第4章平面向量數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第4節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教學(xué)案含解析理20190627333

1、天幕第四節(jié) 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入考綱彳真1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2. 了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及 其幾何意義.3.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解兩個具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義.掃除盲點(diǎn)知識全通關(guān)1 .復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如 a+bi( a, be R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中 a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b叫做復(fù)數(shù)z的虛部(i為虛數(shù)單位).(3)復(fù)數(shù)相等:(4)共軻復(fù)數(shù):(2)分類:滿足條件(a, b為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a+bi為實(shí)數(shù)？ b=0a+bi為虛數(shù)？ bwoa+ bi為純虛數(shù)？ a= 0且bwoa+ bi = c+ di ? a= c, b=d(a, b, c, d

2、 e R).a+ bi 與 c+di 共軻？ a= c, b= d(a, b, c, de R).復(fù)數(shù)的模：向量OZ勺模叫彳復(fù)數(shù)z=a+bi的模，記彳乍J zJ 或_a土切_，即| z| = | a+bi|a + b(a, b R).2 .復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù) z = a +bi一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a ,b)對應(yīng)平面向量OZ= (a, b).第-12 -頁共8頁天幕公眾號“品數(shù)學(xué)”，一個提供數(shù)學(xué)解題研究，并且提供資料下載的公眾號!3 .復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)運(yùn)算法則：設(shè) zi=a+bi , Z2=c+di , a, b, c, dCR /工上 不入61t土棗 主 辦Hb 土 曲i- - +1”源漢

3、回/ 藥卜7*成 小毋_如圖給出的平行四(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行.一 二 二 一 二 二邊形OZZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即OZ= OZ+ OZ, ZiZ2=OZ- OZ.常用結(jié)論(1 土i) 2=±2i, *=i,1 i1 i=i.1 + i2.3.b+ ai = i( a+ bi).i 4n= 1, i 4n+1=i , i 4n+2=- 1, i 4n+3=_ i( nCN*) ； i 4n+i 4n+1+ i 4n+2+i 4n+3= 0(n N*).4. z z = | z| 2=| z |2, | Z1 Z2| =|

4、 z“-| Z2|,z1=T-z7，| zn| = |z| n.z2| Z2|基礎(chǔ)自測1 .（思考辨析）判斷下列結(jié)論的正誤.（正確的打“，”，錯誤的打“X”）（1）復(fù)數(shù) z=a+bi（ a, bCR）中，虛部為 bi.（）（2）復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.（）（3）實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).（）（4）復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的模.（）答案(1) X (2) X (3) X(4) V2 .（教材改編）如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軻復(fù)數(shù)的點(diǎn)D. D是（）A. AC.B 共軻復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于

5、實(shí)軸對稱.3 .（教材改編）設(shè)mC R,復(fù)數(shù)z=m21 + （m+ 1）i表示純虛數(shù)，則 m的值為（）A. 1B. 1C. ± 1D. 02m-1 = 0A 由題意得，解得mi= 1,故選A.1 wo1 + 2i4.復(fù)數(shù)-=（）2 iA. iC. iB. 1 + iD. 1 -i1 + 2i 1+2i 2 + i 5iA 2-i =2i2Ti= "5 =i.5.（教材改編）設(shè) x, yC R,若（x+y） + （y 1）i =（2x+3y） +（2y+1）i ,則復(fù)數(shù) z=x+yi在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限x+y=2x+3y,

6、x=4,D 由題意知解得y1 = 2y+1,y=2.則復(fù)數(shù)z = 4-2i在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選 D.課堂題型全突破考點(diǎn)全面方法簡潔|題型1|復(fù)數(shù)的有關(guān)概念一一 八 I、r1 一 1 一 一1. （2018 全國卷 I ）設(shè) z=匚斤 +2i,則 |z|=（）A. 0 B. 1C. 1Da/221 _ i1 _ icrC z=+2i = :+ 2i =i，所以 |z| =1.2 + i1 + i 1 - i|2. （2018 浙江高考）復(fù)數(shù) J（i為虛數(shù)單位）的共軻復(fù)數(shù)是（）1 iA. 1+iB. 1 -iC. 一 1 + iD. 1 一 i2 2 1+iB E =1-iiTi=

7、 1 + i '2 一.所以復(fù)數(shù)：的共軻復(fù)數(shù)為1 i ,故選B.1 - i、，、，. a i 一、.一一3. （2017 天津局考）已知aC R, i為虛數(shù)單位，若2-為實(shí)數(shù)，則a的值為a 一 ia 一 i2 一 i-2 . a' R 2+i = 2 + i2i2a1a+2i52a 15a+2 ，一i為實(shí)數(shù),5a+2-5-=0, a=- 2.規(guī)律方法解決復(fù)數(shù)概念問題的策略1復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)的相等、復(fù)數(shù)的模，共軻復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān),所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a+bi a, be R的形式，再根據(jù)題意列出實(shí)部、虛部滿足的方程組

8、即可.2求復(fù)數(shù)模的常規(guī)思路是利用復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算先求出復(fù)數(shù)z,然后利用復(fù)數(shù)模的定義求解.|題型2|復(fù)數(shù)的運(yùn)算?考法1復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算【例 1】(1)(2018 全國卷出)(1 + i)(2 i)=()A. 3 iB3+iC 3-iD 3+i(2)(2016 全國卷I )設(shè)(1 +2i)( a+i)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，則a=()A.- 3B.-2C. 2D.3若 a為實(shí)數(shù)，且(2 +ai)( a2i) = 4i ,則 a=()A.- 1B.0C. 1D.2(1)D (2)A (3) B (1)(1 +i)(2 - i) =2-i +2i -i2=3+ i.故選 D.(2)(1 +2i)(

