山東省泰安市泰安實驗中學(xué)2019_2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

1、山東省泰安市泰安實驗中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試(含解析)第I卷(選擇題)一、單選題.(共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求)1.已知向量4 =(2,4), = (-1,1),則2G/；= <)A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)【答案】A【解析】因為2M = (4,8),所以2K=(4,8) (一1,1)=(5, 7),故選A.考點：本小題主要考查平而向量的基本運(yùn)算，屬容易題.2 ,若復(fù)數(shù)&對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(2,3),且-Z2=l + i,則復(fù)數(shù)Z?的虛部為7；案】B【解析】.5 .- -

2、+ !故復(fù)數(shù)Z?的虛 AI1 + i(l + i)(2 + 3i)l + 5i依題意，&=2-3i,故“廣石=(2 - 3i)(2 + 3i)=k部為,故選B.133設(shè)7,是兩條不同的直線，尸是兩個不同的平而，下列命題中正確的是()A.若?/c,加月，則。夕B.若a, 則_LaC.若?_La, 7，則，aD.若C尸，m_La，則/4【答案】C【解析】【分析】在A中，。與耳相交或平行;在B中，。或 u a：在c中，由線面垂直的判定定理得nla； 在D中，與夕平行或"? u/7.詳解】設(shè)機(jī)，是兩條不同的直線，d力是兩個不同的平面，貝IJ：在A中，若機(jī)/a, "/,則夕與

3、夕相交或平行，故A錯誤；在B中，若z_La，團(tuán)_1_，則/?；?ucc,故B錯誤：在C中，若陽_Le，"/，則由線面垂直的判定定理得_La,故C正確；在D中，若_1)，?_La,則，與月平行或 zu/7,故D錯誤.故選C.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、而而間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識, 是中檔題.4 .設(shè)x,yeR,向量4=(尤1)&=(1,，)忑=(2,-4)且不_1_乙6,則卜+ B卜()A.小B. 25/5C.回D. 10【答案】C【解析】試題分析：: 向量亍=(l,y),= (2,-4)且a ± c,b /c»Zr-4 = 0 =

4、>x = 2 , 1 x(-4)-2y = O=>y = -2,從而4 + 5 = (2,1) + (1-2) = (3,-1),因此忖+可=/、(一講=回,故選C.考點：L向量的模：2.向量的平行與垂直.5 .若線段/L5的長等于它在平面。內(nèi)的射影長的2倍，則居所在直線與平而a所成的角為()A. 30B. 4sC. 60D. 120【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖形找到線而角，進(jìn)而在直角三角形中求解即可.【詳解】如圖，月UL * 超C a=B,則6。是四在平而儀內(nèi)的射影，貝lj 6aL四，所以乙物 2= 60° ,它是四與平面a所成的角.故選C.【點睛】本題主要考查了線

5、而角的求解,屬于基礎(chǔ)題.6.如圖，0是ABC的重心，AB = a , AC = bD是邊BC上一點，且RB=3比，則（C.B. OD = a-12I I、一D. OD = a + b1212【答案】A【解析】【分析】由0為AABC的重心,則點E為6。的中點，且布=2灰衣=：（而+/），又由是5C的四等分點，再利用平面向量的線性運(yùn)算可得則-a + b1212故得解【詳解】如圖，延長月。交左于瓦由己知。為血的重心, 則點£為6。的中點，且而 =2函荏=；（荏+ 硝 由礪=3。6,得：。是6。的四等分點,則歷=無+而=;立+;?=3;(而+硝+畫一畫1 - 5K=4Hb ,1212故選A.

6、【點睛】本題考查了平面向量的基本定理及重心的特征，屬中檔題. p I 7 .在網(wǎng)7中，sin A=-,則月60的形狀為()cos B + cos CA.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形【答案】A【解析】【分析】等式變形為 sin Acos B +sin Acos C = sinB+sinC ,再根據(jù) sinB = sin(A + C),sinC = sin(A4-B),展開變形，判斷三角形的形狀.【詳解】由條件可知sin AssB+sin AcosC = sinB+sinC,因為8 =乃一(A+ C),所以sinB = sin(A + C) = sinAcosC+co

