矢量分析與場論(2)

1、個人收集整理僅供參考學習第02講本節(jié)內容1,方向導數2,梯度3,散度4,旋度5,正交坐標系第一章矢量分析與場論(2)1,數量場的方向導數1.1方向導數由上節(jié)可知，數量場u=u(M)的分布情況，可以借助于等值面或等值線來了解，但這只能大致地了解數量場中物理量 u的整體分布情況。而要 詳細地研究數量場，還必須對它作局部性的了解，即要考察物理量u在場 中各點處的鄰域內沿每一方向的變化情況。為此，引入方向導數的概念。文檔收集自網絡，僅用于個人學習設M0是數量場M0出發(fā)沿某一方向引一近取一動點M, M。M =u= u(M )中的一點，從條射線l ,在l上M0的鄰若當Mt M0時(即P T 0）： 的極限

2、存在，則稱此極限為函數 u(M)在點M0處沿l方向的方向導數。記為M0一 、，一 dU 一一、， 可見，方向導數 或 是函數u(M)在點M0處沿l方向對距離的變化率 l M0.u當了0時，表示在M0處u沿l方向是增加的，反之就是減小的。在直角坐標系中，方向導數有以下定理所述的計算公式：定理若函數 u = u(x,y,z)在點 Mo(X0,y0,Z0)處可微，cos" , cos? , cos?為方向的方向余弦。則 U在M0處沿l方向的方向導數必存在，且：證：M 坐標為(X。+ ”, y。+ Ay,z。+ “),.U在點M0可微，故：°3是比高階的無窮小。兩邊除以得兩邊取t

3、0時的極限得一 一，X2 y2例 求數量場二工在點M(1,1,2)處沿l=？+ 2?+ 2?方向的方向導數。12 / 38解：方向的方向余弦為:1cos =二一3)cos :cosu 2x * = 2y u x2 y2一= =2x z ) y z ) z z:1,£uz7 .z Mu12122 一 = 1 1=. . l332332,梯度2.1 .概念方向導數為u(M )在給定點處沿某方向變化率。 但從場中一點出發(fā)無窮多方向，通常不必要更不可能研究所有方向的變化率。人們往往只關心沿何方向變化率最大，此變化率為多少？下從方向導數的計算公式出發(fā)來討論此問題。 文檔收集自網絡，僅用于個人學

4、習,.cosa、cosP、cos'為l方向的方向余弦.方向的單位矢量可表示為：若把3，1看成是某矢量G的三分量。即：一.£u _ 一 二則：T = G l °= G cos（G,l） 11G在給定點處為一常矢量。由上式， G在；方向上的投影恰等于函數 u在該方向上的方向導數。顯然，當1與G的方向一致時，即cos（Gr） = 1時，方向導數取得最大值， 或說沿G方向的方向導數最大，此最大值為：這樣即找到了一個矢量 G ,其方向為u(M)變化率最大，且其模即為最 大變化率，該矢量稱函數 u(M)在給定點處的梯度。在數量場u(M)中的一點M處，其方向為函數u(M)在M點處

5、變化率最 大的方向，其模恰好等于此最大變化率的矢量 G,稱為u(M)在M點處的 梯度，記為： 文檔收集自網絡，僅用于個人學習需指出，梯度的定義與坐標系無關，它由數量場u(M)的分布所決定，在不同的坐標系中只是表達形式不同。前面已得出其在直系中的表達式： 文檔收集自網絡，僅用于個人學習從此公式可以看出，梯度在形式上可以視為矢量微分算子7?+?+i?x 、y 、z與函數u的乘積，算子稱為哈密爾頓算子。所以梯度又常表示為“U。文檔收集自網絡，僅用于個人學習2.2.梯度的性質10梯度與方向導數的關系：在某點M處沿任一方向的方向導數等于該二 u點處的梯度在此方向上的投影。了 =G12°梯度與等

6、值面的關系：場u(M)中每一點M處的梯度，垂直于過該 點的等值面，且指向u(M)增大一方。這是因為點 M處“u的三個分量詈恰為過M點的等值面 x y zu(x, y, z) = c的法線方向數，即梯度在其法線方向上，故垂直于此等值面。一. 、一 L fu. 一 ，、一、,一又因為u沿 u萬向的萬向導數= 1grad叱0即u(M )沿grad u萬向是增 加的，或者說grad u指向u(M)增大一方。等值面和方向導數均與梯度存在一種比較理想的關系，這使得梯度成為研究數量場的一個極為重要的矢量。例 試證明M(x, y,z)點的矢徑r = x5?+ y* z?的模r = | ；|= Jx2+ y2+

