S型曲線擬合-文檔資料

1、1第十章第十章曲線回歸曲線回歸2本章介紹可以直線化的曲線回歸的類型，以本章介紹可以直線化的曲線回歸的類型，以生長(zhǎng)型曲線為例說(shuō)明曲線的直線化配合，生長(zhǎng)型曲線為例說(shuō)明曲線的直線化配合，曲線回歸方程的擬合度曲線回歸方程的擬合度3第一節(jié)第一節(jié) 曲線回歸的意義曲線回歸的意義4直線回歸的局限直線回歸的局限1、兩變量之間的關(guān)系不完全是直線關(guān)系、兩變量之間的關(guān)系不完全是直線關(guān)系2、簡(jiǎn)單相關(guān)不顯著并不表示兩變量間無(wú)相關(guān)、簡(jiǎn)單相關(guān)不顯著并不表示兩變量間無(wú)相關(guān)3、兩變量間更普遍的關(guān)系是曲線關(guān)系、兩變量間更普遍的關(guān)系是曲線關(guān)系4、直線回歸僅是曲線回歸的一種特殊形式、直線回歸僅是曲線回歸的一種特殊形式5、直線回歸是曲線

2、回歸中的一部分、直線回歸是曲線回歸中的一部分5曲線配合的一般步驟：曲線配合的一般步驟：1、確定回歸關(guān)系的類型：線性、確定回歸關(guān)系的類型：線性 非線性（曲線形狀）非線性（曲線形狀）2、確定回歸關(guān)系的參數(shù)、相關(guān)指數(shù)、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤、確定回歸關(guān)系的參數(shù)、相關(guān)指數(shù)、估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤3、對(duì)所得回歸方程作顯著性檢驗(yàn)、對(duì)所得回歸方程作顯著性檢驗(yàn)曲線方程可分為兩種：曲線方程可分為兩種： 可直線化的曲線方程可直線化的曲線方程 不可直線化的曲線方程（多項(xiàng)式）不可直線化的曲線方程（多項(xiàng)式）因此，首先應(yīng)確定兩變量的曲線關(guān)系是哪一種因此，首先應(yīng)確定兩變量的曲線關(guān)系是哪一種 6第二節(jié)第二節(jié) 曲線類型及其方程曲線類型及其方程7本章僅

3、討論可以直線化的曲線方程本章僅討論可以直線化的曲線方程 函數(shù)型曲線方程函數(shù)型曲線方程（一）冪函數(shù)（一）冪函數(shù)直線化：兩邊取對(duì)數(shù)：直線化：兩邊取對(duì)數(shù)：令：令：則有：則有：對(duì)對(duì) 求求 A 和和 b， 并得并得 即可得：即可得：a、b，建立方程，建立方程（雙對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，即對(duì)（雙對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換，即對(duì) x、y 均求對(duì)數(shù)后輸入）均求對(duì)數(shù)后輸入）byaxlnlnlnyabxYAbXlnAalnXxYAbX1lnaAlnYy8（二）指數(shù)函數(shù)（二）指數(shù)函數(shù) 或或直線化：兩邊取對(duì)數(shù)：直線化：兩邊取對(duì)數(shù)：令：令： 則有則有對(duì)對(duì) 求求A并得并得即可得即可得 a、b，建立方程，建立方程（單對(duì)數(shù)變換，即對(duì)（單對(duì)數(shù)變換，即對(duì) y

4、求對(duì)數(shù)后與求對(duì)數(shù)后與 x 一起輸入）一起輸入）bxyaeb xyaelnlnyabxlnYylnAaYAbxYAbx1lnaA9（三）雙曲線函數(shù)（三）雙曲線函數(shù)令：令：則則對(duì)對(duì) x 求求 X即可得即可得 中的中的 a、b（倒數(shù)變換，即?。ǖ箶?shù)變換，即取 x 的倒數(shù)，與的倒數(shù)，與 y 一起輸入）一起輸入）此外還有一些曲線方程：此外還有一些曲線方程：下面是幾種可以轉(zhuǎn)換為直線方程的曲線函數(shù)圖形：下面是幾種可以轉(zhuǎn)換為直線方程的曲線函數(shù)圖形：byax1XxyabXyabxbxyaxe2212xye1011曲線回歸的計(jì)算器計(jì)算方法：曲線回歸的計(jì)算器計(jì)算方法：計(jì)算器將出現(xiàn)如下畫面：計(jì)算器將出現(xiàn)如下畫面：mo

