圓錐曲線專題

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上圓錐曲線的綜合問題直線和圓錐曲線問題解法的一般規(guī)律 “聯(lián)立方程求交點，根與系數(shù)的關系求弦長，根的分布找范圍，曲線定義不能忘”【一】直線與圓錐曲線的位置關系(1)從幾何角度看，可分為三類：無公共點，僅有一個公共點及有兩個相異的公共點(2)從代數(shù)角度看，可通過將表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷1.設直線l的方程為AxByC0，圓錐曲線方程f(x，y)0.由，消元。如消去y后得ax2bxc0.若a0，當圓錐曲線是雙曲線時，直線l與雙曲線的漸近線平行或重合；當圓錐曲線是拋物線時，直線l與拋物線的對稱軸平行或重合若a0，設b24ac.a 0時

2、，直線和圓錐曲線相交于不同兩點；b 0時，直線和圓錐曲線相切于一點；c 0時，直線和圓錐曲線沒有公共點2.“點差法”的常見題型 求中點弦方程、求(過定點、平行弦)弦中點軌跡、垂直平分線問題必須提醒的是“點差法”具有不等價性，即要考慮判別式0是否成立3直線與圓錐曲線相交時的弦長問題(1)斜率為k的直線與圓錐曲線交于兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則所得弦長|P1P2| 或|P1P2| .(2)當斜率k不存在時，可求出交點坐標，直接運算(利用軸上兩點間距離公式)4圓錐曲線的中點弦問題遇到中點弦問題常用“根與系數(shù)的關系”或“點差法”求解在橢圓1中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜

3、率k；在雙曲線1中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k；在拋物線y22px (p0)中，以P(x0，y0)為中點的弦所在直線的斜率k.題型一 圓錐曲線中的范圍、最值問題 【例1】已知拋物線C：y24x，過點A(1,0)的直線交拋物線C于P、Q兩點，設.(1)若點P關于x軸的對稱點為M，求證：直線MQ經過拋物線C的焦點F；(2)若，求|PQ|的最大值思維啟迪(1)可利用向量共線證明直線MQ過F；(2)建立|PQ|和的關系，然后求最值解析：(1)證明設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，y1)，x11(x21)，y1y2，y2y，y4x1，y4x2，x12x2，2x21(x21

4、)，x2(1)1，1，x2，x1，又F(1,0)，(1x1，y1)(1，y2)，直線MQ經過拋物線C的焦點F.(2)解由(1)知x2，x1，得x1x21，yy16x1x216，y1y20，y1y24，xxyy2(x1x2y1y2)2412216，當，即時，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值為.探究提高圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值變式訓練1 (2012四川)如圖，動點M與兩定點 A(1,0)、

5、B(1,0)構成MAB，且直線MA、MB的斜率之積為4.設動點M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程(2)設直線yxm(m0)與y軸相交于點P，與軌跡C相交于點Q，R，且|PQ|0，而當1或1為方程(*)的根時，m的值為1或1.結合題設(m0)可知，m0且m1.設Q、R的坐標分別為(xQ，yQ)，(xR，yR)，則xQ，xR為方程(*)的兩根因為|PQ|PR|，所以|xQ|1，且2，所以113，且1，所以1b0)，由e，得a2c，a2b2c2，b23c2，則橢圓方程變?yōu)?.又橢圓過點P，將其代入求得c21，故a24，b23，即得橢圓的標準方程為1.(2)證明設A(x1，y1)，B(x2，y2)，

6、聯(lián)立則又y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.橢圓的右頂點為A2(2,0)，AA2BA2，(x12)(x22)y1y20，y1y2x1x22(x1x2)40，40，7m216mk4k20，解得m12k，m2，由，得34k2m20，當m12k時，l的方程為yk(x2)，直線過定點(2,0)，與已知矛盾當m2時，l的方程為yk，直線過定點，直線l過定點，定點坐標為.題型三 圓錐曲線中的探索性問題 【例3】已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA

7、與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由思維啟迪可先假設l存在，然后根據(jù)與C有公共點和與OA距離等于4兩個條件探求解析解方法一(1)依題意，可設橢圓C的方程為1(ab0)，且可知其左焦點為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(2)假設存在符合題意的直線l，設其方程為yxt.由得3x23txt2120.因為直線l與橢圓C有公共點，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直線OA與l的距離d4，得4，解得t2.由于24，4，所以符合題意的直線l不存在方法二(1)依題意，可設橢圓C的方程為1(ab0)，且有從而a216.所以

