09章01_02多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用(1)

1、第9章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用本章討論多元函數(shù)的微分學(xué)多元函數(shù)的基本概念、理論和方法與一元函數(shù)中的概念、理論、方法有很多相似之處只是由于自變量的增加，而使問題變得多樣和復(fù)雜些我們將著重以二元函數(shù)為例討論多元函數(shù)其理由有二：（1）從一元函數(shù)到二元函數(shù)，在內(nèi)容和方法上會(huì)有一些實(shí)質(zhì)性的差別和變化，而從二元函數(shù)到三元函數(shù)乃至一般的元函數(shù)，只是形式上的不同，沒有本質(zhì)的區(qū)別，掌握了二元函數(shù)的相關(guān)理論和方法后，很容易將其推廣到一般的多元函數(shù)中去；（2）二元函數(shù)有直觀幾何幫助思考，而多于二元的函數(shù)再也沒有直觀幾何。我們必須時(shí)時(shí)注意多元函數(shù)與一元函數(shù)有哪些相似之處和哪些本質(zhì)差別。熟練二元，推廣到元。本章必需上冊(cè)

2、一元函數(shù)的極限、連續(xù)與間斷、導(dǎo)數(shù)、微分基礎(chǔ)知識(shí)和求導(dǎo)方法請(qǐng)同學(xué)們務(wù)必認(rèn)真復(fù)習(xí)。第1節(jié) 多元函數(shù)的基本概念1.1點(diǎn)集我們知道，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，直角坐標(biāo)系下，平面上的點(diǎn)與二元坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)，空間中的點(diǎn)與三元坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)。數(shù)軸是，稱為1維空間；平面是，稱為2維空間；空間是，稱為3維空間表示全體元坐標(biāo)的集合，即，稱為維空間，其中每個(gè)元坐標(biāo)都稱為一個(gè)（維）點(diǎn)我們把維向量也寫為。表示維點(diǎn)還是維向量，要看上下文。兩個(gè)維向量相加（減）還是對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加（減）；數(shù)乘維向量還是乘遍每個(gè)坐標(biāo)。維空間的兩點(diǎn)，間的距離為，稱為維向量的模1.2鄰域設(shè)。點(diǎn)集稱為點(diǎn)的圓鄰域。是以點(diǎn)為中心，為半徑，去掉圓周的圓盤點(diǎn)集稱為

3、的去心圓鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn)的方鄰域點(diǎn)集稱為的去心方鄰域推廣到維空間：設(shè)。點(diǎn)的圓鄰域；的去心圓鄰域：；的方鄰域：；的去心方鄰域：容易看出，點(diǎn)的任一圓鄰域一定包含某個(gè)方鄰域；反之，任一個(gè)方鄰域也一定包含一個(gè)圓鄰域通常說鄰域是指的圓鄰域思考題：1集合與, 是否相同？（見右圖。）。1.3內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)、聚點(diǎn)我們來考察點(diǎn)與點(diǎn)集的關(guān)系設(shè)。觀察右圖，看看點(diǎn)有什么不同的本質(zhì)。1點(diǎn)：若存在點(diǎn)的某鄰域使。這樣的點(diǎn)稱為點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)的全部?jī)?nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合記為或2點(diǎn)：存在點(diǎn)的某鄰域使。這樣的點(diǎn)稱為點(diǎn)集的外點(diǎn) 3點(diǎn)：在點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)，既有屬于的點(diǎn)，又有不屬于的點(diǎn)，即：。這樣的點(diǎn)稱為點(diǎn)集E的邊界點(diǎn)點(diǎn)集的全體邊界點(diǎn)的集合稱為的邊

