第八章幾何線性問(wèn)題的有限元法

1、第八章幾何非線性問(wèn)題的有限元法8.1 引言前面各章所討論的問(wèn)題都是在小變形假設(shè)的前提下進(jìn)行的，即假定物體所發(fā)生的位移遠(yuǎn)小于物體自身的幾何尺寸，應(yīng)變遠(yuǎn)小于1。在此前提下，建立物體或微元體的平衡條件時(shí)可以不考慮物體的位置和形狀(簡(jiǎn)稱位形)的變化，因此在分析中不必區(qū)別變形前后位形的差 別，且應(yīng)變可用一階無(wú)窮小的線性應(yīng)變表達(dá)。實(shí)際上，上述假設(shè)有時(shí)是不成立的。即使實(shí)際應(yīng)變可能是小的， 且不超過(guò)材料的彈性極限，但如果需要精確地確定位移，就必須考慮幾何非線性，即平衡方程應(yīng)該相對(duì)于變形后的位置得出，而幾何關(guān)系應(yīng)該計(jì)及二次項(xiàng)。例如平板大撓度理論中， 由于考慮了中面內(nèi)的薄膜應(yīng)力，求得的撓度比小撓度理論的結(jié)果有顯著

2、的減低。再如在結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性問(wèn)題中，當(dāng)載荷達(dá)到一定數(shù)值后，撓度比線性解答予示的結(jié)果更劇烈地增加，并且確實(shí)存在承載能力隨繼續(xù)變形而減低的現(xiàn)象。在冷卻塔、薄壁結(jié)構(gòu)及其它比較細(xì)長(zhǎng)的結(jié)構(gòu)中，幾何非線性分析都顯得十分重要。幾何非線性問(wèn)題可以分為以下幾種類型：(1)大位移小應(yīng)變問(wèn)題。一般工程結(jié)構(gòu)所遇到的幾何非線性問(wèn)題大多屬于這一類。例 如高層建筑或高聳構(gòu)筑物以及大跨度網(wǎng)殼等結(jié)構(gòu)的分析常需要考慮到結(jié)構(gòu)大位移的影響。(2)大位移大應(yīng)變問(wèn)題，如金屬壓力加工中所遇到的問(wèn)題就屬于這一類型。(3)結(jié)構(gòu)的變形引起外載荷大小、方向或邊界支承條件的變化等。結(jié)構(gòu)的平衡實(shí)際上是在結(jié)構(gòu)發(fā)生變形之后達(dá)到的，對(duì)于幾何非線性問(wèn)題來(lái)說(shuō)，平衡

3、方程必須建立在結(jié)構(gòu)變形之后的狀態(tài)上。為了描述結(jié)構(gòu)的變形需要設(shè)置一定的參考系統(tǒng)。一種做法是讓單元的局部坐標(biāo)系始終固定在結(jié)構(gòu)發(fā)生變形之前的位置，以結(jié)構(gòu)變形前的原始位形作為基本的參考位形，這種分析方法稱作總體的拉格朗日(Lagrange)列式法；另一種做法是讓單元的局部坐標(biāo)系跟隨結(jié)構(gòu)一起發(fā)生變位，分析過(guò)程中參考位形是不斷被更新的，這種分析方法稱作更新的拉格朗日列式法。本章首先對(duì)幾何非線性問(wèn)題作一般性討論，從中導(dǎo)出經(jīng)典的線性屈曲問(wèn)題的公式；然后建立平板大撓度問(wèn)題和殼體的大位移(及大轉(zhuǎn)動(dòng))分析的有限方法公式；接著還給出了大應(yīng)變及大位移的一般公式，最后還詳細(xì)討論了桿系結(jié)構(gòu)幾何非線性問(wèn)題的有關(guān)公式。在討論中

4、我們采用總體的拉格朗日列式法， 但對(duì)桿系結(jié)構(gòu)，為應(yīng)用方便我們給出了兩種列式法的公式。8.2 一般性討論8.2.1 理論基礎(chǔ)虛功原理總是成立的。 由虛功原理，單元的虛功方程無(wú)論是對(duì)于何種幾何非線性問(wèn)題, 可以寫(xiě)成如下的形式eT eeT edvF 0(8.1)ve其中F為單元節(jié)點(diǎn)力向量，為單元的虛應(yīng)變,e為節(jié)點(diǎn)虛位移向量。增量形式的應(yīng)變一位移關(guān)系可表示為上式中d e表示單元節(jié)點(diǎn)位移e的微分。根據(jù)變分與微分運(yùn)算在形式上的相似性，有(8.3)以上兩式中B稱為大位移情況下的增量應(yīng)變矩陣，代表了單元應(yīng)變?cè)隽颗c節(jié)點(diǎn)位移增量之間的關(guān)系。在大位移情況下B應(yīng)是節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)。若將上述應(yīng)變?cè)隽烤仃嚪纸鉃榕c節(jié)點(diǎn)位移無(wú)

5、關(guān)的部分Bo和與節(jié)點(diǎn)位移有關(guān)的部分Bl（）兩部分組成，即(8.4)B BoBl此時(shí)Bo也就是一般線性分析時(shí)的應(yīng)變矩陣。將式（8.3）代入（8.1）,并考慮到節(jié)點(diǎn)虛位移的任意性，可將單元的平衡方程寫(xiě)T(8.5)B dv F 0v按照式（8.5）可以對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)建立有限元列式，這種列式方法可稱為全量列式方式，在幾何非線性分析中，按照這種列式方法得到的單元和結(jié)構(gòu)剛度矩陣一般是非對(duì)稱的，于求解不利。因此，在分析非線性問(wèn)題時(shí)大多采用增量列式法。以下就著重介紹這一方法。式（8.5）所示的平衡方程可以寫(xiě)成微分的形式Tee八d（ B ）dv d F 0（8.6）v由于在幾何非線性問(wèn)題中，應(yīng)變矩陣 B和應(yīng)力e都是