8、橢圓C的方程為1.(2)同方法一探究提高解決直線與圓錐曲線位置關系的存在性問題，往往是先假設所求的元素存在，然后再推理論證，檢驗說明假設是否正確變式訓練3 (2012江西)已知三點O(0,0)，A(2,1)，B(2,1)，曲線C上任意一點M(x，y)滿足|()2.(1)求曲線C的方程；(2)動點Q(x0，y0)(2x02)在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l.問：是否存在定點P(0，t)(t0)，使得l與PA，PB都相交，交點分別為D，E，且QAB與PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值；若不存在，說明理由解(1)由(2x,1y)，(2x,1y)，|，()(x，y)(0,2)2y，由已知得2

9、y2，化簡得曲線C的方程：x24y.(2)假設存在點P(0，t)(t0)滿足條件，則直線PA的方程是yxt，PB的方程是yxt.曲線C在Q處的切線l的方程是yx，它與y軸的交點為F.由于2x02，因此11.當1t0時，1，存在x0(2,2)，使得，即l與直線PA平行，故當1t0時不符合題意當t1時，1，所以l與直線PA，PB一定相交分別聯(lián)立方程組解得D，E的橫坐標分別是xD，xE，則xExD(1t).又|FP|t，有SPDE|FP|xExD|，又SQAB4，于是.對任意x0(2,2)，要使為常數(shù)，即只需t滿足解得t1.此時2，故存在t1，使得QAB與PDE的面積之比是常數(shù)2.該直線恒過一個定點

10、A(，0)19.圓錐曲線中的函數(shù)思想 思想與方法典例：(12分)已知橢圓1上的兩個動點P，Q，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1x22.(1)求證：線段PQ的垂直平分線經過一個定點A；(2)設點A關于原點O的對稱點是B，求|PB|的最小值及相應的P點坐標審 題 視 角(1)引入?yún)?shù)PQ中點的縱坐標，先求kPQ，利用直線PQ的方程求解(2)建立|PB|關于動點坐標的目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質求最值規(guī) 范 解 答(1)證明P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1x22.當x1x2時，由，得.設線段PQ的中點N(1，n)，kPQ，線段PQ的垂直平分線方程為yn2n(x1)，(2x1)ny0，

11、該直線恒過一個定點A(，0)當x1x2時，線段PQ的中垂線也過定點A(，0)綜上，線段PQ的垂直平分線恒過定點A(，0)(2)解由于點B與點A關于原點O對稱，故點B(，0)2x12，2x22，x12x20,2，|PB|2(x1)2y(x11)2，當點P的坐標為(0，)時，|PB|min.溫 馨 提 醒(1)本題是圓錐曲線中的綜合問題，涉及到了定點問題以及最值問題求圓錐曲線的最值問題是高考考查的一個重要問題，通常是先建立一個目標函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調性、函數(shù)的圖象、函數(shù)的有界性或基本不等式等求最值，本題是建立二次函數(shù)、利用二次函數(shù)的圖象求最值(2)本題的第一個易錯點是，表達不出線段PQ的中垂線

12、方程，原因是想不到引入?yún)?shù)表示PQ的中點第二個易錯點是，易忽視P點坐標的取值范圍實質上是忽視了橢圓的范圍.思想方法感悟提高方 法 與 技 巧1解決直線與橢圓的位置關系問題，如果直線與橢圓有兩個不同交點，可將直線方程ykxc代入橢圓方程1整理出關于x(或y)的一元二次方程Ax2BxC0，B24AC 0，可利用根與系數(shù)之間的關系求弦長(弦長為)2圓錐曲線綜合問題要四重視：(1)重視定義在解題中的作用；(2)重視平面幾何知識在解題中的作用；(3)重視根與系數(shù)的關系在解題中的作用；(4)重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用失 誤 與 防 范1在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別注意直線與

13、拋物線的對稱軸平行的特殊情況2中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證0或說明中點在曲線內部練出高分A組專項基礎訓練1直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個公共點，則k的值為()A1 B1或3 C0 D1或0解 析由得ky28y160，若k0，則y2，若k0，若0，即6464k0，解得k1，因此直線ykx2與拋物線y28x有且只有一個公共點，則k0或k1.2AB為過橢圓1中心的弦，F(xiàn)(c,0)為它的焦點，則FAB的最大面積為()Ab2 Bab Cac Dbc解 析設A、B兩點的坐標為(x1，y1)、(x1，y1)，則SFAB|OF|2y1|c|y1|bc.3過拋物線y22px (p0)

14、的焦點F且傾斜角為60的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A、B兩點，則的值等于()A5 B4 C3 D2解 析記拋物線y22px的準線為l，作AA1l，BB1l，BCAA1，垂足分別是A1、B1、C，則有cos 60，由此得3，選C.4(2011山東)設M(x0，y0)為拋物線C：x28y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是()A(0,2) B0,2C(2，) D2，)解 析x28y，焦點F的坐標為(0,2)，準線方程為y2.由拋物線的定義知|MF|y02.由于以F為圓心、|FM|為半徑的圓與準線相交，又圓心F到準線的距離為4，