7、sAsinCC = 7T(A + B),所以sinC = sin(A + 8) = sinAcos5 + cosAsinB ,所以 sin A cos B+sinA cos C = sin A cos C+cos A sin C + sin A cos B+cos A sin 8，整理為：cos Asin C + cos Asin B = 0,即 cosA(sinC+sinB) = 0因為sinC+sinBwO,所以cosC = 0, Ae(0 ,180 )A=90 ,所以A6C是直角三角形.故選：A【點睛】本題考查判斷三角形的形狀，重點考查三角函數(shù)恒等變換，屬于基礎(chǔ)題型，本題的 重點是利用公

8、式sin8 = sin(A + C), sinC = sin(A + 8)變形，化簡三角函數(shù).8 .已知S,45。是球0表面上的點，S4平而血AB1BC, SA = AB = , 8C =則球。的體積等于（）V. 3nD.-64乃B. 3【解析】 【分析】 根據(jù)直線平而垂直的判定與性質(zhì)得出S3。，SAC為直角三角形，可得SC的中點。為球心, 又可求得SC = 2,求出球的半徑，即可得解.【詳解】解：S4L平而從K, ABLBC .SA±BC. AB1BC.而SAB.： BS U 而 SAB,:.SB 上 BC,.RtSBC > RSAC中月C的中點。,.OS = OA = OB

9、 = OC,4“ 4SC為球。的直徑，又可求得SC = 2,.球0的半徑R = l,體枳1/ = 7萬/?'=；4, 33故選6.【點睛】本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，空間思維能力的運(yùn)用，平面，立體問題的轉(zhuǎn)化, 巧運(yùn)用直角三角形的性質(zhì).二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2,有選錯的得。分）9.下列各式中，化簡結(jié)果為啟 的是（）A. AB-DC)-CB>> T 、B. AZ) CD+ DC c, -fcb+AcVf/M+Zw" /zn t 1fD.-BM-DA+MB【答案】ABC

10、【解析】分析】根據(jù)向量加減法的法則，分別判斷每個選項，得到正確答案.【詳解】A. (AB - DC) -CB = AB + BC + CD = AD,故 A 正確:B. AD-(CD +DC = AD-Q = AD ,故 B 正確：C.-(CD + MC)-(a44-DAf) = -(CD + m)-(DA7 + MC)= -CA-DC = -(DC + G4)= -Da = A£),故 c 正確：D. -BM-DA + MB = 2MB + ADAD 故 D 不正確.故選：ABC【點睛】本題考查向量加法和減法，屬于簡單題型.10.下列命題正確的是（）A.復(fù)數(shù)2，生的模相等，則z,及

11、是共聊復(fù)數(shù)B.卬 生都是復(fù)數(shù)，若z,+z二是虛數(shù)，則久不是比的共枕復(fù)數(shù)C.復(fù)數(shù)z是實數(shù)的充要條件是z=（是z的共胡復(fù)數(shù)）D.已知復(fù)數(shù)3=-1 + 23 z;=l-j,比=3 - 2iG.是虛數(shù)單位），它們對應(yīng)的點分別為月，5,c, o為坐標(biāo)原點，若QQ _ x&+ y6b （x，4，則*+ y= 1【答案】BC【解析】-5-【分析】A.根據(jù)共聊復(fù)數(shù)的定義，舉例判斷；B.根據(jù)4+z?是虛數(shù)，判斷兩個復(fù)數(shù)的虛部的關(guān)系，判斷 選項；C.分別判斷充分和必要條件：D.利用向量，復(fù)數(shù)，坐標(biāo)的關(guān)系，利用向量相等求得xy 的值.【詳解】A.模相等的復(fù)數(shù)不一定是共聊復(fù)數(shù)，比如：Z=l + i, Z2=-

12、l + Z,這兩個復(fù)數(shù)的 模相等，但不是共軌復(fù)數(shù)，故A不正確；B,設(shè)q=" +歷，z2=c + di ,若馬+馬是虛數(shù)，c+dwO,兩個復(fù)數(shù)的虛部不互為相反數(shù), 所以4不是J的共枕復(fù)數(shù)，故B正確:0設(shè)2 = +萬，"abi,若z = N，則Z? = 0,所以復(fù)數(shù)z是實數(shù)，若z是實數(shù)，則 =0 則z = 7，所以C正確：D.由條件可知OC =(3,-2), 04 = (-1,2),=,若辰* =(筋/£面，則(3, 2) = (x+y, 2xy),t+），= 32x-y = -2，解得:9所以x+y = 5,故D不正確.故選：BC【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的定義和相關(guān)概念

