dāng)D點(diǎn)在BC的中垂線上時(shí)點(diǎn)D到BC的距離才能取得最大值,再結(jié)合題意四邊形DBAC剛好是一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形,其面積為100 某人年底花萬元買了一套住房,其中首付萬元,萬元采用商業(yè)貸款.貸款的月利率為,按復(fù)利計(jì)算,每月等額還貸一次,年還清,并從貸款后的次月開始還貸.這個(gè)人每月應(yīng)還貸多少元?為了抑制高房?jī)r(jià),國家出臺(tái)“國五條”,要求賣房時(shí)按照差額的20%繳稅.如果這個(gè)人現(xiàn)在將住房萬元賣出,并且差額稅由賣房人承擔(dān),問:賣房人將獲利約多少元? (參考數(shù)據(jù):)【答

5、案】設(shè)每月應(yīng)還貸元,共付款次,則有 , 所以(元) 答:每月應(yīng)還貸元 賣房人共付給銀行元, 利息(元), 繳納差額稅(元), (元). 答:賣房人將獲利約元 要制作一個(gè)如圖的框架(單位:米),要求所圍成的總面積為19.5(米2),其中ABCD是一個(gè)矩形,EFCD是一個(gè)等腰梯形,梯形高h(yuǎn)=AB, tan FED=,設(shè)AB=x米,BC=y米.()求y關(guān)于x的表達(dá)式;()如何設(shè)計(jì)x,y的長(zhǎng)度,才能使所用材料最少?【答案】 已知一塊半徑為的殘缺的半圓形材料,O為半圓的圓心,殘缺部分位于過點(diǎn)的豎直線的右側(cè).現(xiàn)要在這塊材料上截出一個(gè)直角三角形,有兩種設(shè)計(jì)方案:如圖甲,以為斜邊;如圖乙,直角頂點(diǎn)在線段上,且

6、另一個(gè)頂點(diǎn)在上.要使截出的直角三角形的面積最大,應(yīng)該選擇哪一種方案?請(qǐng)說明理由,并求出截得直角三角形面積的最大值.ABOCD（第17題甲圖）ABOCD（第17題乙圖）E【答案】如圖甲,設(shè), 則, 所以 , 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào), 此時(shí)點(diǎn)到的距離為,可以保證點(diǎn)在半圓形材料內(nèi)部,因此按照?qǐng)D甲方案得到直角三角形的最大面積為 ABOCD（第17題甲圖）ABOCD（第17題乙圖）E 如圖乙,設(shè),則, 所以, 設(shè),則, 當(dāng)時(shí),所以時(shí),即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí), 的面積最大值為 因?yàn)? 所以選擇圖乙的方案,截得的直角三角形面積最大,最大值為 如圖,在海岸線一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島,某旅游公司為方便游客,在上設(shè)立了A、B兩

7、個(gè)報(bào)名點(diǎn),滿足A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米.公司擬按以下思路運(yùn)作:先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處(點(diǎn)D異于A、B兩點(diǎn)),然后乘同一艘游輪前往C島.據(jù)統(tǒng)計(jì),每批游客A處需發(fā)車2輛,B處需發(fā)車4輛,每輛汽車每千米耗費(fèi)2元,游輪每千米耗費(fèi)12元.設(shè),每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元.寫出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并指出的取值范圍;問中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí),S最小?【答案】解: (1)由題在中,. 由正弦定理知,得 (2),令,得 當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)取得最小值 此時(shí), 中轉(zhuǎn)站距處千米時(shí),運(yùn)輸成本最小 如圖,一個(gè)半圓和長(zhǎng)方形組成的鐵皮,長(zhǎng)方形的邊AD為半圓的直徑,O為

8、半圓的圓心,現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個(gè)等腰三角形,其底邊.(1)設(shè)備,求三角形鐵皮的面積;(2)求剪下的鐵皮三角形面積的最大值.【答案】(1)設(shè)MN交AD交于Q點(diǎn) MQD=30°,MQ=,OQ=(算出一個(gè)得2分) SPMN=MN·AQ=××(1+)= (2)設(shè)MOQ=,0,MQ=sin,OQ=cos SPMN=MN·AQ=(1+sin)(1+cos) =(1+sincos+sin+cos) 令sin+cos=t1,SPMN=(t+1+) =,當(dāng)t=,SPMN的最大值為 某公司為一家制冷設(shè)備廠設(shè)計(jì)生產(chǎn)一種長(zhǎng)方形薄板,其周長(zhǎng)為4米,這種薄板須沿其對(duì)角線折