5、de3Lin Log Exp1 2 3232012ln1bxbyabxyabxyaeyaxyabxybb xb x 13（四）（四）S型曲線型曲線陸生、水生動(dòng)物的種群增長(zhǎng)、微生物種群增長(zhǎng)、細(xì)陸生、水生動(dòng)物的種群增長(zhǎng)、微生物種群增長(zhǎng)、細(xì)胞的生（增）長(zhǎng)等都是這一模式胞的生（增）長(zhǎng)等都是這一模式因此，因此，S型曲線又稱為生長(zhǎng)型曲線、型曲線又稱為生長(zhǎng)型曲線、logistic曲線，曲線，其變換形式有以下幾種：其變換形式有以下幾種：1bxkyae1a bxkye1bkyax1xyabe14類似的生長(zhǎng)型曲線還有類似的生長(zhǎng)型曲線還有 Gompertz 曲線：曲線：其變換形式：其變換形式：Bertalanffy

6、 曲線：曲線：bxaeykeexpbkxyaebxyke1bxyke31kxyabe15在這些曲線方程中，無(wú)一例外的都有在這些曲線方程中，無(wú)一例外的都有3個(gè)需要計(jì)算個(gè)需要計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量：的統(tǒng)計(jì)量：k、a、bK 是當(dāng)是當(dāng) x 趨向于趨向于 +時(shí)時(shí) y 能達(dá)到的最大值，往往能達(dá)到的最大值，往往是未知的，因此也是需要進(jìn)行計(jì)算的是未知的，因此也是需要進(jìn)行計(jì)算的這是生長(zhǎng)曲線與其他可以直線化的曲線方程不同的這是生長(zhǎng)曲線與其他可以直線化的曲線方程不同的地方地方這些曲線方程中的這些曲線方程中的 x 往往是時(shí)間單位，因此一般可往往是時(shí)間單位，因此一般可用用 t 表示，而表示，而 y 往往是群體的增長(zhǎng)量，或群體增往

7、往是群體的增長(zhǎng)量，或群體增長(zhǎng)倍數(shù)，所以也可以用長(zhǎng)倍數(shù)，所以也可以用 N 表示表示我們這里僅對(duì)典型的我們這里僅對(duì)典型的 S 型曲線方程進(jìn)行直線化，其型曲線方程進(jìn)行直線化，其他變換類型的方程直線化可以仿此進(jìn)行他變換類型的方程直線化可以仿此進(jìn)行16測(cè)得某微生物在一定溫度下隨時(shí)間變化的平均增長(zhǎng)量測(cè)得某微生物在一定溫度下隨時(shí)間變化的平均增長(zhǎng)量數(shù)據(jù)如下：數(shù)據(jù)如下：時(shí)時(shí) 間間t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 增長(zhǎng)倍數(shù)增長(zhǎng)倍數(shù)N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5從下面的散點(diǎn)圖我們可以看出，可配合從下面的散點(diǎn)圖我們可以看出，可配合S型曲線：型曲線： 10 8 6 4

8、2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17我們采用生長(zhǎng)曲線的一般形式我們采用生長(zhǎng)曲線的一般形式 進(jìn)行配進(jìn)行配合合變換，兩邊取對(duì)數(shù)，得：變換，兩邊取對(duì)數(shù)，得：并令：并令：從數(shù)據(jù)表中取三個(gè)等距的點(diǎn)代入上式（一般總?cè)∈紡臄?shù)據(jù)表中取三個(gè)等距的點(diǎn)代入上式（一般總?cè)∈键c(diǎn)、中點(diǎn)、末點(diǎn)）點(diǎn)、中點(diǎn)、末點(diǎn)）：（1，1.3）、（）、（5，6.8）、（）、（9，9.5）1a btkNe1ln1a btkkeabtNNln1kYN1.3ln1.36.8ln56.89.5ln99.5kabkabkab18解這一三元一次方程組，消去解這一三元一次方程組，消去a、b，得：，得：則則這是一個(gè)通式，任何配置這是一個(gè)通式，任何配

9、置 S 型曲線的數(shù)據(jù)資料均可型曲線的數(shù)據(jù)資料均可使用這一公式求得使用這一公式求得 k 值值將上式中的將上式中的 代入代入 式，得式，得 即為即為 k 的解的解將將k=9.78代入代入 可得和可得和t相對(duì)應(yīng)的各個(gè)相對(duì)應(yīng)的各個(gè)Y值值11020112102102222021021022kNN NN NN NNN NNNNkN NNN NN22021102N NkNNkNkN0121.3,6.8,9.5NNN2k29.78k lnkNYN19將這些將這些 Y 值寫在數(shù)據(jù)表下方對(duì)應(yīng)處，用最小二乘配置法值寫在數(shù)據(jù)表下方對(duì)應(yīng)處，用最小二乘配置法配置直線配置直線時(shí)時(shí) 間間t 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10、 增長(zhǎng)倍數(shù)增長(zhǎng)倍數(shù)N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 1.88 1.71 1.02 0.54 -0.82 -1.81 -1.89 -2.59 -3.52 lnkNYN20得一級(jí)數(shù)據(jù)：得一級(jí)數(shù)據(jù)：或?qū)r(shí)間或?qū)r(shí)間 t 和和 Y 值輸入計(jì)算器直接進(jìn)行計(jì)算值輸入計(jì)算器直接進(jìn)行計(jì)算22452855.4834.409670.07ttYYtY 950.6089ntY 21則則將將k、a、b代入方程，即得：代入方程，即得： 或或：2455.4870.0790.71124528590.608950.71122.9469ba 2.9469 0.71129.781tNe0.