13、，屬于基礎(chǔ)題型，本題的關(guān)鍵是正確理解復(fù)數(shù)的有 關(guān)概念.11.如圖所示是斜二測畫法畫出的水平放置的三角形的直觀圖，D'為8 C的中點，且H Df 式軸，Bf C /軸，那么在原平面圖形域中()A.月5與月。相等B.月。的長度大于月。的長度C.月6的長度大于也?的長度D. BC長度大于"的長度【答案】AC【解析】【分析】首先根據(jù)斜二測畫法的直觀圖還原幾何圖形，根據(jù)實際圖形的長度關(guān)系判斷選項.【詳解】根據(jù)斜二測畫法的直觀圖，還原幾何圖形，首先建立平而直角坐標(biāo)系X。,'，BC/X 軸，并且8C = &C'，點。是8c的中點，并且作AO/ ）'軸，即AO

14、_L3C,且ao = 24'O， 連結(jié)A及AC,所以3c是等腰三角形，AB = AC, 的長度大于4。的長度，由圖可 知 8C = "C', AO = 2A'O'，由圖觀察，A'O'>1b'C',所以即 BCvAO.2【點睛】本題考查由直觀圖還原實際圖形，判斷長度關(guān)系，重點考查斜二測畫法的規(guī)則，屬 于基礎(chǔ)題型.12.如圖，正方體A88-45G。的棱長為1,則下列四個命題正確的是（）A直線3c與平而ASA所成的角等于木B.點。到面A8GA的距離為立2c.兩條異而直線。和BC】所成的角為:D.三棱柱A4% - BB&#

15、163;外接球半徑為立2【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義及求法，點而距的定義，異面直線所成角的定義及求法，三棱柱的外接球 的半徑求法，即可判斷各選項的真假.【詳解】正方體ABCO AMGR的棱長為1,對于A,直線3C與平而4BGR所成的角為NC8G=2,故選項A正確；對于B,因為與。_1_面人862,點C到面ABC1的距離為8c長度的一半，即/?=走， 2故選項B正確；對于C,因為BGAA，所以異而直線0C和8G所成的角為4QC，而aA。為等邊三角形，故兩條異而直線。C和3G所成的角為：，故選項C錯誤；對于D,因為4兒4與，49兩兩垂直，所以三棱柱8片a外接球也是正方體A8cO

16、- A與GA的外接球，故=/士=三,故選項D正確. 22故選：ABD.【點睛】本題主要考查線面角的定義以及求法，點面距的定義以及求法，異面直線所成角的定義以及求法，三棱柱的外接球的半徑求法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分，將答案拍在一張圖片上進(jìn)行上傳）13,已知向量2,6的夾角為三，何=2,網(wǎng)=4,則在日方向上的投影是. J -1【解析】【分析】根據(jù)平而向量投影的定義可直接求出結(jié)果.【詳解】由已知得，1在坂方向上的投影為I1lcos? = 1.故答案為：一1.【點睛】本題考查平而向量投影的定義，掌握投影的計算公式是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題.14 .若z為復(fù)數(shù),且2|=|

17、z + 2,則iz 1的最小值是.【答案】1【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到復(fù)數(shù)Z到(-2,0)的距離與到(2,0)的距離相等，即復(fù)數(shù)Z在虛軸上.再設(shè)出 z = bi9計算|z-l|的最小值即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)z滿足上一2| =卜+ 2.所以在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z到(-2,0)的距離與到(2,0)的距離相等.即復(fù)數(shù)z在虛軸上，設(shè)z = bi, beR.|z 1| = |-1 + Z?/j = >/l + Z?2 > 1 >所以卜-1|的最小值為1.故答案為：1【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)式 形式及其幾何意義，同時考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中 檔題.15 . 一個圓柱的側(cè)面展開圖是