9、疊后使用.如圖所示,為長(zhǎng)方形薄板,沿AC折疊后,交DC于點(diǎn)P.當(dāng)ADP的面積最大時(shí)最節(jié)能,凹多邊形的面積最大時(shí)制冷效果最好.(1)設(shè)AB=x米,用x表示圖中DP的長(zhǎng)度,并寫出x的取值范圍;(2)若要求最節(jié)能,應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬?(3)若要求制冷效果最好,應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)薄板的長(zhǎng)和寬?ABCD（第17題）P【答案】解:(1)由題意,.因,故 設(shè),則. 因,故. 由 ,得 , (2)記的面積為,則 , 當(dāng)且僅當(dāng)(1,2)時(shí),S1取得最大值 故當(dāng)薄板長(zhǎng)為米,寬為米時(shí),節(jié)能效果最好 (3)記的面積為,則 , 于是, 關(guān)于的函數(shù)在上遞增,在上遞減. 所以當(dāng)時(shí),取得最大值 故當(dāng)薄板長(zhǎng)為米,寬為米時(shí),制冷效果

10、最好 本題主要考查應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題與解決問題的能力.試題以常見的圖形為載體,再現(xiàn)對(duì)基本不等式、導(dǎo)數(shù)等的考查.講評(píng)時(shí),應(yīng)注意強(qiáng)調(diào)解決應(yīng)用問題的一般步驟與思維規(guī)律,教學(xué)中應(yīng)幫助學(xué)生克服解決應(yīng)用題時(shí)的畏懼心理,在學(xué)生獨(dú)立解決應(yīng)用問題的過程中不斷增強(qiáng)他們的自信心. 在使用基本不等式應(yīng)注意驗(yàn)證取等號(hào)的條件,使用導(dǎo)數(shù)時(shí)應(yīng)謹(jǐn)慎決斷最值的取值情況. 如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,軸在地平面上,軸垂直于地平面,單位長(zhǎng)度為1千米.某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn).已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上,其中與發(fā)射方向有關(guān).炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo).(1)求炮的最大射程;(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小),其飛行

11、高度為3.2千米,試問它的橫坐標(biāo)不超過多少時(shí),炮彈可以擊中它?請(qǐng)說明理由.【答案】解:(1)在中,令,得.由實(shí)際意義和題設(shè)條件知.,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).炮的最大射程是10千米.(2),炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在,使成立,即關(guān)于的方程有正根.由得.此時(shí),(不考慮另一根).當(dāng)不超過6千米時(shí),炮彈可以擊中目標(biāo).如圖,某廣場(chǎng)中間有一塊扇形綠地OAB,其中O為扇形所在圓的圓心,廣場(chǎng)管理部門欲在綠地上修建觀光小路:在上選一點(diǎn)C,過C修建與OB平行的小路CD,與OA平行的小路CE,問C應(yīng)選在何處,才能使得修建的道路CD與CE的總長(zhǎng)最大,并說明理由.【答案】 某部門要設(shè)計(jì)一種如圖所示的燈架,用來安裝球心為,半徑

12、為(米)的球形燈泡.該燈架由燈托、燈桿、燈腳三個(gè)部件組成,其中圓弧形燈托,所在圓的圓心都是、半徑都是(米)、圓弧的圓心角都是(弧度);燈桿垂直于地面,桿頂?shù)降孛娴木嚯x為(米),且;燈腳,是正四棱錐的四條側(cè)棱,正方形的外接圓半徑為(米),四條燈腳與燈桿所在直線的夾角都為(弧度).已知燈桿、燈腳的造價(jià)都是每米(元),燈托造價(jià)是每米(元),其中,都為常數(shù).設(shè)該燈架的總造價(jià)為(元) .(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)取何值時(shí),取得最小值?【答案】 隨著機(jī)構(gòu)改革開作的深入進(jìn)行,各單位要減員增效,有一家公司現(xiàn)有職員人(140<<420,且為偶數(shù),每人每年可創(chuàng)利萬元. 據(jù)評(píng)估,在經(jīng)營(yíng)條件不變的

