綜合法分析法

1、§2.1 綜合法 姓名 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解演繹推理及直接證明的一種基本方法 綜合法2理解綜合法的思考過程、特點，會用綜合法證明數(shù)學(xué)問題二、 學(xué)習(xí)過程（一）復(fù)習(xí)1：復(fù)習(xí)2：課本P6最后兩段合情推理為演繹推理確定了目標(biāo)和方向，演繹推理為合情推理提供了前提且對猜想作出判決和證明。 否定猜想-舉反例猜想需要推理 肯定猜想-證明（二）知識導(dǎo)學(xué)從 性的原理出發(fā),推出某個 情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.演繹推理的一般模式：(1) -已知的一般原理; (2) -所研究的特殊情況; (3) -根據(jù)一般原理,對特殊情況作出判斷.例如：1、每一個司機都應(yīng)該遵守交通規(guī)則，

2、（ ）小李是司機， （ ）所以，小李應(yīng)該遵守交通規(guī)則。 （ ）2、設(shè)m為實數(shù),求證:方程x2-2mx+m-1=0有兩個相異的實根. 利用三段論證明時,大前提: ; 小前提: ; 結(jié)論: . 3、寫出用三段論證明f(x)=x3+sin x(xR)為奇函數(shù)的步驟.大前提: ; 小前提: ; 結(jié)論: . 三段論的基本格式MP（M是P） （大前提）SM（S是M） （小前提）SP（S是P）（結(jié)論）三段論推理的依據(jù),用集合的觀點來理解:如右上圖。 演繹推理是由 到 的推理,從一般性的原理出發(fā),通過三段論的模式,推出某個特殊情況下的結(jié)論,因而只要

3、、 、 都正確,結(jié)論就一定正確,即演繹推理得出的結(jié)論是可靠的. （三）引入新課引例：四邊形ABCD是平行四邊形，求證：AB=CD，BC=DA。證： 連結(jié)AC，因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以AB/CD，BC/DA。故1=2，3=4。又AC=CA， ABCCDA 。故 AB=CD，BC=DA。思考：若利用三段論來證明,大前提，小前提，結(jié)論分別是什么？直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為直接證明，其一般形式為： 。 （左右，即綜合法；右左，即分析法）綜合法和分析法是直接證明的兩種基本方法。思考：綜合法的推理過程是合情推理還是演繹推理？（四）學(xué)習(xí)新知1綜合法的定義從命題的

4、出發(fā)，利用 、 、 及 ，通過 ，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明，這種思維方法稱為綜合法(順推證法) 2綜合法證明的思維過程用P表示已知條件、已知的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法的思維過程可用框圖表示為：說明：(1)綜合法是“_ ”，其特點是從“已知”看“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法(2)綜合法的書寫形式一般為：“ 因為 所以 ” (或“ ”)或 “ ”.3綜合法證明問題的步驟第一步：分析條件，選擇方向仔細分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確

5、定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法第二步：轉(zhuǎn)化條件，組織過程把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉(zhuǎn)化組織過程時要有嚴(yán)密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路第三步：適當(dāng)調(diào)整，回顧反思解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調(diào)整，有些語言可做適當(dāng)?shù)男揎?，反思總結(jié)解題方法的選?。ㄎ澹├}分析例1 求證：是函數(shù)的一個周期。利用三段論證明時,大前提:一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在_，對定義域內(nèi)的任意一個x值，都有_，我們就把f(x)稱為周期函數(shù)，_稱為這個函數(shù)的周期小前提: ; 結(jié)論: . 思考：如何用綜合法書寫證明過程？例2：（韋達定理）已知和是一元二次方程的兩個

