山東省高考數(shù)學第二輪復習專題三三角函數(shù)及解三角形第2講三角恒等變換及解三角形理

1、以J V C T I 1M O r A X M J V C X J K .4 O X 1.1 X C真題試做1. （2012 重慶高考，理5）設tan a , tan 是方程3x+2 = 0的兩根，則tan（。 + ）的值為（）.A. -3 B. - 1 C, 1 D. 3nn 12. （2012 山東高考，理 7）若丁，可_|，sin 2 =毛一，則 sin =（）.3. （2012 天津高考，理6）在月6。中，內(nèi)角4, B, C所對的邊分別是a, b, c.已知86 = 5, C=2B,則 cos C=（）.77724A- 25 B. -25 C. 25 D.加4. (2012 湖北高考，

2、理11)設的內(nèi)角4 B,。所對的邊分別為a, b, c若(a+6 。)(a+ 6+ c) abf 則角 C=.5. (2012 課標全國高考，理17)已知a, b,。分別為三個內(nèi)角兒B,。的對邊， acos C+4asin C b-c=Q.求力；(2)若a=2, 4%的面積為，5,求6, c.考向分析本部分主要考查三角函數(shù)的基本公式，三角恒等變形及解三角形等基本知識.近幾年高 考題目中每年有12個小題，一個大題，解答題以中低檔題為主，很多情況下與平而向量綜 合考查，有時也與不等式、函數(shù)最值結(jié)合在一起，但難度不大，而三角函數(shù)與解三角形相結(jié) 合，更是考向的主要趨勢.三角恒等變換是高考的熱點內(nèi)容，主

3、要考查利用各種三角函數(shù)進 行求值與化簡，其中降幕公式、輔助角公式是考查的重點，切化弦、角的變換是?？嫉娜?變換思想.正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：邊和角 的計算；三角形形狀的判斷：面積的計算：有關(guān)的范圍問題.由于此內(nèi)容應用性較強， 與實際問題結(jié)合起來命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可小視.J , 知,耍例析圖延麴囪什一-竹1到一 以方注里神更底命是*龍口熱點例析熱點一三角恒等變換及求值【例1】(2012 山東淄博一模，17)已知函數(shù)f(x) =2cos；一，sin *(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域；若為第二象限角，且求i + cWn2渡值規(guī)律方法 明確

4、“待求和己知三角函數(shù)間的差異是解決三角函數(shù)化簡、求值、證明問 題的關(guān)鍵.三角恒等變換的常用策略有：(1)常值代換：特別是“1”的代換，l = sin二+coT=tan 450等.(2)項的分拆與角的配湊：a aa + 二倍角只是個相對概念，如是大的二倍角，a + 是的二倍角等：:=(0-修-4 = (- ) + 等；熟悉公式的特點，正用或逆用都要靈活，特別對以下幾種變形更要牢記并會靈活運用: lsin 2 o =sin- +cos o 2sin acos o = (sin a cos a)”, cos o =-等.Zsm a(3)降耗與升基：正用二倍角公式升嘉，逆用二倍角公式降將.(4)角的合

5、成及三角函數(shù).名的統(tǒng)一：asin a+Aos a 才+ 6，sin( a +變式訓練1 (2012 山東濟寧模擬，17)已知函數(shù)f(x)=*sin 3*-COS 3才(才 R, 3 0)的最小正周期為6n.(1)求彳3一 )的值；冗】(吟 106.設 叫 -0 ,430+7=一.，f(3 + 2n)=不，求 cos(a + )的值.熱點二 三角函數(shù)、三角形與向量等知識的交會【例2】(2012 山東煙臺適用性測試一，理17)在銳角三角形域中，a, b,。分別是角 月，B,。的對邊，m=(26-c, cos。，= (a, cos 月)，且 0A.(1)求角月的大小：(2)求函數(shù) y=2sin5+c

6、os(2的值域.規(guī)律方法 以解三角形為命題形式考查三角函數(shù)是“眾望所歸”:正、余弦定理的應用, 難度適中，運算量適度，方向明確(化角或化邊).(1)利用正弦定理將角化為邊時，實際上是 把角的正弦替換為所對邊與外接圓直徑的比值.(2)求角的大小一定要有兩個條件：是角的 范圍：是角的某一三角函數(shù)值.用三角函數(shù)值判斷角的大小時，一定要注意角的范圍及三 角函數(shù)的單調(diào)性的應用.(3)三角形的內(nèi)角和為丸，這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性.在 三角形中，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三 角形=三內(nèi)角都是銳角=三內(nèi)角的余弦值均為正值Q任意兩角的和都是鈍角=任意兩邊的平 方

