考研必備超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié)

1、2011考研必備：超經(jīng)典的考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)與題型歸類分析總結(jié)1高數(shù)部分1.1 高數(shù)第一章函數(shù)、極限、連續(xù)1.2 求極限題最常用的解題方向：1.利用等價(jià)無(wú)窮小；2.利用洛必達(dá)法則，對(duì)于型和型的題目直接用洛必達(dá)法則，對(duì)于、型的題目則是先轉(zhuǎn)化為型或型，再使用洛比達(dá)法則；3.利用重要極限，包括、；4.夾逼定理。1.3 高數(shù)第二章導(dǎo)數(shù)與微分、第三章不定積分、第四章定積分第二章導(dǎo)數(shù)與微分與前面的第一章函數(shù)、極限、連續(xù)、后面的第三章不定積分、第四章定積分都是基礎(chǔ)性知識(shí)，一方面有單獨(dú)出題的情況，如歷年真題的填空題第一題常常是求極限；更重要的是在其它題目中需要做大量的靈活運(yùn)用，故非常有必要打牢基礎(chǔ)。對(duì)于第三章不定積

2、分，陳文燈復(fù)習(xí)指南分類討論的非常全面，范圍遠(yuǎn)大于考試可能涉及的范圍。在此只提醒一點(diǎn)：不定積分中的積分常數(shù)C容易被忽略，而考試時(shí)如果在答案中少寫這個(gè)C會(huì)失一分。所以可以這樣建立起二者之間的聯(lián)系以加深印象：定積分的結(jié)果可以寫為F(x)+1，1指的就是那一分，把它折彎后就是中的那個(gè)C,漏掉了C也就漏掉了這1分。第四章定積分及廣義積分可以看作是對(duì)第三章中解不定積分方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵除了運(yùn)用各種積分方法以外還要注意定積分與不定積分的差異出題人在定積分題目中首先可能在積分上下限上做文章：對(duì)于型定積分，若f(x)是奇函數(shù)則有=0；若f(x)為偶函數(shù)則有=2；對(duì)于型積分，f(x)一般含三角函數(shù)，此時(shí)用的代

3、換是常用方法。所以解這一部分題的思路應(yīng)該是先看是否能從積分上下限中入手，對(duì)于對(duì)稱區(qū)間上的積分要同時(shí)考慮到利用變量替換x=-u和利用性質(zhì) 、。在處理完積分上下限的問題后就使用第三章不定積分的套路化方法求解。這種思路對(duì)于證明定積分等式的題目也同樣有效。1.4 高數(shù)第五章中值定理的證明技巧由本章中值定理的證明技巧討論一下證明題的應(yīng)對(duì)方法。用以下這組邏輯公式來(lái)作模型：假如有邏輯推導(dǎo)公式AE、(AB)C、(CDE)F,由這樣一組邏輯關(guān)系可以構(gòu)造出若干難易程度不等的證明題，其中一個(gè)可以是這樣的：條件給出A、B、D，求證F成立。為了證明F成立可以從條件、結(jié)論兩個(gè)方向入手，我們把從條件入手證明稱之為正方向，把

4、從結(jié)論入手證明稱之為反方向。正方向入手時(shí)可能遇到的問題有以下幾類：1.已知的邏輯推導(dǎo)公式太多，難以從中找出有用的一個(gè)。如對(duì)于證明F成立必備邏輯公式中的AE就可能有AH、A(IK)、(AB)M等等公式同時(shí)存在，有的邏輯公式看起來(lái)最有可能用到，如(AB)M，因?yàn)槠渲猩婕傲祟}目所給的3個(gè)條件中的2個(gè)，但這恰恰走不通； 2.對(duì)于解題必須的關(guān)鍵邏輯推導(dǎo)關(guān)系不清楚，在該用到的時(shí)候想不起來(lái)或者弄錯(cuò)。如對(duì)于模型中的(AB)C，如果不知道或弄錯(cuò)則一定無(wú)法得出結(jié)論。從反方向入手證明時(shí)也會(huì)遇到同樣的問題。通過對(duì)這個(gè)模型的分析可以看出，對(duì)可用知識(shí)點(diǎn)掌握的不牢固、不熟練和無(wú)法有效地從眾多解題思路中找出答案是我們解決不了