9、 a+i) =a2 + (1+2a)i ,由題意知 a-2=1 +2a,解得 a=- 3,故選 A.(3)因?yàn)?2 +ai)( a-2i) = 4i ,所以 4a+ (a2 4)i = 4i.4a= 0,所以2解得a=0.故選B.a -4=_ 4.?考法2復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算【例2】（2018 天津高考）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)6+ 7i1+ 2i（2）（2018 江蘇高考）若復(fù)數(shù)z滿足iz=1 + 2i ,其中i是虛數(shù)單位，則 z的實(shí)部為(1)4i(2) 2(1)6+7i1 + 2i6+7i1 + 2i1 2i1-2i6+14+7i12i =4 i.1+2i 1 + 2i -i（2） z = ：=：=

10、2 iii i故z的實(shí)部為2.?考法3復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算1 z【例3】（1）（2019 太原模擬）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足下 =i,則z的共軻復(fù)數(shù)為（）A. i B . - iC. 2i D. - 2iz(2)(2016 全國卷出)若 z=4+3i,則百 =()A. 1B. 14 3.C. i5 54D.53.-i 5(3)若復(fù)數(shù)z滿足2z+ z =3 2i ,其中i為虛數(shù)單位，則z等于()A. 1 +2iB. 1 -2iC. 1 + 2iD. 1 2i_,1z g(1)A (2)D (3)B (1)由 1 = i 得 1z=i+zi.rr . .1.,1 i即(1 + i) z = 1 i ,則 z= 1

11、+ . = - i ,因此z =i ,故選A.(2)z=4+3i, T = 4-3i , |z|=/42 + 32 = 5,z 4-3i 4 3. i|z|55 5 設(shè) z= a+ bi( a, b R),則 z = a - bi ,所以 2( a+ bi) +( a bi) =3-2i ,整理得 3a3a=3,+ bi =3-2i ,所以b=-2,解得a= 1,b=- 2,所以z=1-2i ,故選B.規(guī)律方法復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的常見類型及解題策略1復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.2復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)

12、鍵是分子分母同乘以分母的共軻復(fù)數(shù)，解題時要注意把i的哥寫成最簡形式.3復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，一般化為a+bi a,be r的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.跟蹤繆習(xí)(1)(2019 合肥模擬)已知i為虛數(shù)單位，則2十:.3 4=()2 iA. 5B. 5i-7 12C-一 7 12.D- -5+Ti(2)(2019 惠州模擬)已知復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù)為z ,若z (1 i) =2i(i為虛數(shù)單位)，則 z=()A. i B(2019 南昌模擬C. 一 i 一 1 D. 一 i)設(shè)z的共軻復(fù)數(shù)是z ,若z+ z =2, z2= 2i ,則z =()1 1.A. i 2 2

13、1 1B.2+ 2iC. 1+iD. 1 -i(1)A (2)C (3) D42+i 3-4i 10 5i 的-(1)法一：-=5,故選 A.2 i2 i42+i3-4i法二：2i-2+i 2 3-4i2+i 2 i3+4i 3 4i5-5,故選 A.(2)由已知可得z2i2i 1+ i1-i 1-i 1 + i=1 + i ,則 z = 1 i ,故選 C.(3)對四個選項逐一3證可知，當(dāng) z=1 i時，符合題意，故選 D.I題型3|復(fù)數(shù)的幾何意義【例4】(1)(20181北樂局考)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù) 17的共軻復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)(2019 鄭州模擬

14、)若復(fù)數(shù)(1i)( a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. ( 8, 1)B.(8, 1)D.C. (1 , +8)(1)D (2)B (1)11-i1-i1 + iiTi士> =,所以一的共軻復(fù)數(shù)為，一 22 21 i2 2i ,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為12'1,、2 ,位于第四象限，故選 D.(2)復(fù)數(shù)(1 - i)( a+i) =a+1 + (1 a)i ,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)(a+1,1 -a)在第二象a+ 1 v 0 , 限，故解得a<- 1,故選B.1-a>0,規(guī)律方法與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法第一步，進(jìn)行簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將

15、復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；第二步，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a+bi與復(fù)平面上的點(diǎn)a, b 一一對應(yīng).跟蹤練習(xí)(1)(2019 廣州模擬)設(shè)z = 1+i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)：+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限 5i (2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)2=不后所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱的點(diǎn)為A則A對應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A. 1 +2iB. 1 -2iC. 2+iD. 2+i222221 i(1)A (2)C 因?yàn)?Z= 1 + i,所以z+z=E +(i+i)_1-+ (2017 全國卷I )下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A. i(1 +i)

16、 2B. i 2(1 -i)C. (1 +i) 2D. i(1 +i)C A項，i(1 +i) 2=i(1 +2i +i 2) =i X2i = 2,不是純虛數(shù).B項，i2(1 i) =(1 i) =1+i ,不是純虛數(shù).C項，(1+i) 2=1+2i +i 2=2i ,是純虛數(shù).D項，i(1 + i) = i + i 2= 1 + i ,不是純虛數(shù).故選C. +o 21 i2i +i (2017 全國卷出)復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=i( -2+i)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限C z=i( 2+i) =12i , 復(fù)數(shù)z= - 1-2i所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)為Z( 1,-2),位于第三象限.故選C. (2016 全國卷 I )設(shè)(1 +i) x= 1 + yi ,其中 x, y 是實(shí)數(shù)，則 | x + yi| =()A. 1 B. 2C. 3D. 2B /(1 + i) x= 1 +yi , 1, x+ xi =1 +yi.=2+ 2i =1 + i ,所以該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,1),位于第一象限