18、一個正方形，這個圓柱的全面枳與惻面積的比是.2兀+1 【"案】 2兀【解析】 【分析】 利用側(cè)面展開圖是正方形得到圓柱的底面半徑與高的關(guān)系后可得圓柱的表面積與側(cè)面積之 比.【詳解】設(shè)正方形的邊長為。，圓柱的底而半徑為r,則2/zt =。，r = 24所以圓柱的全面積為S/、=2/rx'二十 / ,故全面積與側(cè)面積之比為 4421+21，填27t2tt + 12兀-17-【點睛】圓柱的側(cè)而展開圖是矩形，其一邊的長為母線長，另一邊的長為底面圓的周長，利 用這個關(guān)系可以得到展開前后不同的幾何量之間的關(guān)系.16 .已知二面角“一 1一萬為60。，動點八。分別在平而 明£內(nèi)，

19、尸到£的距離為遂,。到。的距離為2/,則八。兩點之間距離的最小值為，此時直線圖與平面a所成的角為.【答案】（1）. 2/（2）. 90【解析】【分析】（1）如圖，分別作24，尸，AC LI,連結(jié)尸C, QB La, QD ±1,連結(jié)3。，則，利用勾股定理得到，并驗證最小值成立 條件：（2）由（1）可知，直接得到直線產(chǎn)。與平而a所 成的角.【詳解】（1）如圖，分別作P4_L，AC±I,連結(jié)尸C, Q8_La, QD±l,連結(jié)80, 則 NACP = NQOB = 60 ,因為。8 = 26，所以 PQ =7QB。+ PB? = J12 +282之 2#,

20、當(dāng)點。與點3重合時，取最小值，又此時尸。= 2jJ>PA成立，所以P,。兩點之間距離的最小值是2/;（2）此時點。與點4重合，此時所以尸。與平面。所成的角為90故答案為：2JJ： 90【點睛】本題考查平而與平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力，運(yùn)算能力，推理論證能力，屬于中檔題型.四、解答題.17 .已知復(fù)數(shù) z =/一37 2） + （?23? + 2） i .（I）當(dāng)實數(shù)S取什么值時，復(fù)數(shù)z是:實數(shù)：純虛數(shù)：（II）當(dāng)“7=0時，化簡一三一.z + 5 + 2i132 24【答案】（I） m=l 或 m=2：m=-5（ II） 一一二一iZ25 25【

21、解析】 【詳解】試題分析：（I）利用復(fù)數(shù)為實數(shù)、純虛數(shù)的充要條件即可得出.（II）當(dāng)樂0時，z=-2+2i, 再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出試題解析：（I）當(dāng)- 3m+2=0時，即m=l或m=2時，復(fù)數(shù)z為實數(shù).21rl2 - 3m- 2=0itf -5或iif2當(dāng) 9時，解得 2,產(chǎn)-3/2盧Q卜盧1且m卉2即樂時，復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù).乙（II ）當(dāng) m=0 時，z=-2+2i,.我 二一 8i班（3-九）_ _2 _ 24. z+5+2i =3+4i =25" % 251,考點：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義18.設(shè)H 是不共線的非零向量，且 =2=A+31.（1）4e1 3e2 = A

22、a+u h f 求 u 的值，（2）若是互相垂直的單位向量，求；;與辦的夾角也3 71【答案】(1)2 = 3, = 1 (2) 4【解析】【分析】（1）首先求溫+ 4/；=幾（4一2瓦）+ 4（&+3&），根據(jù)向量相等，建立方程求解:（2）根據(jù)公式cosab同，;求解.【詳解】（1）所+/；=%（不一2G2）+ （4+3無）=（九 + ）4+（34 2/1）園,狷-3e2 =入4 + 曲,4 + = 43/-22 = -3.二九=3, / = 1 (2)不白=（4一2瓦）（4+地）=下+石瓦- 632=-5同，傳22）:&_4眄+時=有M =(不+ 3當(dāng))=&

23、+ 6©色+ 9«2 =加cos6 =a-b -5>/2ab-T【點睛】本題考查向量相等，向量夾角，重點考查基本公式，計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.19.養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面 直徑為12 m,高為4 s.養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽.現(xiàn)有兩種方 案：一是新建的倉庫的底而直徑比原來大4水高不變）：二是高度增加4 m（底面直徑不變）.（1）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積：（2）分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積（不含底面積）：（3）哪個方案更經(jīng)濟(jì)些？【答案】（1）匕=筆£加3,匕=