5、證明題的兩大原因。針對(duì)以上分析，解證明題時(shí)其一要靈活，在一條思路走不通時(shí)必須迅速轉(zhuǎn)換思路，而不應(yīng)該再?gòu)念^開始反復(fù)地想自己的這條思路是不是哪里出了問題；另外更重要的一點(diǎn)是如何從題目中盡可能多地獲取信息。當(dāng)我們解證明題遇到困難時(shí)，最常見的情況是拿到題莫名其妙，感覺條件與欲證結(jié)論簡(jiǎn)直是風(fēng)馬牛不相及的東西，長(zhǎng)時(shí)間無(wú)法入手；好不容易找到一個(gè)大致方向，在做若干步以后卻再也無(wú)法與結(jié)論拉近距離了。從出題人的角度來(lái)看，這是因?yàn)闆]能夠有效地從條件中獲取信息。“盡可能多地從條件中獲取信息”是最明顯的一條解題思路，同時(shí)出題老師也正是這樣安排的，但從題目的“欲證結(jié)論”中獲取信息有時(shí)也非常有效。如在上面提到的模型中，如果

6、做題時(shí)一開始就想到了公式(CDE)F再倒推想到 (AB)C、 AE就可以證明了。如果把主要靠分析條件入手的證明題叫做“條件啟發(fā)型”的證明題，那么主要靠“倒推結(jié)論”入手的“結(jié)論啟發(fā)型”證明題在中值定理證明問題中有很典型的表現(xiàn)。其中的規(guī)律性很明顯，甚至可以以表格的形式表示出來(lái)。下表列出了中值定理證明問題的幾種類型：條件欲證結(jié)論可用定理A關(guān)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，常常是只有連續(xù)性已知存在一個(gè)滿足某個(gè)式子介值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）零值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）B條件包括函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個(gè)滿足費(fèi)爾馬定理（結(jié)論部分為：）洛爾定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）C條件包括函

7、數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)、在開區(qū)間上可導(dǎo)存在一個(gè)滿足拉格朗日中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）柯西中值定理（結(jié)論部分為：存在一個(gè)使得）另外還常利用構(gòu)造輔助函數(shù)法，轉(zhuǎn)化為可用費(fèi)爾馬或洛爾定理的形式來(lái)證明從上表中可以發(fā)現(xiàn)，有關(guān)中值定理證明的證明題條件一般比較薄弱，如表格中B、C的條件是一樣的，同時(shí)A也只多了一條“可導(dǎo)性”而已；所以在面對(duì)這一部分的題目時(shí)，如果把與證結(jié)論與可能用到的幾個(gè)定理的的結(jié)論作一比較，會(huì)比從題目條件上挖掘信息更容易找到入手處。故對(duì)于本部分的定理如介值、最值、零值、洛爾和拉格朗日中值定理的掌握重點(diǎn)應(yīng)該放在熟記定理的結(jié)論部分上；如果能夠做到想到介值定理時(shí)就能同時(shí)想起結(jié)論“存在一個(gè)使得”、

8、看到題目欲證結(jié)論中出現(xiàn)類似“存在一個(gè)使得”的形式時(shí)也能立刻想到介值定理；想到洛爾定理時(shí)就能想到式子；而見到式子也如同見到拉格朗日中值定理一樣，那么在處理本部分的題目時(shí)就會(huì)輕松的多，時(shí)常還會(huì)收到“豁然開朗”的效果。所以說，“牢記定理的結(jié)論部分”對(duì)作證明題的好處在中值定理的證明問題上體現(xiàn)的最為明顯。綜上所述，針對(duì)包括中值定理證明在內(nèi)的證明題的大策略應(yīng)該是“盡一切可能挖掘題目的信息，不僅僅要從條件上充分考慮，也要重視題目欲證結(jié)論的提示作用，正推和倒推相結(jié)合；同時(shí)保持清醒理智，降低出錯(cuò)的可能”。希望這些想法對(duì)你能有一點(diǎn)啟發(fā)。不過僅僅弄明白這些離實(shí)戰(zhàn)要求還差得很遠(yuǎn)，因?yàn)樵趯?shí)戰(zhàn)中證明題難就難在答案中用到的