6、節(jié)點(diǎn)位移的函數(shù)，因此有-T e二 e - T ed( B ) d B B d(8.7)將式(8.7)代入(8.6),則有eT . eed B dv B d dv d F(8.8)vv單元內(nèi)部的應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽看嬖诖_定的關(guān)系，這種關(guān)系可以用增量形式表示為(8.9)式中D稱為應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系矩陣，或稱為材料的本構(gòu)關(guān)系矩陣。如果材料屬于線性彈性的,D將是一個(gè)常數(shù)矩陣。并且，對(duì)于線性彈性材料來(lái)說(shuō)有D(o e)(8.10)上式中 0e和 0e分別為單元材料中可能存在的初應(yīng)變和初應(yīng)力。將式（8.2）代入式（8.9）就可以得到應(yīng)力增量與單元節(jié)點(diǎn)位移增量之間的關(guān)系eed D Bd(8.(11)將式（8.4）代

7、入式（8.11）后得e _d D ( BoBl )d(8.(12)日Z(yǔ)E,式（8.8）左端中的第二項(xiàng)便可表示為e，一dv (BovBL TvT D Bo dvB0 dv(BovBL TvT D BL dvD BL dv)d若記koTBoB0 dvk0是與單元節(jié)點(diǎn)位移無(wú)關(guān)，它就是一般線性分析時(shí)的單元?jiǎng)偠染仃?。式?層括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)可記為8.13)(8.(13)(8.14)右端第二kL ( Bo T D BLvBl T D B0 BL T D BL )dv(8.(15)kL稱為單元的初位移矩陣或大位移矩陣,表示單元位置的變動(dòng)對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚨挠绊憽，F(xiàn)在再來(lái)看式（8.8）左端的第一項(xiàng)?？紤]到式（8.4）的

8、關(guān)系并注意到Bo與節(jié)點(diǎn)位移無(wú)關(guān)，因此對(duì)節(jié)點(diǎn)位移的微分等于零，對(duì)于一個(gè)確定的有限元分析模型，式（ 第一項(xiàng)可一般地寫(xiě)成8.8）左端的T ed B dv d BL vveedv k d(8.(16)上式中k稱為單元的初應(yīng)力矩陣或幾何剛度矩陣,它表示單元中存在的應(yīng)力對(duì)單元?jiǎng)偠染仃嚨挠绊?。由上式?.16）和式（8.13）,并考慮到式（16.14） （8.15）的關(guān)系，有若記(kok kL )d(8.(17)kTkokkL(8.(18)kT就稱為單元的切線剛度矩陣。此時(shí)，有增量形式的單元?jiǎng)偠确匠蘫T d(8.19)由此可以看出，單元切線剛度矩陣kT 代表了單元于某種變形位置時(shí)的瞬時(shí)剛度，或者說(shuō)代表了單元

9、節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的瞬時(shí)關(guān)系。有了單元切線剛度矩陣就可以按照常規(guī)的方法，即單元集成法組裝結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣，即有KTkT（ 8.20）并進(jìn)而得到結(jié)構(gòu)的增量剛度方程KT dd F（ 8.21 ）前面在推導(dǎo)式（8.8）時(shí)，假定載荷F e與變形無(wú)關(guān)。但有些情況并非如此。例如，作用于特大變形結(jié)構(gòu)上的壓力載荷，與變形有關(guān)的氣動(dòng)載荷便是這樣。在這種情況下，式 （ 8.8）應(yīng)計(jì)及載荷相對(duì)于d 的微分項(xiàng)，本書(shū)后面的推導(dǎo)中均不考慮這一影響。8.2.2 求解方法對(duì)于實(shí)際應(yīng)用，載荷增量不可能取成微分的形式，總是一個(gè)有限值。于是， 按式 （ 8.21 ）求得的位移增量使結(jié)構(gòu)偏移了其真實(shí)的平衡位置。為了解決這一問(wèn)題，

10、可以根據(jù)當(dāng)時(shí)的結(jié)構(gòu)位移情況按式（8.5）求各單元上作用的節(jié)點(diǎn)力，并繼而求得各節(jié)點(diǎn)合力。然后將外載荷與上述節(jié)點(diǎn)合力之差，即節(jié)點(diǎn)的不平衡力，作為一種載荷施加于結(jié)構(gòu)，由此求得節(jié)點(diǎn)位移的修正值。上述過(guò)程也可以反復(fù)多次。綜上所述，總體的拉格朗日列式方法的一次完整的迭代步驟一般可歸納如下：（ 1）按線性分析得到節(jié)點(diǎn)位移的初值1 。（ 2） 形成局部坐標(biāo)系中的單元切線剛度矩陣kT ， 并按式 （ 8.5） 計(jì)算單元的節(jié)點(diǎn)力F e 。e（ 3）將kT 和 F 轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系。（ 4）對(duì)所有單元重復(fù)（2）至（3）的步驟。生成結(jié)構(gòu)的切線剛度矩陣KT 1和節(jié)點(diǎn)力合力 F 1 。5）計(jì)算節(jié)點(diǎn)不平衡力1 F 11。6

11、）求解結(jié)構(gòu)剛度方程K T 111 ，得節(jié)點(diǎn)位移增量（7）將1 疊加到節(jié)點(diǎn)位移向量1 中，即211 。（8）收斂條件判斷，如果不滿足則反回到步驟（2） 。上述在總載荷下進(jìn)行迭代的方法有時(shí)會(huì)遇到困難。在非線性程度較高的問(wèn)題中可能收斂較慢，此外，當(dāng)解答非唯一時(shí)，有可能得到實(shí)際上不需要的那個(gè)解。在這種情況下，可采用7.2.4 節(jié)中所介紹的增量法求解，并得到每一增量步的非線性解。如迭代中再帶有自平衡校正，并采用小的載荷增量，通常一步運(yùn)算就能足夠精確地得到該增量步的解。以上兩節(jié)所介紹的增量形式的總體拉格朗日列式法，在結(jié)構(gòu)的非線性分析中應(yīng)用十分廣泛，有關(guān)計(jì)算公式及求解方法對(duì)板、殼或桿件體系的非線性分析都同樣