4、界，記為4聚點(diǎn)：若的任一去心鄰域內(nèi)，總含有屬于集合的點(diǎn)，即，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集的聚點(diǎn)的全部聚點(diǎn)記為5孤立點(diǎn)：若，且不是的聚點(diǎn)，即存在P的某鄰域，使，則稱點(diǎn)P為的孤立點(diǎn)顯然有：；，且右端三個(gè)集合互不相交集合的內(nèi)點(diǎn)必是聚點(diǎn)，外點(diǎn)一定不是聚點(diǎn)；而邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)，也可能不是聚點(diǎn)；孤立點(diǎn)一定是邊界點(diǎn)，非孤立點(diǎn)的邊界點(diǎn)一定是聚點(diǎn)例如，。若，則P為E的內(nèi)點(diǎn)；若或，則P為的邊界點(diǎn)，也是聚點(diǎn)；但為的孤立點(diǎn)、邊界點(diǎn)，不是聚點(diǎn)以上全部?jī)?nèi)容都可推廣到維空間。1.4區(qū)域、閉區(qū)域觀察右圖，看看點(diǎn)集有什么不同的本質(zhì)。點(diǎn)集：的點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)。這樣的點(diǎn)集稱為開集點(diǎn)集：的余集（）是（中的）開集。即包含自己的全部聚點(diǎn)。這樣的點(diǎn)集稱為閉

5、集稱集合的全部聚點(diǎn)為集合的閉包點(diǎn)集：不開不閉例如：為中閉集，為中開集， 既不是中開集，也不是中閉集關(guān)于開集和閉集，有如下結(jié)論定理1.1 (1) 空集與全集是開集；任意多個(gè)開集之并為開集；有限多個(gè)開集之交為開集 (2) 空集與全集是閉集；有限多個(gè)閉集之并為閉集；任意多個(gè)閉集之交為閉集3有界集：設(shè)。若存在一定點(diǎn)又存在，使得，有，則稱是有界集，否則稱是無界集有界集可以包含在某個(gè)大圓盤內(nèi)，無界集則不可以。4區(qū)域：設(shè)D是中的一個(gè)開集，如果對(duì)D中的任意兩點(diǎn)P1,P2，都可用D內(nèi)的一條折線 (由有限條直線段連接起來的連續(xù)曲線) 將P1與P2連接起來，則稱D是一個(gè)連通的開集連通的開集稱為開區(qū)域，簡(jiǎn)稱為區(qū)域如果

6、區(qū)域D中的任一條閉曲線所包圍的點(diǎn)都屬于D，則稱區(qū)域D為單連通區(qū)域，否則稱D為復(fù)連通區(qū)域5閉區(qū)域：區(qū)域與它的邊界一起所構(gòu)成的集合，稱為閉區(qū)域連通不連通單連通復(fù)連通如：是閉區(qū)域；是開區(qū)域；是閉集，但不是閉區(qū)域；是開集，但不是開區(qū)域思考題：2無限多個(gè)開集之交是否一定為開集；無限多個(gè)閉集之并是否一定為閉集（不一定。例如，。）3設(shè)，試指出其邊界點(diǎn)及聚點(diǎn)（邊界；聚點(diǎn)集。）以上全部?jī)?nèi)容都可推廣到維空間。1.5*平面點(diǎn)列的極限一列無窮無盡的平面點(diǎn) （1.1）稱為平面上的一個(gè)點(diǎn)列，記為。定義 設(shè)是平面上的點(diǎn)列，定點(diǎn)。如果對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱點(diǎn)為點(diǎn)列的極限記作 或 ，或上面定義的意思是：。

7、定理1.2 平面點(diǎn)列收斂于的充分必要條件是：對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)數(shù)列，分別收斂于即證必要性設(shè)，當(dāng)時(shí)，有，于是，充分性設(shè)，則對(duì)，當(dāng)時(shí)，有；，當(dāng)時(shí)，有取，當(dāng)時(shí)，故以上全部?jī)?nèi)容都可推廣到維空間。根據(jù)定理1.2，點(diǎn)列的極限可以轉(zhuǎn)化為若干數(shù)列的極限。點(diǎn)列的極限再?zèng)]有新的內(nèi)容。*定理1.3(柯西收斂定理)平面點(diǎn)列收斂的充分必要條件是：對(duì)，當(dāng)時(shí)，有證明略去【例1.1】 證明：是的聚點(diǎn)的充分必要條件是：存在的點(diǎn)列，證充分性若存在，則對(duì)，當(dāng)時(shí)，又，故在的任一去心鄰域中都含有中的點(diǎn)，所以是的聚點(diǎn)必要性若是的聚點(diǎn)，則對(duì)，令，則存在，令，則存在；且顯然，如此下去，令，則存在，。我們得到了點(diǎn)列，因此1.6多元函數(shù)一元函數(shù)是實(shí)數(shù)集