7、 z2的梯 r度 L；=r。r x 2c 3 n -址，x x2 y2 z2 r，. y r， z r、x仁 y c z仁、=一1上？一?-r r r, u例 求 r=|r|= Jx2 + y2 + z2 在 M(1,0,1)處沿 l = i +2j + 2k方向的 - ou 一 ，、 一解法1 :直接由了公式(略)解法2 :作為梯度在上投影-rx :ry :rzxr) yr) zr,一：r 1：r 0 八:r 1在 M(1,0,1)處，- = T2,百丁 °, TzF11cleM 處72?72?2.3.梯度的運算法則17c = 0(c為常數)2。 (cu)= c7 u (c 為常數

8、)3 7 (u * v)- u" v4 V (uv) = W u + u個人收集整理僅供參考學習u、1 /、5。寸(一)=T(v7 u - u7 v)5 V v6。f(u) = f'(u)v u例 已知位于原點處的點電荷q在其周圍空間任一點 M(x,y,z)處產生的電位為'=477 ( r = |r| = Jx2+y2+z2 ),且知電場強度E= 求E。解：由法則6° :3矢量場的通量與散度3.1、 通量f|F8ds個人收集整理僅供參考學習為區(qū)分曲面的兩側，常規(guī)定其一側為曲面的正側，另一面為其負側。這種取定了正側的曲面稱為有向曲面。對于封閉曲面，習慣上總是取

9、其外側為正側。在研究實際問題時，常規(guī)定有向曲面的法向矢量n恒指向研究問題時所取的一側。 文檔收集自網絡，僅用于個人學習下面通過例子導出通量定義。設s為流速場V(M)中一有向曲面，考慮單位時間流體向正側穿過 s的流量Q。( n指向s正側)文檔收集自網絡，僅用于個人學習在s上取ds, M三ds。因ds甚小，可認為v和n在ds上均不變，分別與M處v和n相同。流體穿過ds的流量為： n其中n =尉為M處單位法向矢量則單位時間內沿正向穿過 s的總通量為：數學上把這種形式的曲面積分稱為通量。設A（M）為一矢量場，沿其中有向曲面 S正（負）側的曲面積分：稱為矢量場A向s正（負）側穿過曲面 S的通量。如磁感應

10、強度為B的磁場中，穿過曲面 S的磁通量為：若某一矢量場是由兩個以上的矢量場迭加而成，則總場穿過某曲面的通量等于每個矢量場穿過該曲面的通量之和。-1m即若A=人+FC A則： iN在直角坐標系中，若 A可表示為：而 ds = n ds = ds cos - i dscos j dscos k其中COS& , cosP , cosY是n的方向余弦-= A ds = Pdydz Qdxdz Rdxdy ss例 場r = xi + yj + zk s:圓錐面x2+ y2= z2與平面z=H所圍封閉面,求從s內穿出的屋解：: r dss若s為上半球面x2+y2 + z2 = R2,Hr ds s

11、2上任一點r工ds總流量Q=Hv ds為單位時間內向上側穿過S的正流量和負流量的代S數和。當Q>0時表示向正側流量多于向負側流量；Q<0時向正側流量小于向負側流量；Q=0時向正側流量等于向負側流量。文檔收集自網絡，僅用于個人學習對于封閉曲面s,提及穿過它的通量時，通常指從內向外。此時：當，>0時，表明穿出的通量大于穿入的，稱 s內有產生的正源；當 ' <。時，表明穿入通量大于穿出的，稱 s內有產生*的負源。正源和負源 可同時存在。 文檔收集自網絡，僅用于個人學習例 原點處點電荷q在其周圍產生的電場中，任一點處的電位移矢量 _ qrx?y?z? 、D'kr

12、 (r = Jx2 + y2+ /),求穿過以原點為球心，R為半徑的球面的電通量。 文檔收集自網絡，僅用于個人學習解：e; D dS s可見，s內產生電通量的源即為電荷 q, q為正電荷時，3>0,表明q為正源；反之q為負源。3.2散度根據穿出閉合面的通量的正負，可判斷出該曲面內有正源或負源,但源在s內的分布情況和強弱卻是通量無法說明的。為此，引入矢量場的 散度。 文檔收集自網絡，僅用于個人學習設M是矢量場A(M )中的一點，在M的某個鄰域內取一包含 M在內的任一閉合曲面”，其所包含區(qū)域的體積為 AV,以"表示穿出"S的通量。若當該區(qū)域以任意方式縮向點M時，文檔收集自