12、適用。由上面的分析也可以看出，采用總體的拉格朗日方法求解非線性問(wèn)題的關(guān)鍵是形成單元的切線剛度矩陣。8.3屈曲問(wèn)題非線性分析，尤其是幾何非線性分析在很多情況下是估算一個(gè)結(jié)構(gòu)在失去穩(wěn)定性前所能 承受的最大載荷。這是結(jié)構(gòu)屈曲問(wèn)題的研究目標(biāo)，是固體力學(xué)的一個(gè)重要分支，也是工程實(shí)踐中經(jīng)常出現(xiàn)的問(wèn)題。小位移線性理論假設(shè)在結(jié)構(gòu)受載變形過(guò)程中忽略了結(jié)構(gòu)的位移變化，因此在加載的各個(gè)階段總是認(rèn)為結(jié)構(gòu)在未加載的原始位形上產(chǎn)生平衡，當(dāng)屈曲發(fā)生時(shí)，結(jié)構(gòu)位形突然跳到另一個(gè)平衡位置。圖8.1（a）為線性屈曲的示意圖。為裁荷比例因子，其含義稍后會(huì)講到，它與位移 在屈曲前為線性關(guān)系，當(dāng)載荷達(dá)到極限值（圖中分枝點(diǎn)）時(shí)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)，曲

13、線改變，結(jié)構(gòu)平衡轉(zhuǎn)向另一模態(tài)。這就是線性屈曲也稱分枝屈曲。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，結(jié)構(gòu)的平衡實(shí)際上是在結(jié)構(gòu)發(fā)生變形之后達(dá)到的，因此，從加載一開(kāi)始就出現(xiàn)了幾何非線性的特性， 圖8.1（b）為非線性屈曲的示意圖， 當(dāng)載荷比例因子增加時(shí)，曲線是非線性的，一直達(dá)到極限，這種在結(jié)構(gòu)發(fā)生變形一直到失穩(wěn)，在變形后的位形上考慮平衡一直達(dá)到極限的方法稱非線性屈曲或極限屈曲。圖 8.1a圖 8.1b可見(jiàn)，工程實(shí)際中分枝屈曲現(xiàn)象實(shí)為罕見(jiàn)， 壓的絕對(duì)直桿及完整空球殼在均勻外壓的情況下。它僅出現(xiàn)在完全無(wú)結(jié)構(gòu)缺陷，完全沿軸向加分枝屈曲現(xiàn)象雖然罕見(jiàn)，但實(shí)際中有不少結(jié)構(gòu)屈曲狀態(tài)接近分枝屈曲，而分枝屈曲的計(jì)算工作量又遠(yuǎn)小于計(jì)算極限屈曲的工作

14、量，況且，不少作者得出結(jié)論， 一些中等非線性的屈曲狀態(tài)，可以用線性屈曲問(wèn)題特征向量的線性組合近似得到。因此線性屈曲理論還是有其實(shí)際價(jià)值。屈曲的含義可簡(jiǎn)述為：結(jié)構(gòu)處于一種平衡狀態(tài)， 載荷增量為一個(gè)微量，其位移增量很大。用方程來(lái)表達(dá)這種物理現(xiàn)象，則由總體拉格朗日列式法建立的結(jié)構(gòu)剛度方程（8.21）變成為KT d0（8.22）根據(jù)式（8.18）和（8.20）,有KTK0 K KL（8.23）將式（8.23）代入（8.22）得（K0 K KL ）d 0（8.24）在線性屈曲情況下，屈曲前結(jié)構(gòu)處于原始位形的線性平衡狀態(tài)，因此上式中的大位移矩K。陣KL應(yīng)為零，此時(shí)式（8.24）簡(jiǎn)化為(8.25)8.16）

15、可以看出，K 并不明顯地包含位移增量d ，在小變形情況下，該矩陣與應(yīng)力水平成正比。由于屈曲前線性假設(shè)，多數(shù)情況下，應(yīng)力與外載也為線性關(guān)系，因此，如果令某一參考載荷F r 對(duì)應(yīng)的初應(yīng)力剛度陣為K r ，令屈曲極值載荷為F c ，與參考裁荷有Fc cFr關(guān)系，稱載荷比例因子，c為極值裁荷的比例因子。極值載荷時(shí)的初應(yīng)力剛度陣為Kc c Kr（ 8.26）代入式（8.25） ，則有（ K0 c Kr ）d 0（ 8.27）可以看出式（8.27）是一個(gè)廣義特征值方程，也是經(jīng)典彈性穩(wěn)定理論的最后控制方程。實(shí)際求解時(shí)可按以下步驟進(jìn)行：（ 1）按線彈性問(wèn)題的有限元法形成各單元的剛度矩陣k0 ，并用常規(guī)方法組裝

16、成結(jié)構(gòu)剛度矩陣，即K0k0 。（ 2）對(duì)結(jié)構(gòu)施加參考載荷Fr ，并求解有限元方程K0Fr ，進(jìn)而可求得各單元節(jié)點(diǎn)應(yīng)力。（ 3）對(duì)有膜應(yīng)力存在的單元按式（8.16）形式初應(yīng)力矩陣kr ，并組裝成結(jié)構(gòu)初應(yīng)力矩陣，即K rkr 。（4）求解廣義特征值問(wèn)題，即式（8.27）,得到最低幾階特征值c及對(duì)應(yīng)的特征模態(tài)。理論上它們都是平衡模態(tài)，當(dāng)載荷達(dá)到分枝載荷cFr時(shí)，平衡由一種模態(tài)“跳列”另一種模態(tài)，這也就是分枝屈曲的含義。（ 5） 從分枝載荷中挑選一個(gè)最小的載荷，即 Fmrincmin F r ， 作為極值載荷或臨界載荷。值得指出的是，由式（8.27）所表征的線性屈曲問(wèn)題，是建立在下述假設(shè)的基礎(chǔ)上的，即