8、到實(shí)數(shù)集的映射。類似地，多元函數(shù)是多維空間中點(diǎn)集到實(shí)數(shù)集的映射。下面我們以二元函數(shù)為例，討論其性質(zhì)所有內(nèi)容和結(jié)果都可以推廣到二元以上的函數(shù)中去定義1.1設(shè)是的一個(gè)非空子集。從到實(shí)數(shù)集的一個(gè)映射f稱為定義在上的一個(gè)二元函數(shù)，記作 或 ，定義1.1 設(shè)是的一個(gè)非空子集，為實(shí)數(shù)集，是與之間的對(duì)應(yīng)法則。如果對(duì)于中的每一個(gè)點(diǎn)，按照對(duì)應(yīng)法則f，在中有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)z與對(duì)應(yīng)，則稱在上定義了一個(gè)二元函數(shù)，記作：，稱為函數(shù)在點(diǎn)的值。其中稱為函數(shù)f的自變量，z稱為函數(shù)f的因變量，稱為f的定義域類似地，定義1.2設(shè)是的一個(gè)非空子集。從到實(shí)數(shù)集的一個(gè)映射f稱為定義在上的一個(gè)三元函數(shù)，記作 或 ，定義1.2 設(shè)是的一個(gè)非

9、空子集，為實(shí)數(shù)集，是與之間的對(duì)應(yīng)法則。如果對(duì)于中的每一個(gè)點(diǎn)，按照對(duì)應(yīng)法則f，在中有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)，則稱在上定義了一個(gè)三元函數(shù)，記作：，稱為函數(shù)在點(diǎn)的值。其中稱為函數(shù)f的自變量，u稱為函數(shù)f的因變量，稱為f的定義域以上全部?jī)?nèi)容都可推廣到元。定義1.n設(shè)是的一個(gè)非空子集。從到實(shí)數(shù)集的一個(gè)映射f稱為定義在上的一個(gè)n元函數(shù)，記作 或 ，定義1.n 設(shè)是的一個(gè)非空子集，為實(shí)數(shù)集，是與之間的對(duì)應(yīng)法則。如果對(duì)于中的每一個(gè)點(diǎn)，按照對(duì)應(yīng)法則f，在中有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)與對(duì)應(yīng)，則稱在上定義了一個(gè)n元函數(shù)，記作：或稱為函數(shù)在點(diǎn)的值。其中稱為函數(shù)f的自變量，y稱為函數(shù)f的因變量，稱為f的定義域二元函數(shù)的圖像為3維空間中

10、的點(diǎn)集：，它表示的是三維空間中的一張曲面。曲面在點(diǎn)的高正好是，曲面在面上的投影正好是函數(shù)的定義域可見，二元函數(shù)有幾何直觀幫助思考。二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù)。與一元函數(shù)類似，多元函數(shù)也有三種表示方法。由某個(gè)解析式表示的多元函數(shù)的（自然）定義域是所有使算式有意義的自變量的點(diǎn)所構(gòu)成的集合例如：函數(shù)的定義域?yàn)椋缓瘮?shù)的定義域?yàn)榕c一元函數(shù)類似，多元函數(shù)也可進(jìn)行四則運(yùn)算，也有復(fù)合函數(shù)。多元基本初等函數(shù)：各種各樣自變量的一元基本初等函數(shù)。例如，等等。多元初等函數(shù)：基本初等函數(shù)進(jìn)行有限次四則運(yùn)算或復(fù)合的結(jié)果函數(shù)。多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)有多種情形。例如，（1）如果，則有結(jié)果是一元的復(fù)合函數(shù)。（2）如果，則有結(jié)果是二