7、和大于第三邊的平方.變式訓練2 (2012 湖北武漢4月調(diào)研，18)在嫉中，角從5,。的對邊分別為a, b.c,已知方=60。，cos(S+=T1.(1)求cos。的值：(2)若a=5,求月國的面積.熱點三正、余弦定理的實際應用【例3】某城市.有一條公路，自西向東經(jīng)過月點到市中心0點后轉(zhuǎn)向東北方向函,現(xiàn)要修 建一條鐵路2, 在7上設一站4在3上設一站b鐵路在部分為直線段.現(xiàn)要求市中 心。與四的距離為10 km,問把月，6分別設在公路上離市中心。多遠處才能使乩5之間的 距離最短？并求最短距離.(結(jié)果保留根號)規(guī)律方法(2)在解三角形時，要根據(jù)具體的已知條件合理選擇解法，同時，不可將正弦定理與余弦

8、 定理割裂開來，有時需綜合運用.(3)在解決與三角形有關(guān)的實際問題時，首先要明確題意，正確畫出平面圖形或空間圖形, 然后根據(jù)條件和圖形特點將問題歸納到三角形中解決.要明確先用哪個公式或定理，先求哪 些量，確定解三角形的方法.在演算過程中，要算法簡練、算式工整、計算正確，還要注意 近似計算的要求.(4)在畫圖和識圖過程中要準確理解題目中所涉及的幾種角，如仰角、俯角、方位角，以 防出錯.(5)有些時候也必須注意到三角形的特殊性，如直角三角形、等腰三角形、銳角三角形等.變式訓練3如圖，一船在海上自西向東航行，在月處測得某島必的方位角為北偏東a, 前進m km后在6處測得該島的方位角為北偏東8,已知該

9、島周圍a km范圍內(nèi)(包括邊界)有 暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行.當與萬滿足條件 時，該船沒有觸礁危險.思想滲透化歸轉(zhuǎn)化思想一一解答三角恒等變換問題求解恒等變換問題的思路：一角二名三結(jié)構(gòu)，即用化歸轉(zhuǎn)化的思想“去異求同”的過程，具體分析如下:(1)變角：首先觀察角與角之間的關(guān)系，注意角的一些常用變換形式，角的變換是三角函 數(shù)變換的核心；(2)變名：其次看函數(shù)名稱之間的關(guān)系，通?！扒谢摇?，誘導公式的運用；(3)結(jié)構(gòu)：再次觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點，降事與升基，巧用“1”的代換等.【典型例題】(2012 福建高考，文20)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子 的值都等干同一個常尊：(Dsin134-cos

10、-170sin130cos17:(2)sin:150+cos=150sin150cos15；sinll4-cos:12sin18cos12:sin(18 )+cos 13 a -74-tcos 2 a =7.48 sin( 18 )cos 48 ：sin1 -25 )+cos，55c sin( 25 )cos 550 .(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.解法一：(1)選擇式，計算如下：sin150 4-cos15 sin 15 cos 15“ =1rsin 30J =1-7=7.24 43(2)三角恒等式

11、為 sin o +cos(30u ) sin a cos (30 a) =7證明如下：sin: o +cos*(30 o) sin cos(30J a)= sin o + (cos 30 cos 1+sin 30 sin i”-sin o (cos 30 cos +sin 300 sin a)sirf a =-sin a +-1 . -7sin 1cos a - 乙“cos a +Tsin a 4.3cos- a =7. 4解法二：(1)同解法一.3 三角恒等式為 sin a +cos(30 a) sin a cos (30 i) =.證日如下：sina+cos(30 o) sin cos(3

12、0 a)1 -cos 2 Q14-cos(60J 2 a)sin o (cos 30 cos +sin 30 sin 。)51 1=F2C0S1 1=5-5COS1=1-rcos42(i +(cos 60 cos 2 o 4-sin 60 sin2)一sin cos - sin4 44 a乙 乙乙乙1 12 a 4-t+tcos 2 a +-sin 2 Q2 4442.在月6。中，如果00,，”0）在某一個周期內(nèi)的圖象的最高點和最低點的坐標分別為（*，2）,（瑞，一2）.（1）求月和的值；（2）已知 a（0, y ）,且 sin a =|,求 （）的值.參考答案命題調(diào)研明晰考向真題試做1. A