17、假設(shè)線性應(yīng)變剛度矩陣在屈曲前不產(chǎn)生明顯的變化，且初應(yīng)力矩陣簡(jiǎn)單地與應(yīng)力水平成正比。 如前所述，這在實(shí)際問(wèn)題中是很罕見(jiàn)的。由式 （ 8.27） 所確定的極值載荷只能是近似的。由于線性屈曲理論存在精度差，以及適用范圍窄的限制，所以，在一般情況下，應(yīng)當(dāng)用切線剛度矩陣K T 來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題。當(dāng)K T d 0 時(shí)，發(fā)生隨遇平衡。顯然，這里應(yīng)該用逐次逼近的方法進(jìn)行求解。關(guān)于非線性屈曲問(wèn)題的有限元解法，讀者可參考其它文獻(xiàn)。8.4 板的大撓度及線性屈曲8.4.1 基本問(wèn)題在板的大撓度問(wèn)題中，板中的內(nèi)力除彎曲內(nèi)力外，還有薄膜內(nèi)力，如圖8.2 所示，在這種情況下，橫向位移會(huì)引起薄膜應(yīng)力，因此在板的大撓度問(wèn)題中，面

18、內(nèi)變形和彎曲變形不再象小撓度板那樣能分別處理，二者是相互耦合的。圖8.2圖8.3和以前一樣，平板的應(yīng)變可用中面的位移來(lái)描述。 義應(yīng)變和廣義應(yīng)力向量可以表示為如果令y平面與中面2w2x2 TW zx y(8.28)phNxbxNyN2yMxMyMxyT(8.29)式中上標(biāo)p和b分別表木面內(nèi)和彎曲的分量。x和y方向產(chǎn)生附加伸長(zhǎng)和附加角變形,因此廣義由圖8.3可以看出，撓度w使中面在: 應(yīng)變可表達(dá)成y x2w2x2w2-y22wx y-(2wW)2 X w)2 y wp 0b0(8.30)式中第一項(xiàng)是我們熟知的線性項(xiàng)，而第二項(xiàng)則是非線性項(xiàng)。如果所考慮的材料是線彈性的，則平板的彈性矩陣由平面應(yīng)力彈性矩

19、陣Dp和彎曲彈性矩陣Db組成，即D Dp0Db(8.31 )平板單元的位移可以采用適當(dāng)?shù)男魏瘮?shù)，通過(guò)節(jié)點(diǎn)位移來(lái)表達(dá)，寫(xiě)成(8.32)為方便起見(jiàn)，將節(jié)點(diǎn)位移向量也分為面內(nèi)的和彎曲的兩部分，即(8.33)UiTViWi(-)ixT(-)iy這樣，形函數(shù)也應(yīng)分成通過(guò)上述規(guī)定，除了非線性應(yīng)變項(xiàng)NiNip00bNi(8.34)以外,其余各項(xiàng)都和標(biāo)準(zhǔn)的線性分析相同，不再重復(fù)。8.4.2 應(yīng)變矢I陣B的計(jì)算為了確定單元的切線剛度矩陣我們先來(lái)討論單元的應(yīng)變矩陣B的計(jì)算。首先應(yīng)注意到式中BoB0p0BBo0BbBlBl0Bb00這里，B0p和Bo分別是平面單元和彎曲單元按線性分析所得到的標(biāo)準(zhǔn)矩陣，而變的非線性項(xiàng)

20、引起的，它可以通過(guò)L對(duì)參數(shù) b取微分來(lái)導(dǎo)出。下面就來(lái)推導(dǎo)達(dá)式。在式（8.30）中，非線性應(yīng)變分量可以方便地寫(xiě)成0 x1 cW02 ywwyx(8.35)Bb是應(yīng)Bl的表1A 2(8.36)式中(8.37)wx wyew的一階導(dǎo)數(shù)可以用彎曲節(jié)點(diǎn)位移b表示成(8.38)其中wxwy(8.39)bNibN2GNixbN2yy(8.40)可見(jiàn)G只與單元的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)。將式(8.36)取微分，有c11dL-dAAd(8.41)22注意到矩陣 A和具有兩個(gè)有用的性質(zhì)：1.設(shè)xXi,X2 T是一個(gè)任意向量，則有wd(一)0x w0d(一)ywwd(-) d(-)yxXiX2Xi0d(-w)Xi00X2d(-

21、xw、0x2 dX2Xi)X2Xi(8.42)于是有d AAd(8.43)2.設(shè)yH，V3個(gè)任意向量，則有d AT yw d(一) xd(利用上述性質(zhì)wd( 一 )yd(w) y w) xyiy2y3i,并注意到式（8.39）,可將式（yiy38.41)y3y2寫(xiě)成LpAd觀察上式，由應(yīng)變矩陣的定義，可見(jiàn)Bb A G8.4.3單元切線剛度矩陣 片的計(jì)算根據(jù)式（8.18）,單元的切線剛度矩陣由三部分組成，即kTk0 k kL由第二章和第四章給出的剛度矩陣,k0將式（8.35）中的B0和Bl代入式0B°p T最后，利用式（8.16）w d(一) xw d() y可將線性小變形的剛度矩陣寫(xiě)

22、成下式k°p00kb8.15),Dp Bb可求出初應(yīng)力矩陣d Bl可得大位移矩陣對(duì)稱b Tb dvBb Dp Bbk 。為此，將式（8.35）中的0T d Bb把上式代入式（8.16）,并利用式（8.29)和(8.46),給出利用式（8.44）,有0G Td ATNxNyNxydvMxM yMxyyiy3Bly3dy2(8.44)(8.45)(8.46)(8.47)(8.48)(8.49)進(jìn)行微分,Nx d AT NyNxyNxNxyNxyNyNxNxyNxyNybeG d b最后可將初應(yīng)力矩陣寫(xiě)成式中kb0 kb(8.50)NxNxyNxyNyG dv(8.51 )是平板對(duì)稱形式的

23、初應(yīng)力矩陣。（8.47）,便得到板的切線剛度矩陣,其余計(jì)算步驟已如8.2.2將式（8.48）至（8.50）代入 節(jié)所述，不再重復(fù)。8.4.4板的屈曲問(wèn)題板的線性屈曲問(wèn)題，可從式（8.25）出發(fā)作為特征值問(wèn)題考慮。對(duì)于只在平面內(nèi)承受壓力載荷的情況，先求問(wèn)題的彈性解，然后用式（8.51）求出kb ,而由線彈性方法求得 kb ,此時(shí)kL0 ,在完成結(jié)構(gòu)剛度矩陣的組裝后得到了廣義特征值問(wèn)題（K； c Kb ）d 0（8.52）解之，可得平板線性屈曲問(wèn)題的解。上述平板的幾何非線性有限元理論，也適用于由平板單元組成的殼體結(jié)構(gòu)的幾何非線性 分析，只是多了一步將局部坐標(biāo)系中的切線剛度矩陣及其它有關(guān)量轉(zhuǎn)換到整體