11、71129.781 19.0468tNe22在這一類例子中，時(shí)間往往是有效單位時(shí)間，如一在這一類例子中，時(shí)間往往是有效單位時(shí)間，如一周、一月、一年、一個(gè)時(shí)間段等，如需換算成具周、一月、一年、一個(gè)時(shí)間段等，如需換算成具體時(shí)間如天、小時(shí)、分等，則需將其換算值代入體時(shí)間如天、小時(shí)、分等，則需將其換算值代入 t 值即可值即可另外，在一般的通式中，我們往往以另外，在一般的通式中，我們往往以 x、y 作為自作為自變量和依變量的符號(hào)，但在具體問(wèn)題中，有時(shí)為變量和依變量的符號(hào)，但在具體問(wèn)題中，有時(shí)為了更形象、更直觀地說(shuō)明問(wèn)題，可以用其他不同了更形象、更直觀地說(shuō)明問(wèn)題，可以用其他不同的字母（往往是相應(yīng)的英文名詞

12、的首寫字母）來(lái)的字母（往往是相應(yīng)的英文名詞的首寫字母）來(lái)代替代替23如長(zhǎng)度用如長(zhǎng)度用 L、時(shí)間用、時(shí)間用 t、增重倍數(shù)用、增重倍數(shù)用 N、體重用、體重用 W 等等用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可直接將原始數(shù)據(jù)輸入數(shù)用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可直接將原始數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)庫(kù)，調(diào)用相應(yīng)的程序運(yùn)算即可據(jù)庫(kù)，調(diào)用相應(yīng)的程序運(yùn)算即可24第三節(jié)第三節(jié) 曲線配合的擬合度曲線配合的擬合度25曲線配合完成，其方程是否理想，同一批數(shù)據(jù)采用曲線配合完成，其方程是否理想，同一批數(shù)據(jù)采用不同的曲線方程進(jìn)行擬合，其效果如何，哪一種不同的曲線方程進(jìn)行擬合，其效果如何，哪一種方程更好，可以用曲線方程的擬合度來(lái)衡量方程更好，可以用曲線方程的擬合

13、度來(lái)衡量曲線方程的擬合度就是相關(guān)指數(shù)曲線方程的擬合度就是相關(guān)指數(shù) R2離回歸平方和離回歸平方和 Q（實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之差的平方和，（實(shí)測(cè)值與預(yù)測(cè)值之差的平方和，即剩余回歸平方和）在總平方和中所占的比例越即剩余回歸平方和）在總平方和中所占的比例越小，說(shuō)明方程的效果越好，因此可以用剩余回歸小，說(shuō)明方程的效果越好，因此可以用剩余回歸平方和在總平方和中的比例來(lái)表示曲線配合的好平方和在總平方和中的比例來(lái)表示曲線配合的好壞：壞：22211yyyQRSSyy 26 在曲線回歸方程中，我們必須實(shí)際求得每一個(gè)在曲線回歸方程中，我們必須實(shí)際求得每一個(gè) ，然，然 后求出后求出 ，而不能象簡(jiǎn)單回歸一樣可以用有關(guān)，而不能

14、象簡(jiǎn)單回歸一樣可以用有關(guān) 公式求出公式求出 在上例中：在上例中： t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 N 1.3 1.5 2.6 3.6 6.8 8.4 8.5 9.1 9.5 0.9445 1.7481 3.0030 4.6386 6.3326 7.7167 8.6448 9.1874 9.4797 0.1264 0.0615 0.1624 1.0788 0.2184 0.4669 0.0210 0.0076 0.0004 y2yyN2NN222251.3385.7793.369NNNNn22.143411 0.02300.977093.36R 22.1434NN27R2 的平方根的平方根 R 稱為相關(guān)系數(shù)，為了和簡(jiǎn)單相關(guān)系稱為相關(guān)系數(shù)，為了和簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)數(shù)r 有所區(qū)別，曲線回歸方程和多元回歸方程的有所區(qū)別，曲線回歸方程和多元回歸方程的相關(guān)系數(shù)稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)，寫為相關(guān)系數(shù)稱為復(fù)相關(guān)系數(shù)，寫為 R擬合度得到后，同樣需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的擬合度得到后，同樣需要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)的方法還是查方法還是查 r 表表本例中，變量個(gè)數(shù)為本例中，變量個(gè)數(shù)為 m = 2，自