13、網絡，僅用于個人學習的極限存在，則稱之為矢量場a（m）在點M處的散度。記為div Adiv a為一數量，它表示場中一點處的通量對體積的變化率，即該點處穿出包圍單位體積的閉合曲面的通量。稱為該點處源的強度。div A> 0 該一 點有正源；div A < 0 該點有負源。divA表示產生通量或吸收通量的強度。當divA = o時，表示該點無源。div A= 0的矢量場稱為無源場。文檔收集自網絡，僅用 于個人學習定理（散度在直系中的表達式）在直角坐標系中，矢量場：在任一點M（x,y,z）處的散度為：證.=，A ds = ： Ax dydz Ay dxdz Az dxdyisLS由曲面積

14、分的奧氏公式:Ax因為反：Ay : A . div A =Ax：Ay= M -7ATm- z后、尤均連續(xù)，根據中值定理，&V內必存在一點M使得:Ax.M t M ,故 divA - x可見，散度在形式上可看作哈密爾頓算子與矢量A的點乘，所以通常表示為胃Ao此定理不僅告訴我們如何計算散度，也可由之得出以下推論:推論1奧氏公式可以寫成矢量形式：高斯定理從數學角度可以認為高斯定理建立了面積分和體積分的關系。從物理角度可以理解為高斯定理建立了區(qū)域V中的場和包圍區(qū)域V的閉合面S上的場之間的關系。因此，如果已知區(qū)域V中的場，根據高斯定理即可求出邊界S上的場，反之亦然。文檔收集自網絡，僅用于個人學習

15、推論2由推論1,若在封閉曲面s內處處有 A=0,則：推論3在矢量場A中，若某些點（或區(qū)域）上有 A，?；虿淮嬖?，而其它點上都有 A=05則穿出包圍這些點（或區(qū)域） 的任一閉曲面的通 量者勺才目等。 文檔收集自網絡，僅用于個人學習證：設7 A，0或不存在的點在區(qū)域 R內，任作二包圍 R但互不相交的封閉面Si、S2,外法向矢量ni、n2內7 A處處為0,而si上n與ni相同，s2上n與n2相反。例 原點處點電荷q產生的電位移為 1 一 (r = xi + y j 十 zk , r = | r ),求"D 。解： D = 7"(3i 為j Wk)4 r r rD =_qD =_q

16、yix 4n r3 ， y 4n r3 ，:Dxq r2 - 3x2：Dy _ q r2 - 3y2: Dzq r2 - 3z2:= ex4nr5，y4兀r5，1z 4 r5Dx ：Dy-Dz _ q 3r2 - 3(x2 y2 z2)D 一一一 0555x y z 4r在r = 0以外，V D：。，故為無源場。由推論3,穿過任一包圍q的封閉面的電通量：3=nDds=q s散度遵循下列運算法則：1 7 (cA)=cv A (c常數)2°y (A± B) = A±v B3 o 7 (uA) "uA+u$ A下面對法則3。加以證明。證：.uA= uAx?+u

17、Ay?+uAz?CGG, (uA)二(uAx) (uAy) (uAz)一xyz23 / 38個人收集整理僅供參考學習例 r=xi+yj+zk, r = r。求：(1)使 f(r)F= 0 的 f(r)(2)使 口() = 0 的 f(r)解：(1) ”/)；= ”r) r+ 口產 r.f (r) = cr-3,- r ,f(r)L f (r) r令r = et,得：.f (r); G1 C24矢量場的環(huán)量及旋度 4.1環(huán)量概念設有矢量場A(M),則沿場中某一封閉的有向曲線l的曲線積分稱為此矢量場按積分所取方向沿曲線l的環(huán)量。(其中dl = ； dl )例如，當A為力場F時，環(huán)量表示在F作用下，

18、質點沿曲線l運動一 _ 一周時，場力F對它所做的功。又如，當A為磁場強度H時，7H d表示沿與積分路線方向成右手螺旋關系的方向通過以l為邊界的曲面的總電流。(安培環(huán)路定律)文檔收集自網絡，僅用于個人學習在直角坐標系中，A= Ax(x,y,z)? Ay(x,y,z)? Az(x,y,z)?其中 cosa , cosP , cosY 為 dl 的方向余弦，則 71A dl 7 Axdx + Ay dy + 2dz可見，若在閉合有向曲線l上，矢量場A的方向處處與線元dl的方 向保持一致，則環(huán)量> 0 ；若處處相反，則r < 0 o可見，環(huán)量可以用來 描述矢量場的旋渦特性。文檔收集自網絡，