24、坐標(biāo)系中的工 作。值得指出的是，通常對(duì)殼體結(jié)構(gòu)進(jìn)行線性屈曲的分析結(jié)果遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于實(shí)際的失穩(wěn)載荷。因此，確定變形對(duì)屈曲的影響是十分重要的，也就是說(shuō)，為了得到正確的結(jié)果，必須進(jìn)行完全 的非線性分析。8.5三維單元的大應(yīng)變和大位移公式上節(jié)平板大撓度問(wèn)題中，非線性應(yīng)變一位移關(guān)系是在特定的情況下建立的。根據(jù)格林 （Green）應(yīng)變的定義，現(xiàn)在可以從一般方法出發(fā)推導(dǎo)出幾何非線性理論的有限元計(jì)算公式， 而不管應(yīng)變或位移是大的還是小的。用直角坐標(biāo)表示的格林應(yīng)變?yōu)閤ux12(u)2 xv 2 ()x(-w 2 )xuvu uvvw wxyyxx yxyx y其它四個(gè)應(yīng)變只要通過(guò)輪換xyzx,uvwu ，即可得到。在

25、小位移的情況下，忽略二次項(xiàng)，就得到線性應(yīng)變公式。這時(shí),(8.53)x, y和Z是原來(lái)平行于坐標(biāo)軸的線段的伸長(zhǎng)率，而 xy, yz和7*表示原來(lái)平行于坐標(biāo)軸的兩垂直線段夾角的變化。但在應(yīng)變較大時(shí)，上述幾何意義就不再成立?，F(xiàn)在我們來(lái)推導(dǎo)三維應(yīng)力狀態(tài)下非線性的B和的一般計(jì)算公式。稍加改變即可得到一維和二維情況下的計(jì)算公式。對(duì)于板殼問(wèn)題，可在特定條件下忽略某些項(xiàng)后就可導(dǎo)出上節(jié)中的結(jié)果。對(duì)桿系結(jié)構(gòu)我們將在下節(jié)詳細(xì)討論。8.5.1應(yīng)變矢I陣BL的推導(dǎo)變形體某點(diǎn)的應(yīng)變應(yīng)是線性應(yīng)變0和非線性應(yīng)變L之和,式中yzzxxyvwzywuxzuvyx(8.(54)(8.(55)按照式（8.53）,非線性應(yīng)變可用下式表

26、示式中0T zT yA是一個(gè)6X9的矩陣。是一個(gè)0T zT y0T y 0T z 0T x9X 10T y 0T z 0T x0T zT yT x0(8.56)0T zT yT x0的列向量，而余類推。容易驗(yàn)證上述定義的正確性，并重新建立上節(jié)中矩陣A和的兩個(gè)性質(zhì)。我們?cè)俅斡衐 l -d 2AdAd(8.57)如果 用形函數(shù)N和節(jié)點(diǎn)位移向量則可寫(xiě)出(8.(58)式中G的表達(dá)式和上節(jié)中的式（8.40）類似，為形函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的一階導(dǎo)數(shù)所組成，因而只Bl8.5.2單元切線剛度矩陣%的推導(dǎo)注意到式（8.4）,即BBoBl8.14）積分得到k0 ,而由式（8.15）可與節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)。將上式代入式（8.57）

27、得因此由應(yīng)變矩陣的定義即有求得kL ,又由式（8.16）,則有d Bl Tvedv(8.60)由式（8.59）BlT ATe 注意到G不含 ，由上式得d BlG Td AT(8.61)將式（8.61）代入（8.60）的右端，則同上一節(jié)一樣，利用 A和的第二個(gè)性質(zhì),G Td ATedv(8.(62)d ATxIxy I xzIyIyzIzI(8.(63)式中xI對(duì)M xyIyI稱xzIyzIzI由式（8.58）可得ed G d（8.64）將式（8.64）代入（8.63）則d ATe M G d e（8.65）再將式（8.65）代入（8.62）,使得到具有對(duì)稱形式的初應(yīng)力矩陣k G T M Gdv

28、（8.66）v至此，三維單元的切線剛度矩陣kT就可由下式求得kTko 。 k8.6桿系結(jié)構(gòu)的大位移分析對(duì)桿系結(jié)構(gòu)進(jìn)行大位移分析時(shí)，可采用總體的拉格朗日列式法或更新的拉格朗日列式 法。對(duì)總體的拉格朗日列式法，我們將推導(dǎo)出桁桿單元和梁?jiǎn)卧那芯€剛度矩陣及其顯式， 其余計(jì)算均如8.2.2節(jié)所述。而對(duì)于更新的拉格朗日列式法，則以剛架單元為例，重點(diǎn)介紹 其計(jì)算原理和實(shí)施步驟。8.6.1 桁架單元的切線剛度矩陣考慮一個(gè)橫截而積為 A,彈性模量為巳長(zhǎng)度為L(zhǎng)的桁桿單元，它在發(fā)生變位前后的位 置如圖8.4所示。圖8.4在小位移的情況下，桁桿單元上某一點(diǎn)的軸向應(yīng)變?yōu)?8.67)dux dx如果節(jié)點(diǎn)的位移比較大，則

29、由于橫向位移v會(huì)使單元發(fā)生附加的軸向伸縮。這種附加的軸向應(yīng)變與單元在變位過(guò)程中所轉(zhuǎn)過(guò)的角度有關(guān)，此時(shí)單元的軸向應(yīng)變可表示為(8.68)du 1/dv（一）dx 2 dx式中左端的第二項(xiàng)是考慮大位移時(shí)附加的非線性項(xiàng)。顯然上式也可由格林應(yīng)變公式直接寫(xiě) 出。12x在大位移分析中，桁桿單元的軸向和橫向位移函數(shù)可精確地取x的一次函數(shù)，即取(8.(69)34x同以前線性分析時(shí)的單元分析過(guò)程一樣,由桿兩端節(jié)點(diǎn)位移條件可解出單元上任意點(diǎn)的位移可用桿端節(jié)點(diǎn)位移表示為(8.(70)式中為桁桿單元的形函數(shù)矩陣。將式（8.70）代入式L(8.68)xL再考慮到式8.71),有e)2(8.(71)(8.(72)10-0