13、解析：因為tan a , tan 是方程步3*+2 = 0的兩根,.八 一 /1八、 tan 儀+tan B片以 tan o +tan =3, tan o tan =2, 而 tan(a + )=;-1 -tan a tan P112. D解析：由,看得2。彳,丸又 sin 2 0 故 cos 2。= OOM . /I cos 2 o 3故 sin r -5=73. A解析：在血中，由正弦定理:b _ csin B sin C.sin Co，sin 6=Z.sin 25 84 ; 二=二，, cos sin d 55,7Acos C=cos 2B= 2cos B 1 =7.4 .三廠 解析：二

14、由（a+6c） （a+6+c） =&6,整理可得, + S =一 Oa If- c _ ab_ 1.2 丸2b-=/=一 -a丁.5 .解：（1）由 acos C+y3asin 0b-c=0 及正弦定理得sin Acos C+-/3sin Asin 0-sin 5sin C=Q.因為 B= n AC所以/sin Asin Ccos Asin Csin C=Q.由于sin存0,所以sinab, /. cos C又0月 n ,故月=一.血的面積S=、csin 4=婿，故6o=4.而 立 = 2/ +o-26ccos ，故 U +(?=8.解得6=。=2.精要例析聚焦熱點熱點例析【例 1】解:(1)

15、 (*) =l + cos af-/3sin x=1 + 2c o sQ+y),函數(shù)f(x)的最小正周期為2n.又丁 -1 Wcos(x+w)wi,故函數(shù)f(x)的值域為- 1,3.MU/. l + 2cos o =i 即 cos Jcos 2 a1：3,cos2 a -sin- a 1 + cos 2 o sin 2 a 2coss o 2sin cos o_ (cos +sin a) (cos a-sin a) 2cos o (cos o sin a)cos a+sin a2cos a 1 2/2331-22又為第二象限角，且cos。=一 Ocos o 4-sin a原式=2cos，【變式

16、訓練1】解,(1)(X)=班sin gx-cos 3x=2(坐sin 3.l：cos gx)=2sin( sx-函數(shù)f(x)的最小正周期為6n, 2 n1/. T=6 n ,即 6 = -33f(x) =2sin(gx，)=2sin|6/33X2n-43+會=2s唱6 +)一版c.10= 2sin a = 910 .5Asin 1=一、X Of(3 +2 丸)=2sir!(3 +2 n ) 一=2sin( +k)=2cos=|, eCOS.COS12 3 5 4 16，cos( a + ) =cos cos /? sin o sin=77X3-X-= 13 13 5 65【例 2】解：(1)由

17、皿7刀，得(26c)cos A-acos C=09A (2sin 5sin 6)cos Asin Acos 6?=0,2sin Bcos A=sin Ceos /H-sin Acos C = sin(H+。=sin( n =sin B, 在銳角三角形成中，sin 50, Acos 月=:，故月=g.(2)在銳角三角形月國中，力=?, OJT； y= 2si n:5+ cos- 2b)31= 1+Jz-sin 25tcos 2B乙乙= l + si n(25-T)sin 2B=1 -cos 25+cos 乙.三8萬,.12JIJI 5 H25-666吟 35nsin( a )解析：ZJZ45=9

18、0 - Q , MBC=W 一 = N.M46+N4的=90 一 a + NA姐,所以a B.由題可知，在皿中，根據(jù)正弦定理得市BM(90 a) sin( a 9解得BM=zz?cos asin( a - B).要使船沒有觸礁危險，需要的in(90 )=mcos a cos 6sin( a )n.所以a滿足227COS cos nsin( u 月)時船沒有觸礁危險. 創(chuàng)新模擬預測演練1. B 解析：由，5cos -vsin x=2近77cos xsin x/ji=2(sirrycos -v-cos-sin x =2sin(y-,可得si35,5. C 解析：由題意OVHVji, 050,則月，6兩角為銳角, 又tan(H+E=；an+：皿則4+6為銳角，則角。為鈍角，故選C.1 -tan Htan B6. B解析:已知傾斜角為“的直線】與直線才一2什2=0平行，則 tan a =k tan 2 =乙2tan a 1 41 -tan3 3*45. A 解析：因為 bcos C+ccos B=3acos 萬, 所以 sin Bcos C+cos 5sin C=3sin Acos B, 即 sin(6+。=3sin Acos B,即 cos 5=.J156 .解析：sin 2(x=2X= sin(2x-7= -cos