19、僅用于個人學習由物理學得知，真空中磁感應強度B沿任一閉合有向曲線l的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導電流強度I與真空磁導率"0的乘積。即文檔收集自哂僅用于個人學習式中電流I的正方向與dl的方向構成右旋關系。由此可見，環(huán)量可以表示產生具有旋渦特性的源的強度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場的旋度。文檔收集自網絡，僅用于個人學習4.2 .環(huán)量面密度以磁場h為例，其環(huán)量為通過磁場中以 l為邊界的曲面s的總電流強度。這還不足以了解磁場中任一點 M處沿著某一方向n的電流密度，為研究此類問題，引入環(huán)量面密度文檔收集自網絡，僅用于個人學習設M為矢量

20、A中一OMAS點，n為從M出發(fā)的一射線，在M處取一小面元&$與門垂直，取其周界M之正向與n成右手螺旋關系。當A沿的之正向的環(huán)量 與面積"之比在燈無限縮向M點時的極限存在,則稱之為矢量a在M點處沿n的環(huán)量面密度。記為文檔收集自網絡，僅用于個人學習在磁場中M處，沿某方向n的環(huán)量面密度為：:j H dlI dI4 =甄丁=螞=工 (I n萬向電流)為點M處沿n方向的電流密度。下面給出環(huán)量面密度的計算公式：在直角坐標系中，A= Ax(x,y,z)? Ay(x,y,z)p Az(x,y,z)?由曲線積分的斯托克斯公式證明：(略)由中值定理，當 普l>sa+(普普)8融+與k>

21、;s連續(xù)時，必存在一點M"使得（因為 &ST M 時）Ml M ）-：Ay:A:A- 八 A）cos :（ ）cos - （ ）cos二 z二z二 x二 x二 y4.3旋度由環(huán)量面密度的計算公式:A：AV；A:A：AV；AR= （4_）？（_）? （-）?L,L|L|L|L,L,y z z x x yn =R n-。為n方向的單位矢量。即在任一給定點處，矢量R在任一方向n上的投影等于沿該方向的環(huán)量面密度。R的方向為"n最大方向，且，max=|R。在矢量場A中的一點M處，其方向為 M處A的環(huán)量面密度最大的方43 / 38向，其模恰等于此最大環(huán)量面密度的矢量，稱為矢量記

22、作rot A O 文檔收集自網絡，僅用于個人學習A在M點處的旋度,上面已得出rot A的計算公式:?rot A =一 dxAxy:yAy-zAz旋度在形式上可看作哈密爾頓算子與矢量 A的叉乘，所以通常表示為斯托克斯定理同高斯定理類似，從數學角度可以認為斯托克斯定理建立了面積分和線積分的關系。從物理角度可以理解為斯托克斯定理建立了區(qū)域S中的 場和包圍區(qū)域S的閉合曲線l上的場之間的關系。因此，如果已知區(qū)域S中的場，根據斯托克斯定理即可求出邊界l上的場，反之亦然。文檔收集自網絡，僅用于個人學習例 求矢量場A= x(z-y*+ y(x-z)?+z(y-x)?在點M (1,0,1)處的旋度，及沿口 =

23、2? 6? 3?方向的環(huán)量面密度:y解:x(z- y) y(x - z) z(y- x)Am = ?+ 2?+?263n 二一災 ? -2777An2 6 2 3.177 777旋度遵循下列運算法則:1°F M(cA) = cF 父 A（c常數）2。 M(A± B)=5A士 M B3° 父(uA) = u7xA+7uxA4° $ B) = rot A B - A rot B5。"($u) = 06。0A) = 07。一一 A= ( A) - 7 2A其中蠟稱為拉普拉斯算子，在直角坐標系中有F面以4°和5 °為例給出證明證 4

24、° ： AgAx? + Ay/Az?)BBxW+By ?+Bz證5°：”(喝針解?+等) 例 已知中AI。，且存在非零函數u(x,y,z)及(x,y,z)使uA 2 試證明A，哂A 證：,uAH /y|(uA)|0 .，A A A A。u A) = 0/uA rot A = 0.u非零 故A±rot A5無散場和無旋場散度處處為零的矢量場稱為無散場，旋度處處為零的矢量場稱為無旋場。兩個重要公式：左式表明，任一矢量場 A的旋度的散度一定等于零。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。及收集自網絡，僅用于個人學習右式表明，任一標量場中的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。文檔收集自網絡，僅用于個人學習6正交坐標系6.1常用的三種坐標系文檔收集自網絡，僅用于個人學習圓柱(r, , z)z = Z0直角(x, y ,z)/6.2x 0微負5二 exEezey其中OdlZdSJW-稱為微分量 r =