30、L(8.73)將上式與式（8.2)比較,并考慮到式8.4),有在式（8.75）Bo(8.74)Bl(8.75)為單元在變位過(guò)程中發(fā)生的轉(zhuǎn)角,如圖8.4所示,1L (VjVi)(8.76)于是式（8.75）可以寫(xiě)成Bl(8.77)將式（8.74）代入式（8.14）,可得線性分析時(shí)桁桿單元的剛度矩陣，如式（5.6）所示。將式（8.74）和（8.77）代入式（8.15）可得桁桿單元的大位移矩陣如下22kLEAL 0(8.78)由式（8.78）可以看出，當(dāng)單元處于變位以前的原始位置時(shí),0,因而大位移矩陣kL0。卜面來(lái)推導(dǎo)桁桿單元的初應(yīng)力矩陣。由式（8.77）8.76）的關(guān)系，有Bl T01L 1 /、

31、10 L(vj vi)L21Luiviujvj(8.79)式（8.79）與點(diǎn)有坐標(biāo)無(wú)關(guān)，而對(duì)于桁桿單元來(lái)說(shuō),個(gè)常數(shù)，因此在積分時(shí)這些項(xiàng)均可提到積分號(hào)之外。若記N A為桁桿單元的軸向力，則有TN 0101d BldvdL 0 00001 01將上式與式（8.16）比較可得0000N0101k (8.80)L000001 01這就是桁桿單元的初應(yīng)力矩陣，它計(jì)及了桁桿單元的軸向力對(duì)桿端橫向位移的影響。最后將式（5.6）, （8.78）和（8.80）代入式（8.18）,便得到桁桿單元的切線剛度矩陣。另外應(yīng)注意到，由于k0 , kL和k均為對(duì)稱矩陣，所以桁桿的切線剛度矩陣kT也是對(duì)稱矩陣，由kT所組裝的

32、結(jié)構(gòu)剛度矩陣KT也是對(duì)稱的，這對(duì)求解是很有利的。8.6.2剛架單元的切線剛度矩陣在大位移的情況下，仍可假定剛架單元的位移函數(shù)與小位移情況下的相同，即單元的軸向位移u是局部坐標(biāo)x的線函數(shù)，而橫而位移 v則是x的三次函數(shù)。用式子表示如下(8.81 )u12x23v34乂5乂 6乂由桿兩端的節(jié)點(diǎn)位移條件，可從上式解得1 6 ,于是單元上任意點(diǎn)的位移可用桿端位移表不成式中23x(1 Lx)23(：)2若記N1N23(X)2X 0 L2(：)3x(1：)23(-x)22(x)3而式可表不成(8.(82) 成(8.(83)(8.(84)3/X Xx(l 1)( l)(8.(85)N1N2(8.85)du1

33、 ,dv、2dua-()2vx2 dxdxbd2vd 2vy 2y 2dxdx式中a代表由線位移所引起的軸向應(yīng)變,1(dX)20 l (8.86)0b代表由彎曲所引起的軸向應(yīng)變。而N1N2假若單元的曲率仍能用橫向位移V的二階導(dǎo)數(shù)近似地表示，則代表彎曲所引起的軸向應(yīng)變的項(xiàng)仍與線性分析時(shí)相同。而由于橫向位移引起的單元軸向應(yīng)仍應(yīng)按式(8.68)計(jì)算，此時(shí)有du(8.87)dX d2v y 2 dx為線性分析時(shí)的應(yīng)變項(xiàng)。(8.88)為非線性項(xiàng)。由式(8.85)和(8.87)得d Ni dx d2 N2y2-dx將上式取微分，并注意到N1和N2不含e,有由式（8.85）和（8.88）可得將上式取微分，有

34、式中d N2 s dx由式（8.86）可得將式（8.89）將上式與式（d N1 dx d d2N2 dy2-dx(8.89)N2dx1 ,d(N22( dx0ed N2 dx(8.90)6x6x214x3x206x6x23x22xL27rLL2L2L3L2L和（8.90）代入上式,(8.91 )得d N1dxd y一8.2）比較，并注意到式2N2 dx2 (8.4)B。的關(guān)系有d N1 dxBld2 Nydx2se2(8.92)(8.93)0將式（8.84）代入（8.92）,得Bo6 小2X2- 3X八 6 2X2 03x、2(1 )y (2 )y 02(1 一)y 一(1 一)yL2LL L

35、L2 LLL(8.94)k0 ,如式(5.37)所示。將式(8.93)將B0代入式(8.14)就得到線性分析時(shí)的單元?jiǎng)偠染仃?.94) 代入式8.15), 就可以得到單元的大位移矩陣0 A BA00EA L B00kL 一八一 一L 00 A BA00C000 AA0B00AA0C0C00dx LC00(8.95)式中0020Al0AB00020A0aC000-2AB 0 A2B 0 AB000-2AB 0 ABC 0 AC0ACBCdx 0AC2C2 .AA1 (vjvi)A1B1 iA1c1jBABiVvi)Bi2 iB1C1jCA1C1 (vjvi)B1C1iC12j(8.96)AiBi

36、Ci6xL21絲L2xL6x2"Lr3x27r3x21r(8.97)i, j分別為單元i端和j端的截面轉(zhuǎn)角。以及L 2 .6L 2 .2 1L 2 .2 1A dxn BdxLC1 dxL015L01150115L1L1L1n ABdxB1C1dxLn AGdx010030010在計(jì)算式(8.95)中的積分時(shí)，可以應(yīng)用下列積分公式(8.98)L 472L 42 1L 42 1Adx3B14 dx一 LC14dx一 L035L30'350135L 39L 39L31n A3B1dx2n A3Gdx-2n A B；dx035L035L0140L 3LL3LL31n B3GdxB&