13、前提下,每裁員1人,則留崗職員每人每年多創(chuàng)利0.01萬元,但公司需付下崗職員每人每年0.4萬元的生活費(fèi),并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得小于現(xiàn)有職員的,為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益,該公司應(yīng)裁員多少人?【答案】解答:設(shè)裁員x人,可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y萬元,則 依題意 (1)當(dāng)取到最大值; (2)當(dāng)取到最大值; 答:當(dāng)70<a<140,公司應(yīng)裁員為經(jīng)濟(jì)效益取到最大值 當(dāng)公司應(yīng)裁員為經(jīng)濟(jì)效益取到最大值 如圖,兩座建筑物的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是9和15,從建筑物的頂部看建筑物的視角.(1)求的長(zhǎng)度;(2)在線段上取一點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)不重合),從點(diǎn)看這兩座建筑物的視角分別為

14、問點(diǎn)在何處時(shí),最小?第17題圖【答案】作,垂足為,則,設(shè), 則 ,化簡(jiǎn)得,解之得,或(舍) 答:的長(zhǎng)度為 設(shè),則, 設(shè),令,因?yàn)?得,當(dāng)時(shí),是減函數(shù);當(dāng) 時(shí),是增函數(shù), 所以,當(dāng)時(shí),取得最小值,即取得最小值, 因?yàn)楹愠闪?所以,所以, 因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù),所以當(dāng)時(shí),取得最小值. 答:當(dāng)為時(shí),取得最小值 第八屆中國花博會(huì)將于2013年9月在常州舉辦,展覽園指揮中心所用地塊的形狀是大小一定的矩形ABCD,.a,b為常數(shù)且滿足.組委會(huì)決定從該矩形地塊中劃出一個(gè)直角三角形地塊建游客休息區(qū)(點(diǎn)E,F分別在線段AB,AD上),且該直角三角形AEF的周長(zhǎng)為(),如圖.設(shè),的面積為.(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(

15、2)試確定點(diǎn)E的位置,使得直角三角形地塊的面積最大,并求出的最大值.FEbaBDCA【答案】解:(1)設(shè),則,整理,得 , (2) 當(dāng)時(shí),在遞增,故當(dāng)時(shí),; 當(dāng)時(shí),在上,遞增,在上,遞減,故當(dāng)時(shí),. 在路邊安裝路燈,燈柱與地面垂直,燈桿與燈柱所在平面與道路垂直,且,路燈采用錐形燈罩,射出的光線如圖中陰影部分所示,已知,路寬米,設(shè)燈柱高(米),()(1)求燈柱的高(用表示);(2)若燈桿與燈柱所用材料相同,記此用料長(zhǎng)度和為,求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式,并求出的最小值. 【答案】 將一張長(zhǎng)8cm,寬6cm的長(zhǎng)方形的紙片沿著一條直線折疊,折痕(線段)將紙片分成兩部分,面積分別為S1cm2,S2cm2,其中S

16、1S2.記折痕長(zhǎng)為lcm.(1)若l=4,求S1的最大值;(2)若S1S2=12,求l的取值范圍.【答案】解 如圖所示,不妨設(shè)紙片為長(zhǎng)方形ABCD,AB=8cm,AD=6cm,其中點(diǎn)A在面積為S1的部分內(nèi).折痕有下列三種情形:折痕的端點(diǎn)M,N分別在邊AB,AD上;折痕的端點(diǎn)M,N分別在邊AB,CD上;折痕的端點(diǎn)M,N分別在邊AD,BC上.ABCD（情形）MNABCD（情形）MNABCD（情形）MN(1)在情形中MN6,故當(dāng)l=4時(shí),折痕必定是情形.設(shè)AM=xcm,AN=ycm,則x2+y2=16 因?yàn)閤2+y22xy,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào),所以S1=xy4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號(hào).即S1