24、9663；（2）$=32/皿2, 52=60.2； （3）方案二.【解析】【分析】（1）根據(jù)底面半徑和高，根據(jù)體積公式江/?,分別計算兩種方案的體積：（2）根據(jù)半徑和高求母線長，根據(jù)公式S = 7ZT/求圓錐的表面積（不含底面積）：（3）比較兩種方案的體積和表面積，得出結(jié)論.【詳解】（1）第一種方案底面直徑為12 + 4 = 16?，高為4加，此時倉庫的體積是14 256笈 3乂= 一乃 x8.x4 =nr1 33第二種方案底面直徑為12?，高為4+4 = 8，此時倉庫的體積是K = -x62x8 = = 96乃J ：-33（2）第一種方案：底面半徑是8/，高4小，則母線長/ = 用才=467

25、1，則倉庫的表面積（不含底而積）S|=/zv7 = ;rx8x4j5 = 326m2，第二種方案：底而半徑是66，高4+4 = 8加，則母線長/ = 病再 =10加，則倉庫的表面積（不含底而積）s2 =nrl = x6x10 = 60/m2 （3）由（1） （2）可知匕匕，第二種方案的體積大，可以貯藏更多的食鹽：SAS2,第二種方案的表面積（不含底面積）小，則用料少，成本低，所以選擇方案二更經(jīng) 濟(jì).【點睛】本題考查圓錐的實際應(yīng)用，重點考查圓錐的體積和表面積，計算能力，屬于基礎(chǔ)題 型.20 .如圖在四棱錐PA3C。中，底面A3CO是矩形，點E、/分別是棱PC和。的中點.（1）求證：痔|平而R4B

26、：（2）若A尸= AT>,且平面AAO_L平面A3CQ,證明AF_L平面PCD.【答案】（D見證明：（2）見證明【解析】【分析】（1）可證石尸A8,從而得到要求證的線面平行.（2）可證4£_18,再由4尸=人。及尸是棱尸。的中點可得4尸_1尸£）,從而得到AF_L 平面PCD【詳解】（1）證明：因為點E、尸分別是棱尸C和尸。的中點，所以EF/CD，又在矩形ABCD 中，AB/CD,所以 EFV/AB，又ABU面。48，即已面PA5，所以£7口|平而，43（2）證明：在矩形A8CO中，AD1CD,又平面R4£）_L平面A8CO,平面PAOfl平而AB

27、CD = AD, CQu而A6CO,所以CD_L平而PAQ,又A/u面尸AO,所以COLA/因為A4 = AO且尸是尸。的中點，所以Ab_LP£）,由及尸。u面PC。，CD u而PCD，PDcCD = D，所以Ab _L平面PCD.【點睛】線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法可利 用三角形的中位線或平行公理.線面垂直的判定可由線線垂直得到，注意線線是相交的，而 要求證的線線垂直又可以轉(zhuǎn)化為已知的線面垂直（有時它來自而而垂直）來考慮.21 .如圖，四棱錐S-ABCZ）的底而是邊長為1的正方形，SO垂直于底而A8CO, SD = .（1）求證8C_LSC：

28、（2）求平面S6C與平面A8CO所成二面角的大?。海?）設(shè)棱SA的中點為M，求異而直線DM與S3所成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2） 45°：（3） 90°.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由線面垂直證線線垂直，再根據(jù)線面垂直的判定定理，證明線ifii垂直，再證 線線垂直.（2）由（1）中線面垂直，可知所求二面角的平面角為NSCD,根據(jù)題意可求角度.（3）利用中位線將異而直線平移，則尸或其補(bǔ)角是異而直線DW與S3所成角，根據(jù) 勾股定理，即可求解.【詳解】（1） ,底而A8CO是正方形，A BCLCD,SQ_L底而A3CQ，8。匚底而488,.5。_18。，又。.8。3_平而SDC, .5。0：平面5£）。，.3。_15。.（2）由（1）知3C_LSC,又C£）_L8C, NSCQ為所求二面角的平面角，在R/ADSC中，SQ = QC = 1, .NSCD = 45。.（3）取A3中點尸，連結(jié)MP,DP ,在AA8S,由中位線定理得M尸S3 ,ZDMP或其補(bǔ)角是異面直線DM與SB所成角，：mp = -sb = , dm =.dp = ,222 Y 42所以ADM。中，有DP2= MP2 + DM、.NDMP = 90。.【點睛】本題考