11、元的復(fù)合函數(shù)。（3）如果，則有復(fù)合函數(shù)。（4）如果，則有結(jié)果是四元的復(fù)合函數(shù)。等等。設(shè)，是的函數(shù)時(shí)我們畫圖是的函數(shù)時(shí)我們畫圖是的函數(shù)時(shí)我們畫圖結(jié)果復(fù)合函數(shù)的圖如下 根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)畫出來的這種圖稱為函數(shù)圖（一棵橫放的樹）。上圖中，函數(shù)稱為函數(shù)圖的根；有五個(gè)葉子；從一個(gè)葉子到根的路線稱為一條路徑（上函數(shù)圖中共有五條路徑：）。思考題：4設(shè)為二元函數(shù)，試問（a為常數(shù)）能否寫為？（不能。）5與是否相等？（不等。）6與是否表示同一函數(shù)？為什么？（不同。定義域不一樣。）7設(shè)；問它們是否為的二元函數(shù)？（是。）習(xí)題9-1A類*1設(shè)集合，問點(diǎn)，分別為集合的什么點(diǎn)？*2求下列集合的內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)(1) ；(2)

12、；(3) 3判斷下列集合中，哪些是開集，閉集，有界集及區(qū)域并指出其聚點(diǎn)和邊界點(diǎn)(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；*(5) 4求下列函數(shù)的定義域：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 5求解下列各題(1) 設(shè)，求(2) 設(shè)，求(3) 設(shè)，若，求6設(shè)若當(dāng)時(shí)，求函數(shù)和7設(shè)，求B類*證明：閉區(qū)域必為閉集舉例說明反之不成立*試仿照中點(diǎn)的鄰域的定義，寫出中點(diǎn)的鄰域的定義*給維空間的每一個(gè)元賦予范數(shù)后，稱為歐幾里得(Euclid)空間，其范數(shù)稱為向量的歐幾里得長度試證，范數(shù)有下列性質(zhì)：(1) ；(2) ；(3) (三角不等式)第2節(jié)多元函數(shù)的極限及連續(xù)性2.1多元函數(shù)的極限下面我們以二元函數(shù)為例，給出

13、多元函數(shù)的極限的概念定義2.1設(shè)是定義在上的一個(gè)二元函數(shù)，是的聚點(diǎn)，是固定的常數(shù)。如果對(duì)于任意給定的，只要，就保證則稱為函數(shù)當(dāng)點(diǎn)趨于時(shí)的極限，記作或，也記為注意：稱此極限為二重極限注 二重極限的定義也可表示為：，當(dāng)（或當(dāng)，且）時(shí)， 對(duì)于多元函數(shù)的極限，由于點(diǎn)的鄰域是一個(gè)平面點(diǎn)集，點(diǎn)趨近于點(diǎn)時(shí)，可沿鄰域內(nèi)的任意曲線。因此，二重極限存在的充分必要條件是：當(dāng)點(diǎn)在鄰域內(nèi)以任何方式趨近于時(shí)，都以常數(shù)為極限如果找到點(diǎn)在鄰域中以兩種不同的方式趨近于時(shí)，趨近于不同的常數(shù)，則便可斷定在點(diǎn)處極限不存在（證明極限不存在的方法?。┑囊饬x有二：（1）左邊極限存在；（2）等號(hào)成立。 一元函數(shù)的極限運(yùn)算法則可平行地推廣到二

14、元函數(shù)的極限運(yùn)算上來定義2.n設(shè)是定義在上的一個(gè)n元函數(shù)，是的聚點(diǎn)，是固定的常數(shù)。如果對(duì)于任意給定的，只要，就保證則稱為函數(shù)當(dāng)點(diǎn)趨于時(shí)的極限，記作或，也記為注意：思考題：1二元函數(shù)極限的定義對(duì)于是函數(shù)定義域的邊界點(diǎn)的情形是否適用？（是。）2對(duì)于二元函數(shù)來說，當(dāng)沿任意直線趨近于時(shí)，極限值都存在且相等，問是否存在？（不一定。）【例2.1】 用定義驗(yàn)證解，取，當(dāng)時(shí)，故草稿：因?yàn)椋?，【?.2】 求極限解因?yàn)椋裕}目：給定，求。方法總結(jié)：把一組東西看作一個(gè)整體，變?yōu)橐辉瘮?shù)求極限。）【例2.3】 討論極限是否存在解考慮，即讓動(dòng)點(diǎn)沿直線趨近于原點(diǎn)，因，故當(dāng)點(diǎn)沿直線趨近于原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)趨近于數(shù)，此值