9、變形轉(zhuǎn)換技巧、性質(zhì)甚至定理我們當(dāng)時(shí)想不到；很多結(jié)論、性質(zhì)和定理自己感覺確實(shí)是弄懂了、也差不多記住了，但是在做題時(shí)那種沒有提示、或者提示很少的條件下還是無(wú)法做到靈活運(yùn)用；這也就是自身感覺與實(shí)戰(zhàn)要求之間的差別。這就像在記英語(yǔ)單詞時(shí)，看到英語(yǔ)能想到漢語(yǔ)與看到漢語(yǔ)能想到英語(yǔ)的掌握程度是不同的一樣，對(duì)于考研數(shù)學(xué)大綱中“理解”和“掌握”這兩個(gè)詞的認(rèn)識(shí)其實(shí)是在做題的過程中才慢慢清晰的。我們需要做的就是靠足量、高效的練習(xí)來(lái)透徹掌握定理性質(zhì)及熟練運(yùn)用各種變形轉(zhuǎn)換技巧，從而達(dá)到大綱的相應(yīng)要求，提高實(shí)戰(zhàn)條件下解題的勝算。依我看，最大的技巧就是不依賴技巧，做題的問題必須要靠做題來(lái)解決。高數(shù)第六章常微分方程本章常微分方

10、程部分的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，陳文燈復(fù)習(xí)指南對(duì)一階微分方程、可降階的高階方程、高階方程都列出了方程類型與解法對(duì)應(yīng)的表格。歷年真題中對(duì)于一階微分方程和可降階方程至少是以小題出現(xiàn)的，也經(jīng)常以大題的形式出現(xiàn)，一般是通過函數(shù)在某點(diǎn)處的切線、法線、積分方程等問題來(lái)引出；從歷年考察情況和大綱要求來(lái)看，高階部分不太可能考大題，而且考察到的類型一般都不是很復(fù)雜。對(duì)于本章的題目，第一步應(yīng)該是辨明類型，實(shí)踐證明這是必須放在第一位的；分清類型以后按照對(duì)應(yīng)的求解方法按部就班求解即可。這是因?yàn)槠鋵?shí)并非所有的微分方程都是可解的，在大學(xué)高等數(shù)學(xué)中只討論了有限的可解類型，所以出題的靈活度有限，很難將不同的知識(shí)點(diǎn)緊密結(jié)合或是靈活轉(zhuǎn)換。這樣

11、的知識(shí)點(diǎn)特點(diǎn)就決定了我們可以采取相對(duì)機(jī)械的“辨明類型套用對(duì)應(yīng)方法求解”的套路 ，而且各種類型的求解方法正好也都是格式化的，便于以這樣的方式使用。先討論一下一階方程部分。這一部分結(jié)構(gòu)清晰，對(duì)于各種方程的通式必須牢記，還要能夠?qū)σ谆煜念}目做出準(zhǔn)確判斷。各種類型都有自己對(duì)應(yīng)的格式化解題方法，這些方法死記硬背并不容易，但有規(guī)律可循這些方法最后的目的都是統(tǒng)一的，就是把以各種形式出現(xiàn)的方程都化為f(x)dx=f(y)dy這樣的形式，再積分得到答案。對(duì)于可分離變量型方程，就是變形為=-，再積分求解；對(duì)于齊次方程則做變量替換，則化為，原方程就可化為關(guān)于的可分離變量方程，變形積分即可解；對(duì)于一階線性方程第一步

12、先求的通解，然后將變形得到的積分，第二步將通解中的C變?yōu)镃(x)代入原方程解出C(x)后代入即可得解；對(duì)于貝努利方程，先做變量代換代入可得到關(guān)于z、x的一階線性方程，求解以后將z還原即可；全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy比較特殊，因?yàn)槠溆袟l件，而且解題時(shí)直接套用通解公式.所以，對(duì)于一階方程的解法有規(guī)律可循，不用死記硬背步驟和最后結(jié)果公式。對(duì)于求解可降階的高階方程也有類似的規(guī)律。對(duì)于型方程，就是先把當(dāng)作未知函數(shù)Z，則 原方程就化為 的一階方程形式，積分即得；再對(duì)、依次做上述處理即可求解； 叫不顯含 的二階方程，解法是通過變量替換 、 (p為x的函數(shù))將原方程化為一階方程；叫不顯含x的