37、#163;3dxn AC；dx014001400140L 2_2o A2B2dx3L _ 22B2C12dxLL 22o A2C12dx3035L0210035LL 2A2BC1dx 0L2AB12c1dx1L2. ABC12dx1001400140k 。對(duì)剛架單元來(lái)說(shuō)，軸向應(yīng)力由兩部分組成，可表示為(8.99)以下我們來(lái)推導(dǎo)初應(yīng)力矩陣(8.100)其中a代表單元由于拉伸或壓縮而引起的軸向應(yīng)力，在單元上任意點(diǎn)都相同，可以將這一常數(shù)應(yīng)力用表示。b代表由彎曲變形而引起的軸向應(yīng)力。由式（8.93）可知BL中第二行元素全部為零，這樣，在式（8.16）中b將不發(fā)生作用，這說(shuō)明單元的初應(yīng)力矩陣與它的彎曲應(yīng)

38、力無(wú)關(guān)。若記BL中的第一行為一e -BL1S S注意到矩陣 S中的項(xiàng)只是x的函數(shù)，由式（8.16）得T ,LT ,aL-T, T-T,d BLdv A d BL1dx A S d S dxI o L1ov將式（8.91）代入上式，引入式（8.97）的關(guān)系，同時(shí)注意到 A N為單元的軸向力，則 有Td BlvdvAiB0eTAi B 0dx將式(8.98)N0a2ABi 0 A2AGaCiABiB20A1B1BiCi0a2AB0A2AGAGBiCi0AGCi2k d中的積分公式代入上式便得到單元的初應(yīng)力矩陣,36dx d ek也0 30L 03L3L4L2363L3LL2(8.101)363L3

39、LL2363L3L4L2最后將式(5.37), (8.95)和(8.101)代入式(8.18)，便得到了剛架單元的切線剛度矩陣。同桁桿單元一樣，由于 k0 , kL和k 均為對(duì)稱矩陣，所以剛架單元的切線剛度矩陣也 是對(duì)稱的。8.6.3更新的拉格朗日列式法前面我們?cè)谕茖?dǎo)桁桿單元和剛架單元的切線剛度矩陣時(shí)，采用了總體的拉格朗日列式法。其特點(diǎn)是，所有靜力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方面的變量，例如單元?jiǎng)偠染仃嚕?單元節(jié)點(diǎn)位移和單元 節(jié)點(diǎn)應(yīng)力等，都是以t=0時(shí)刻的位形，即變形時(shí)的位形為參照系統(tǒng)。這里t 0, t,2 t,只是用來(lái)描述物體位形變化發(fā)展過(guò)程的一個(gè)標(biāo)志量，而并不一定具有真正的時(shí)間意義。上述各量，即單元的剛度矩

40、陣，節(jié)點(diǎn)位移和節(jié)點(diǎn)應(yīng)力等量的描述和計(jì)算，也可以用物體變形過(guò)程中某一時(shí)刻 t的位形為參照系統(tǒng)，進(jìn)而推算 t t時(shí)刻時(shí)物體的位形。由于 t時(shí)刻 的位形和坐標(biāo)值隨計(jì)算而變化，所以稱為更新的拉格朗日列式法。由此產(chǎn)生的非線性分析方法可稱作帶流動(dòng)坐標(biāo)(或變更坐標(biāo))的迭代法。這一方法對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)的大位移分析特別顯 示出其優(yōu)越性。尤其是在桿件發(fā)生比較大的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，采用這一方法更為適宜。 這是因?yàn)橥ㄟ^(guò)變更局部坐標(biāo)系可以方便地描述單元的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，從而較容易地確定變位后的單元在變形后的結(jié)構(gòu)中所發(fā)揮的作用。我們知道結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元桿端力是由結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚺c該單元桿端 位移向量的乘積得到的。 而結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中

41、的單元?jiǎng)偠染仃嚥粌H取決于單元本身的屬性，還與該單元所處的方位有關(guān)。 在線性的位移分析中，由于節(jié)點(diǎn)位移引起的單元方位的變化十分微小而可以忽略，此時(shí)在計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移和節(jié)點(diǎn)合力時(shí)仍然能利用變形前方位的單元?jiǎng)偠染?陣。如果結(jié)構(gòu)的位移比較大，或者說(shuō)在非線性問(wèn)題中，單元方位的這種變化就不能忽略，此 時(shí)在計(jì)算節(jié)點(diǎn)合力時(shí)就應(yīng)該使用變形后方位的單元?jiǎng)偠染仃?。在進(jìn)行結(jié)構(gòu)的大位移分析時(shí)， 可以將按線性分析所得到的節(jié)點(diǎn)位移作為結(jié)構(gòu)位移的第一 次近似值。根據(jù)上述節(jié)點(diǎn)位移可以對(duì)單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行修改，從而反映單元在變位后的位置上所起的作用。在帶有流動(dòng)坐標(biāo)的迭代法中所采用的做法是：根據(jù)已求的節(jié)點(diǎn)位移修改單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣 T

42、 ,從而達(dá)到修正結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嚨哪康?。根?jù)修正后的各單元?jiǎng)偠染仃嚹酥羷偠确匠?，可以?jì)算出節(jié)點(diǎn)合力。按照上述結(jié)構(gòu)位移的第一項(xiàng)近似值算出的 節(jié)點(diǎn)合力與節(jié)點(diǎn)所受到的外載荷并不相等，也就是說(shuō)此時(shí)節(jié)點(diǎn)的平衡條件未被滿足。這是因?yàn)榘淳€性分析所得到的節(jié)點(diǎn)位移并不代表結(jié)構(gòu)真正的平衡位置。于是，在這樣的位置上結(jié)構(gòu)當(dāng)然也就無(wú)法保持平衡?，F(xiàn)將原結(jié)構(gòu)的等效節(jié)點(diǎn)載荷與上述節(jié)點(diǎn)合力之差稱為節(jié)點(diǎn)的不平衡 力。為了求得結(jié)構(gòu)真正的平衡位置，可以將不平衡力作為一組新的外載荷施加于上述已發(fā)生 變形的結(jié)構(gòu)上，求得節(jié)點(diǎn)位移的修正值又可以重新修改各單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，并進(jìn)而得到新的節(jié)點(diǎn)合力和節(jié)點(diǎn)不平衡力，繼而再將新的節(jié)點(diǎn)不平衡

