藝術(shù)生高考數(shù)學(xué)專題講義：考點50幾何概型

1、考點五十幾何概型知識梳理1 .幾何概型如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱幾何概型.2 .幾何概型的概率公式構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）P（A尸試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 （面積或體積）3 .幾何概型的兩個特點幾何概型有兩個特點：一是無限性；二是等可能性.4 .幾何概型與古典概型的區(qū)別古典概型與幾何概型中基本事件發(fā)生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限個，而幾何概型則是無限個.典例剖析題型一與長度有關(guān)的幾何概型例1 （2014高考湖南卷）在區(qū)間 2, 3上隨機選取一個數(shù) X,則XW1的概率為3答案35解

2、析 在區(qū)間 2, 3上隨機選取一個數(shù) X,則XW1,即一2WXW1的概率為P = 1.5變式訓(xùn)練（2015山東文）在區(qū)間0,2上隨機地取一個數(shù) x,則事彳 “一 1<log2ix+2 i< 1”發(fā)生的概率為.3答案3411113解析 由一1wiog2g+2 戶 1,得2WX+2W2,0<x<2.3-0由幾何概型的概率計算公式得所求概率P = =32-0 4解題要點基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率.題型二與面積有關(guān)的幾何概型ABCD 中，其中 AB= 2,例2 (2014高考遼寧卷)若將一個質(zhì)點

3、隨機投入如圖所示的長方形BC=1,則質(zhì)點落在以 AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是答案-4解析 設(shè)質(zhì)點落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A,則P(A) =1陰影面積 2長方形面積1X2工4.變式訓(xùn)練(2015福建文)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，點B的坐標(biāo)為(1,0),且點C+ 1, x> 0,與點D在函數(shù)f(x)=£ 1的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取2計 1，x<°自陰影部分的概率等于答案43132 1解析 由圖形知 C(1,2), D(2,2), S 四邊形 abcd=6, S 陰=2X 3X 1 =2. p=6=彳.解題要點 求解與面積有關(guān)的幾

4、何概型的注意點：求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積以求面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.題型三與體積有關(guān)的幾何概型例3 在棱長為2的正方體 ABCD-A1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機取一點P,則點P到點。的距離大于1的概率為 .答案 1工12解析 點P到點O的距離大于1的點位于以O(shè)為球心，以1為半徑的半球外.記“點 P到23-Bxfx 13一23TT點O的距離大于1”為事件A,則P(A) =23=1-12.變式訓(xùn)練有一個底面圓的半徑為 1、高為2的圓柱，點O

5、為這個圓柱底面圓的圓心， 在這個圓柱內(nèi)隨機取一點 P,則點P到點。的距離大于1的概率為 .,2答案23解析 先求我P到點。的距離小于或等于 1的概率，圓柱的體積 V圓柱=TtX 12X2=2u,以。為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球=1X4 7tx 13=2兀則點P到點O的距離2 332小于或等于1的概率為|- = 1,故點P到點O的距離大于1的概率為11 = 2.27t 33 3解題要點對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積 （總空間）以及事件的體積（事件空間），對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求.當(dāng)堂練習(xí)1. (2015陜西文)設(shè)復(fù)數(shù)z= (x 1) + yi

6、(x, yCR),若|z|w 1,則y>x的概率為 答案 解析 由|z|w 1可得（x1）2+y2w 1,表示以（1,0）為圓心，半徑為1的圓及其內(nèi)部，滿足 y>x的部分為如圖陰影所示，由幾何概型概率公式可得所求概率為:P=47tx 12-1x 12TtX 12了142兀11一42 7ty=x2. 一只蜜蜂在一個棱長為 3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于 1,稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為 答案127解析由已知條件可知，蜜蜂只能在一個棱長為 1的小正方體內(nèi)飛行，結(jié)合幾何概型可得蜜3蜂“安全飛行”的概率為P=1a=32 73.

7、在區(qū)間 V 于上隨機取一個x, sin x的值介于一3與1之間的概率為 . 222 2答案1得一薩x<6.所求概率為13.3解析 由一1vsinxv1, xC22'4.在2,3上隨機取一個數(shù)x,則(x+ 1)(x 3)w 0的概率為答案45解析 由(x+1)(x3)W0,得iwxw 3.由幾何概型得所求概率為之55.利用計算機產(chǎn)生。1之間的均勻隨機數(shù) a,則事件“a1>0”發(fā)生的概率為 ,2答案23解析1由3a1>0得a>3，由幾何概型知323.一、填空題課后作業(yè)1.在長為10cm的線段AB上任取一點P,并以線段AP為邊作正方形，這個正方形的面積介于25cm2與