15、故42.5設拋物線x24y的焦點為F，經過點P(1,4)的直線l與拋物線相交于A、B兩點，且點P恰為AB的中點，則|_.解 析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知x1x22，且x4y1，x4y2，兩式相減整理得，所以直線AB的方程為x2y70.將x2y7代入 x24y整理得4y232y490，所以y1y28，又由拋物線定義得|y1y2210.6已知橢圓y21的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|_.將x代入橢圓方程得yp，由|PF1|PF2|4|PF2|4|PF1|4.7直線ykx2與拋物線y28x交于不同兩點A、B，且AB的中點橫坐標

16、為2，則k的值是_設A(x1，y1)、B(x2，y2)，由消去y得k2x24(k2)x40，由題意得即k2.8(10分)橢圓1 (ab0)與直線xy10相交于P、Q兩點，且OPOQ(O為原點)(1)求證：等于定值；(2)若橢圓的離心率e，求橢圓長軸長的取值范圍(1)證明由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，直線與橢圓有兩個交點，0，即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0，ab0，a2b21.設P(x1，y1)、Q(x2，y2)，則x1、x2是方程的兩實根x1x2，x1x2.由OPOQ得x1x2y1y20，又y11x1，y21x2，得2x1x2(x1x2)

17、10.式代入式化簡得a2b22a2b2.2.(2)解利用(1)的結論，將a表示為e的函數(shù)由eb2a2a2e2，代入式，得2e22a2(1e2)0.a2.e，a2.a0，a.長軸長的取值范圍為，9(12分)給出雙曲線x21.(1)求以A(2,1)為中點的弦所在的直線方程；(2)若過點A(2,1)的直線l與所給雙曲線交于P1，P2兩點，求線段P1P2的中點P的軌跡方程；(3)過點B(1,1)能否作直線m，使得m與雙曲線交于兩點Q1，Q2，且B是Q1Q2的中點？這樣的直線m若存在，求出它的方程；若不存在，說明理由解(1)設弦的兩端點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則兩式相減得到2(x1x2

18、)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，又x1x24，y1y22，所以直線斜率k4.故求得直線方程為4xy70.(2)設P(x，y)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，按照(1)的解法可得，由于P1，P2，P，A四點共線，得，由可得，整理得2x2y24xy0，檢驗當x1x2時，x2，y0也滿足方程，故P1P2的中點P的軌跡方程是2x2y24xy0.(3)假設滿足題設條件的直線m存在，按照(1)的解法可得直線m的方程為y2x1.考慮到方程組無解，因此滿足題設條件的直線m是不存在的練出高分B組專項能力提升1已知雙曲線E的中心為原點，F(xiàn)(3,0)是E的焦點，過F的直線l與E相交于A，B兩點，且

19、AB的中點為N(12，15)，則E的方程為()A.1 B.1C.1 D.1解 析kAB1，直線AB的方程為yx3.由于雙曲線的焦點為F(3,0)，c3，c29.設雙曲線的標準方程為1(a0，b0)，則1.整理，得(b2a2)x26a2x9a2a2b20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x22(12)，a24a24b2，5a24b2.又a2b29，a24，b25，雙曲線E的方程為1.2已知拋物線yx23上存在關于直線xy0對稱的相異兩點A、B，則|AB|等于()A3 B4 C3 D4解 析設直線AB的方程為yxb.由x2xb30x1x21，得AB的中點M.又M在直線xy0上，可求出b

20、1，x2x20，則|AB|3.3如圖，已知過拋物線y22px (p0)的焦點F的直線xmym0與拋物線交于A、B兩點，且OAB(O為坐標原點)的面積為2，則m6m4的值是() A1 B. C2 D4解 析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意可知，m，將xmym代入拋物線方程y22px(p0)中，整理得y22pmy2pm0，由根與系數(shù)的關系，得y1y22pm，y1y22pm，(y1y2)2(y1y2)24y1y2(2pm)28pm16m416m2，又OAB的面積S|y1y2|(m)42，兩邊平方即可得m6m42.4直線ykx1與橢圓1恒有公共點，則m的取值范圍是_方程1表示橢圓，m0且m5.直線ykx1恒過(0,1)點，要使直線與橢圓總有公共點，應有：1，m1，m的取值范圍是m1且m5.5已知雙曲線1 (a1，b0)的焦距為2c，離心率為e，若點(1,0)與(1,0)到直線1的距離之和sc，則e的取值范圍是_解 析由題意知sc，2c25ab，.又，2e25，4e425(e21)，4e425e2250，e25，e.6若過拋物線y22px (p0)的焦點F的直線l依次交拋物線及其準線于點A、B、C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則