43、力施加于變形以后的結(jié)構(gòu)。重復(fù)上述過(guò)程一般總可以使節(jié)點(diǎn)不平衡力減小到可以被忽略的水平，此時(shí)的節(jié)點(diǎn)位移所對(duì)應(yīng)的便是結(jié)構(gòu)在發(fā)生大位移之后真正的平衡位置。按照上述平衡位置可以計(jì)算結(jié)構(gòu)在大位移情況下的桿件內(nèi)力。以上就是帶有流動(dòng)坐標(biāo)的迭代法分析大位移問(wèn)題的基本思路。以下討論流動(dòng)坐標(biāo)系中的桿端位移和桿端力的計(jì)算方法。圖8.5 (a)給出了在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系xy中的一個(gè)未變形的剛架單元，它在彎形后的位形如圖8.5b所示。xy是該單元的流動(dòng)(a)坐標(biāo)，它的坐標(biāo)原點(diǎn)位于變形后的桿端，x軸沿變形后桿端節(jié)點(diǎn)的連線方向。(b)圖8.5對(duì)比圖8.5a、b可得XiXoUj Ui yi yo Vj Vi(8.(102)(8.(10

44、3), yiarctan 一Xi于是，剛架單元在流動(dòng)坐標(biāo)系 x y中的節(jié)點(diǎn)位移可表示為1''''11/ 22.21UiViVjUj l lo (xiyi) lo''i i (0 )j j (0)因此，剛架單元在 x y中的節(jié)點(diǎn)位移向量為T(mén)(8.104)8.105)0 0 i uj 0 j此時(shí)在上述局部坐標(biāo)系中的桿端力可表示為（Fk其中k'為局部坐標(biāo)系x'y'中的單元?jiǎng)偠染仃嚕钥砂词剑?.37）計(jì)算。由于采用了流動(dòng)坐標(biāo)系，方向角就成為桿端位移的函數(shù)，可由式（8.102）計(jì)算。這樣，單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T 和通過(guò) T 作用于

45、k' 得到的結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噆也都成為桿端位移的函數(shù)。綜上所述，在采用帶有流動(dòng)坐標(biāo)的迭代法時(shí)，一個(gè)典型的迭代過(guò)程包括以下步驟。（ 1）為外載荷作用下的結(jié)構(gòu)假定一組節(jié)點(diǎn)位移。（ 2）根據(jù)結(jié)構(gòu)坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)位移向量，確定單元兩端的位置，建立單元的局部坐標(biāo)系。（ 3）計(jì)算上述局部坐標(biāo)系中的桿端位移向量' 。（ 4）形成局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃噆 ' 和桿端力向量F ' 。，一 ' 一 一. （ 5）將 k 和 F 轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系，得到k 和 F 。（ 6）對(duì)所有單元重復(fù)（2）至（5）的步驟。生成結(jié)構(gòu)剛度矩陣K k 和節(jié)點(diǎn)合力F。（ 7）計(jì)算節(jié)點(diǎn)不平

46、衡力R R F 。（ 8）求解結(jié)構(gòu)方程KR 得節(jié)點(diǎn)位移增量。（ 9）將疊加到節(jié)點(diǎn)位移向量中。（ 10）收斂條件判斷，如果不滿足則返回到步驟（2） 。以上的過(guò)程可概括為如下的迭代公式卻是一個(gè)值得研究的問(wèn)8.106)這樣通Ki i1 R ki iII ii1般來(lái)說(shuō)作第一次迭代運(yùn)算時(shí)節(jié)點(diǎn)位移常有利于加快收斂速度。但當(dāng)結(jié)構(gòu)的非線性程度很高時(shí)如何假定 題。例如對(duì)于圖8.6所示結(jié)構(gòu)，按線性分析方法無(wú)法確定結(jié)構(gòu)的位移或者說(shuō)結(jié)構(gòu)的位移將成為無(wú)窮大，此時(shí)就需要為載荷作用點(diǎn)C先假定一個(gè)適當(dāng)大小的豎向位移，然后才能開(kāi)始迭代過(guò)程。而在某些情況下需要把外載荷分成數(shù)級(jí)逐步施加到結(jié)構(gòu)上。圖8.6迭代過(guò)程的收斂可根據(jù)上述不平

47、衡力進(jìn)行判斷，當(dāng)不平衡力和外載荷的比率減小到一個(gè)給定的限度時(shí)則可以認(rèn)為迭代過(guò)程已達(dá)到了收斂，這樣的收斂條件稱為力收斂條件。 在結(jié)構(gòu)的大位移分析中一般采用位移收斂率條件效果更好一些，因此這種收斂條件的應(yīng)用更為普遍。位移收斂條件可由不同的形式提出，若記Nn J T n(8.107)式中 n是經(jīng)過(guò)n次迭代運(yùn)算得到的節(jié)點(diǎn)位移向量，則位移收斂條件的一種形式是Nn Nn 1Ner(8.108)這里er是精度要求，可以根據(jù)工程的要求和問(wèn)題的性質(zhì)而定，一般可取10-6到10-2。作為一種更加嚴(yán)格的收斂判斷，位移收斂條件也可以要求每一個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度上的位移滿足條件|L| e(8.109)有時(shí)，位移收斂條件和力收斂條件可以同時(shí)運(yùn)用。 結(jié)構(gòu)的非線性分析需要經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代 運(yùn)算，需要的時(shí)間一般要比線性分析時(shí)多得多。 這樣，收斂條件的正確與靈活運(yùn)用就十分重 要，以便在獲得滿意的計(jì)算精度的同時(shí)節(jié)約計(jì)算時(shí)間，這里需要一定的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)作為基礎(chǔ)。上述帶有流動(dòng)坐標(biāo)的迭代法對(duì)于板和殼的大位移分析也可以適用，只是單元?jiǎng)偠染仃嚨男问讲煌藭r(shí)