17、的最大值為4 (2)由題意知,長(zhǎng)方形的面積為S=6×8=48. 因?yàn)镾1S2=12,S1S2,所以S1=16,S2=32. 當(dāng)折痕是情形時(shí),設(shè)AM=xcm,AN=ycm,則xy=16,即y=.由得x8.所以l=,x8 設(shè)f(x)=x2+,x>0,則f (x)=2x-=,x>0.故x(,4)4(4,8)8f (x)-0+f(x)646480所以f(x)的取值范圍為64,80,從而l的范圍是8,4; 當(dāng)折痕是情形時(shí),設(shè)AM=xcm,DN=ycm,則(x+y)×6=16,即y=-x.由得0x.所以l=,0x.所以l的范圍為6,; 當(dāng)折痕是情形時(shí),設(shè)BN=xcm,AM=

18、ycm,則(x+y)×8=16,即y=4-x.由得0x4.所以l=,0x4.所以l的取值范圍為8,4.綜上,l的取值范圍為6,4 如圖所示,已知邊長(zhǎng)為米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕,其中米,米.為了合理利用這塊鋼板,將在五邊形內(nèi)截取一個(gè)矩形塊,使點(diǎn)在邊上.()設(shè)米,米,將表示成的函數(shù),求該函數(shù)的解析式及定義域;()求矩形面積的最大值.【答案】 近年來,某企業(yè)每年消耗電費(fèi)約24萬元, 為了節(jié)能減排, 決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng), 安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)(單位: 萬元)與太陽能電池板的面積(單位: 平方米)成正比, 比例系數(shù)約為0.5. 為了保證正常用電, 安

19、裝后采用太陽能和電能互補(bǔ)供電的模式. 假設(shè)在此模式下, 安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是為常數(shù)). 記為該村安裝這種太陽能供電設(shè)備的費(fèi)用與該村15年共將消耗的電費(fèi)之和. (1)試解釋的實(shí)際意義, 并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)為多少平方米時(shí), 取得最小值?最小值是多少萬元?【答案】解: (1) 的實(shí)際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時(shí)的用電費(fèi)用, 即未安裝電陽能供電設(shè)備時(shí)全村每年消耗的電費(fèi) 由,得 所以 (2)因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào) 所以當(dāng)為55平方米時(shí), 取得最小值為59.75萬元 (說明:第(2)題用導(dǎo)數(shù)可最值

20、的,類似給分) 為穩(wěn)定房?jī)r(jià),某地政府決定建造一批保障房供給社會(huì).計(jì)劃用1 600萬元購得一塊土地,在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū),每幢樓的樓層數(shù)相同,且每層建筑面積均為1 000平方米,每平方米的建筑費(fèi)用與樓層有關(guān),第x層樓房每平方米的建筑費(fèi)用為(kx+800)元(其中k為常數(shù)) .經(jīng)測(cè)算,若每幢樓為5層,則該小區(qū)每平方米的平均綜合費(fèi)用為1 270元. (每平方米平均綜合費(fèi)用=).(1)求k的值;(2)問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最低,應(yīng)將這10幢樓房建成多少層?此時(shí)每平方米的平均綜合費(fèi)用為多少元?【答案】【解】(1)如果每幢樓為5層,那么所有建筑面

21、積為10×1 000×5平方米,所有建筑費(fèi)用為 (k +800)+(2k +800)+(3 k +800)+(4k+800)+(5k +800)×1 000×10,所以, 1270=,解之得:k=50 (2)設(shè)小區(qū)每幢為n(nN*)層時(shí),每平方米平均綜合費(fèi)用為f (n),由題設(shè)可知 f (n) = =+25n+8252+825=1225(元) 當(dāng)且僅當(dāng)=25n,即n=8時(shí)等號(hào)成立 答:該小區(qū)每幢建8層時(shí),每平方米平均綜合費(fèi)用最低,此時(shí)每平方米平均綜合費(fèi)用為1 225元 某單位決定對(duì)本單位職工實(shí)行年醫(yī)療費(fèi)用報(bào)銷制度,擬制定年醫(yī)療總費(fèi)用在2萬元至10萬元(包括2萬元和10萬元)的報(bào)銷方案,該方案要求同時(shí)具備下列三