15、與的取值有關(guān)，即當(dāng)取不同的值時(shí)，函數(shù)趨近于不同的常數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限不存在（令，時(shí) ，此時(shí)，與有關(guān)，故不存在）（題目（考點(diǎn)）：給定，證明不存在。方法總結(jié)：湊一個(gè)函數(shù)（比如說經(jīng)常），如果且與有關(guān)，則不存在。）思考題：3運(yùn)算正確嗎？（不對(duì)。時(shí)可能是異號(hào)的無窮大。當(dāng)（不一定非得）時(shí)，不存在。）4因?yàn)椴淮嬖?，所以不存在，?duì)嗎？（不對(duì)。時(shí)，是無窮小而有界，所以存在。）*（泥潭?。?.2* 二次極限如果對(duì)于任意的，進(jìn)一步，若存在，則稱它為先，后時(shí)的二次極限（也稱為累次極限），記為同樣可定義先，后時(shí)的二次極限：如果對(duì)于任意的，進(jìn)一步，若存在，則稱它為先，后時(shí)的累次極限記為二次極限與二重極限的關(guān)系：1二次

16、極限與二重極限是完全不同的極限概念，二重極限的存在，不能保證二次極限存在；兩個(gè)二次極限都存在，也不能保證二重極限存在2若，且對(duì)任意，存在，則即若，且對(duì)任意，存在，則即若，且及存在，則3若兩個(gè)二次極限存在，但不相等，則二重極限不存在【例2.4】 討論函數(shù)下列函數(shù)在點(diǎn)處的二重極限與二次極限(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解(1) 因；，故不存在(2) 顯然不存在，也不存在，即兩個(gè)二次極限不存在，故也不存在(3) 因不存在，故不存在；因?yàn)椋是?4) 顯然，而不存在，故不存在，所以不存在；同理不存在因，故【例2.5】 證明：對(duì)于函數(shù)，有：，而不存在證因，故，同理另一方面，若令，若令，則，故不存

17、在2.3多元函數(shù)的連續(xù)性讓自變量分別有增量，引起函數(shù)有全增量容易看出我們給二元函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義如下定義2.2設(shè)是定義在上的二元函數(shù)，是的聚點(diǎn)且，如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)；否則稱在是間斷的，稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性也可用“”語言描述：如果函數(shù)在內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)，或稱為中的連續(xù)函數(shù)若區(qū)域是閉區(qū)域，則當(dāng)在內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，且對(duì)于邊界上的點(diǎn)滿足，則稱在閉區(qū)域上是連續(xù)的定義2.2設(shè)是定義在上的二元函數(shù)，是的聚點(diǎn)且若在處，自變量各自取得增量，則相應(yīng)的函數(shù)取得增量，若，則稱為函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)定義2.n設(shè)是定義在上的n元函數(shù)，是的聚點(diǎn)且，()如果，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)，稱為

18、函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)；否則稱在是間斷的，稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性也可用“”語言描述：如果函數(shù)在內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)，或稱為中的連續(xù)函數(shù)若區(qū)域是閉區(qū)域，則當(dāng)在內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，且對(duì)于邊界上的點(diǎn)滿足，則稱在閉區(qū)域上是連續(xù)的對(duì)于多元函數(shù)，除可能存在間斷點(diǎn)外，還可能存在間斷線，間斷面等多元連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則及多元函數(shù)的連續(xù)性與一元函數(shù)相同：多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母函數(shù)不為零處）仍是連續(xù)函數(shù)，多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也仍是連續(xù)函數(shù)多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的（題目（考點(diǎn)）：給定，證明在不連續(xù)。方法總結(jié)：湊一個(gè)函數(shù)（比如說），如果且與有關(guān)，則不存在，從而在不連續(xù)。）下面我們不加證明地給出有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)性質(zhì)，其分別與有界閉區(qū)間上的一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相對(duì)應(yīng)：定理2.1(有界性)有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)在此閉區(qū)域上是有界的定理2.2(最大值最小值定理) 有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)在此區(qū)域上必存在最大值和最小值定理2.3(介值定理) 有界閉區(qū)