6、根。求證：。利用三段論證明時,大前提: ;小前提: ; 結(jié)論: . 思考：如何用綜合法書寫證明過程？例3：已知：x,y,z為互不相等的實數(shù)，且求證：證明：根據(jù)條件可得又由x,y,z為互不相等的實數(shù)，所以上式可變形為 。 同理可得 所以 (六)課堂練習(xí)：在中，三個內(nèi)角、對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且、成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：為等邊三角形分析：由A,B,C是ABC的內(nèi)角可得什么？由A,B,C成等差數(shù)列可得什么？由a,b,c成等差數(shù)列可得什么？(六)課堂練習(xí)：課本第9頁練習(xí)(七)課外作業(yè)：課本第12頁習(xí)題1-2 2，3 學(xué)習(xí)評價 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（

7、 ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 組長或教師評價 該同學(xué)（學(xué)生）完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差§2.2 分析法(一) 姓名 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，了解直接證明的基本方法之一 -分析法；2. 了解分析法的思考過程、特點。二、 學(xué)習(xí)過程（一）復(fù)習(xí)：1綜合法的定義從命題的 出發(fā)，利用 、 、 及 ，通過 ，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明，這種思維方法稱為綜合法(順推證法) 2綜合法證明的思維過程用P表示已知條件、已知的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法的思維過程可用框

8、圖表示為：3. 特點：(1)綜合法是“_ ”，是從“已知”看“未知”，其逐步推理，實際上是尋找它的必要條件（二）引入新課例1 已知：a，b是不相等的正數(shù)。求證：。證明： a，b是不相等的正數(shù)， 即 即 。思考：這種證法是綜合法嗎？例1 已知：a，b是不相等的正數(shù)。求證：。證明（課本P9上的證法）：（三）學(xué)習(xí)新知1分析法的定義從 出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的 ，直到歸結(jié)為這個命題的 ，或者歸結(jié)為 、 、 等，這種思維方法稱為分析法2分析法證明的思維過程用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法的思維過程可用框圖表示為：說明：(1)分析法是“_ ”，其特點是從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”，

9、其逐步推理，實際上是尋找它的充分條件(2)分析法的書寫形式一般為：要證明只需證明即證明得到一個明顯成立的條件，所以結(jié)論成立. 或用“ ”。（3）從分析法的最后一步又可以倒推回去，直到結(jié)論，這個倒推的證明方法就是綜合法分析法與綜合法是對立統(tǒng)一的兩種方法例2 求證：。證明：要證明 ，只需證明 ，即 ，只需證明 ，即 56>50，這顯然成立。這樣就證明了例3 求證：函數(shù)在區(qū)間（3，+）上是增加的。證明：要證明函數(shù)在區(qū)間（3，+）上是增加的，只需證明 對于任意，（3，+），且>時，有 ，只需證明 對任意的>>3，有>>3，->0，且+>6，它保證上式成立

10、。這樣就證明了：函數(shù)在區(qū)間（3，+）上是增加的。例4 如圖,SA平面ABC,ABBC,過A作SB的垂線,垂足為E,過E作SC的垂線,垂足為F,求證： AFSC 。證明: 要證AFSC只需證 ，只需證 ，只需證 ，只需證 ，只需證 ，只需證 ，只需證 ，因為:SA平面ABC成立（已知），所以. AFSC成立例5. 設(shè)a,b,c為一個三角形的三邊,且S2=2ab, 試證： s < 2a證明:小結(jié)：分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數(shù)學(xué)解題中，分析法是從數(shù)學(xué)題的待證結(jié)論或需求問題出發(fā)，一步一步地探索下去，最后達到題設(shè)的已知條件。綜合法則是從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)，經(jīng)過逐步的邏輯推理，

11、最后達到待證結(jié)論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現(xiàn)為執(zhí)果索因，綜合法表現(xiàn)為由果導(dǎo)因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應(yīng)用十分廣泛。 (四)課堂練習(xí)：課本第11頁練習(xí)1 1, 2(五)課外作業(yè)：課本第12頁習(xí)題1-2 4，5 學(xué)習(xí)評價 自我評價 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差 組長或教師評價 該同學(xué)（學(xué)生）完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ）. A. 很好 B. 較好 C. 一般 D. 較差§2.2 分析法(二) 姓名 一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實例，進一步了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2. 根據(jù)問題的特點