8、49cm2之間的概率為 答案15解析可以判斷屬于幾何概型.記正方形的面積介于 25cm2與49cm2之間為事件A,那么正方形的邊長為5,7內(nèi)，則事件A構(gòu)成的區(qū)域長度是7 5= 2(cm),全部試驗結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域21長度是 10cm,則 P(A)=-2-=1. 10 52.在區(qū)間(10,20內(nèi)的所有實數(shù)中，隨機取一個實數(shù)a,則這個實數(shù)a<13的概率是答案旦10解析 這是一個與長度有關(guān)的幾何概型.所求的概率 p=H 13I T(10) 20啊區(qū)I日長度103.在長為12cm的線段AB上任取一點C,現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別等于線段 AC, CB的長, 則該矩形面積小于 32cm2的概率為.,2答

9、案23解析由題意如圖44/4.、AqC2B知點C在C1C2線段上時分成兩條線段圍成的矩形面積小于32cm2,P=-8=.12 34.如圖，一個矩形的長為 5,寬為2,在矩形內(nèi)隨機的撒 300顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆數(shù)為138顆，則我們可以估計出陰影部分的面積約為 .答案235解析據(jù)題意得衿=_S竺=138? s陰影=23.S巨形 2X5 30055.假設(shè) ABC為圓的內(nèi)接正三角形，向該圓內(nèi)投一點,答案浮4兀則點落在 ABC內(nèi)的概率為解析 設(shè)圓O的半徑為R, “所投點落在 ABC內(nèi)”-3AB2 4 為事件A,則P(A) = tR13.3R2TlR23 .346. 一只螞蟻在一直角邊長為1c

10、m的等腰直角三角形ABC(/B=90°)的邊上爬行，則螞蟻距A點不超過1cm的概率為答案 2 2解析 如圖，E為斜邊AC上的點，且AE = 1cm,則螞蟻應(yīng)在線段 AE及2邊AB上爬行，所求概率 P =產(chǎn)=2值.2+ ,27. (2015湖北文)在區(qū)間0,1上隨機取兩個數(shù) x, y,記p1為事件“ x +答案解析1 一的概率，P2為事件 xy<2的概率，則1P1<2<P2在直角坐標(biāo)系中，依次作出不等式x x + yw3，xyw的可行域如圖所示:0<y<1,22GftAyE“日石金傘 ABOS曲邊多邊形OEGFC 18A OEC1依題,國， P1 = &q

11、uot;, P2 = T, 而彳, 所以 P1<7<P2.S四邊形OCDES河邊形OCDE2 S河邊形OCDE28.在區(qū)間20,80內(nèi)任取一個實數(shù) m,則實數(shù) m落在區(qū)間50,75內(nèi)的概率為解析選擇區(qū)間長度度量，則所求概率為 方喘.5e9.(2013湖北卷)在區(qū)間2,4上隨機地取一個數(shù) x,若x滿足|x|wm的概率為4,則m=答案35解析由圖知要使|x|w m的概率為6，易得m = 3.10 . (2014福建文)如圖所示，在邊長為 1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到 陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為 .答案 0.18解析 幾何概型與隨機模擬實驗的關(guān)系.由題意知，

12、這是個幾何概型問題，器=花5 = 08.,S正=1, ，S陰=0.18.11 .取一個邊長為2a的正方形及其內(nèi)切圓如圖，隨機向正方形內(nèi)丟一粒豆子，豆子落入圓 內(nèi)的概率為.答案-4Q2解析 記“豆子落入圓內(nèi)”為事件 A,則P(A)=m=f。二為=理=3.解正萬形面積4a 4二、解答題12 .已知關(guān)于x的一元二次方程 x2-2(a-2)x-b2+16=0.(1)若a, b是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有兩正根的概率；(2)若a 2,6 , b C 0,4,求方程沒有實根的概率.解析(1)易知基本事件(a, b)共有36個，方程有兩正根(借助根與系數(shù)的關(guān)系)等價于a 2>0,16-b2&

13、gt;0, A>0,即 a>2, - 4<b<4, (a-2)2+b2> 16,設(shè)“方程有兩個正根”為事件 A,則事件A包含的基本事件為(6,1), (6,2), (6,3), (5,3)共44 136 9個，故所求的概率為P(A)= =".(2)試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域為(a, b)|2<a<6,0<b<4, a, bCN ,其面積為16.設(shè)“方程無實根”為事件B,則構(gòu)成事件B的區(qū)域為(a, b)|2waw6,0w bW4,b2<16,其面積為 1x ttX 42= 4 兀.故所求的概率為p(b)=46= 4.13.已知集合 A=-2, 2, B=-1, 1,設(shè) M = (x, y)|xC A, yCB,在集合