12、，結(jié)合分析法和綜合法的思考過程、特點，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法 ;3. 了解、掌握兩種方法在解題中的靈活應(yīng)用，交叉應(yīng)用。二、 學(xué)習(xí)過程（一）復(fù)習(xí)引入：1. 分析法與綜合法的區(qū)別與聯(lián)系(1)區(qū)別：綜合法是由因?qū)Ч?，步驟嚴(yán)謹、逐層遞進、步步為營，書寫表達過程條理清晰、形式簡潔，宜于表達推理的思維軌跡缺點是探路艱難、困于思考、不易達到所要證明的結(jié)論分析法是執(zhí)果索因，方向明確、利于思考、思路自然，便于尋找解題思路缺點是思路逆行、易表述出錯兩種方法各有所長，在解決具體的問題時，結(jié)合起來運用效果會更好(2)聯(lián)系：在分析法中，從結(jié)論出發(fā)的每一步所得到的判斷都是使結(jié)論成立的充分條件，最后的一步歸結(jié)為已被證明了的事實

13、因此從分析法的最后一步又可以倒推回去，直到結(jié)論，這個倒推的證明方法就是綜合法2分析綜合法（混合型分析法）分析綜合法是同時從已知條件與結(jié)論出發(fā)，尋找其之間的聯(lián)系而溝通思路的方法在解題過程中，分析法和綜合法是統(tǒng)一的，不能把分析法和綜合法孤立起來使用，分析和綜合相輔相成，有時先分析后綜合，有時先綜合后分析具體做法是：從“欲知”想“已知”(分析)，從“已知”推“可知”(綜合)，雙管齊下，兩面夾擊，找到溝通已知條件和結(jié)論的途徑. 分析綜合法的方法結(jié)構(gòu)如圖所示：（二）例題講解：例1 如圖，已知BE，CF分別為ABC的邊AC，AB上的高，G為EF的中點，H為BC的中點.求證：HGEF.證明：考慮待證的結(jié)論“

14、HGEF” .根據(jù)命題的條件：G為EF的中點，連接EH，HF， 法 只要證明EHF為等腰三角形，即EH=HF.根據(jù)條件CFAB，且H為BC的中點，可知FH是RtBCF斜邊上的中線.所以 .同理 . 法這樣就證明了EHF為等腰三角形.所以 HGEF.思考：只用綜合法，如何書寫證明過程？若只用分析法，又如何書寫呢？例2 已知：a，b，c都是正實數(shù)，且ab+bc+ca=1.求證：a+b+c.證明：考慮待證的結(jié)論“a+b+c” ，因為a+b+c0，只需證明，題后小結(jié)：選擇綜合法或分析法證明不等式(1)綜合法是證明不等式的最基本、最常用的方法，由條件或一些重要不等式入手，難度不大的不等式證明多直接采用綜

15、合法，但對于比較復(fù)雜的不等式的證明還需要結(jié)合分析法等其他方法及技巧才能完成(2)對于一些條件復(fù)雜、結(jié)論簡單的不等式的證明經(jīng)常用綜合法；對于一些條件簡單、結(jié)論復(fù)雜的不等式的證明常用分析法（三）練習(xí)：1欲證<成立，只需證()A()2<()2 B()2<()2C()2<()2 D()2<()22在不等邊三角形中，a為最長邊，要想得到A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿足條件()Aa2<b2c2 Ba2b2c2 Ca2>b2c2 Da2b2c23要證：a2b21a2b20，只要證明()A2ab1a2b20 Ba2b210 C.1a2b20 D(a21)(b21)04若P，Q(a0)，則P，Q的大小關(guān)