13、二階方程，變量替換也是令（但此中的p為y的函數(shù)），則，也可化為一階形式。所以就像在前面解一階方程部分記“求解齊次方程就用變量替換”，“求解貝努利方程就用變量替換”一樣，在這里也要記住“求解不顯含y的二階方程就用變量替換、”、“求解不顯含x的二階方程就用變量替換、”。大綱對(duì)于高階方程部分的要求不高，只需記住相應(yīng)的公式即可。其中二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理與線性代數(shù)中線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理非常相似，可以對(duì)比記憶：若、是齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解，則該齊次方程的通解為若齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系有(n-r)個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則齊次方程組的通解為非齊次方程的通解為，其中是非齊次方程的一個(gè)特解，是

14、對(duì)應(yīng)齊次方程的通解非齊次方程組Ax=b的一個(gè)通解等于Ax=b的一個(gè)特解與其導(dǎo)出組齊次方程Ax=0的通解之和若非齊次方程有兩個(gè)特解，則對(duì)應(yīng)齊次方程的一個(gè)解為若、是方程組Ax=b的兩個(gè)特解，則(-)是其對(duì)應(yīng)齊次方程組Ax=0的解由以上的討論可以看到，本章并不應(yīng)該成為高數(shù)部分中比較難辦的章節(jié)，因?yàn)檫@一章如果有難點(diǎn)的話也僅在于“如何準(zhǔn)確無(wú)誤地記憶各種方程類型及對(duì)應(yīng)解法”，也可以說本章難就難在記憶量大上。1.5 高數(shù)第七章一元微積分的應(yīng)用本章包括導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與定積分應(yīng)用兩部分，其中導(dǎo)數(shù)應(yīng)用在大題中出現(xiàn)較少，而且一般不是題目的考察重點(diǎn)；而定積分的應(yīng)用在歷年真題的大題中經(jīng)常出現(xiàn)，常與常微分方程結(jié)合。典型的構(gòu)題方

15、式是利用變區(qū)間上的面積、體積或弧長(zhǎng)引出積分方程，一般需要把積分方程中的變上限積分單獨(dú)分離到方程的一端形成“”的形式，在兩邊求導(dǎo)得到微分方程后套用相關(guān)方程的對(duì)應(yīng)解法求解。對(duì)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，有以下一些小知識(shí)點(diǎn)：1. 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和研究極、最值。其中判斷函數(shù)增減性可用定義法或求導(dǎo)判斷，判定極、最值時(shí)則須注意以下兩點(diǎn)： A. 極值的定義是：對(duì)于的鄰域內(nèi)異于的任一點(diǎn)都有或,注意是或 而不是或； B. 極值點(diǎn)包括圖1、圖2兩種可能，所以只有在在處可導(dǎo)且在處取極值時(shí)才有。以上兩點(diǎn)都是實(shí)際做題中經(jīng)常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。2. 討論方程根的情況。這一部分常用定理有零值定理（結(jié)論部分為）、洛爾

16、定理（結(jié)論部分為）；常用到構(gòu)造輔助函數(shù)法；在作題時(shí)，畫輔助圖會(huì)起到很好的作用，尤其是對(duì)于討論方程根個(gè)數(shù)的題目，結(jié)合函數(shù)圖象會(huì)比較容易判斷。3. 理解區(qū)分函數(shù)圖形的凸凹性和極大極小值的不同判定條件：A.若函數(shù)在 區(qū)間I上的，則在I上是凸的；若在I上的，則在I上是凹的；B.若在點(diǎn)處有且，則當(dāng)時(shí)為極大值，當(dāng)時(shí)為極小值。其中，A是判斷函數(shù)凸凹性的充要條件，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，是的變化率，是的變化率?？梢哉f明函數(shù)是增函數(shù)，典型圖像是； 可以說明函數(shù)的變化率在區(qū)間I上是遞減的，包括以下兩種可能：a.此時(shí)為正，且隨變大而變?。ù笮￡P(guān)系可參考圖3）；b.此時(shí)為負(fù)，隨變大而變小（大小關(guān)系可參考圖3）；同樣，也只有兩種

17、對(duì)應(yīng)圖像：c.此時(shí)為正，隨著變大而變大；d.此時(shí)為負(fù)，隨變大而變大。所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凸的；當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)或的函數(shù)圖像，是凹的。相比之下，判斷函數(shù)極大極小值的充分條件比判斷函數(shù)凸凹性的充要條件多了“且”，這從圖像上也很容易理解：滿足的圖像必是凸的，即或，當(dāng)且時(shí)不就一定是的情況嗎。對(duì)于定積分的應(yīng)用部分，首先需要對(duì)微元法熟練掌握。在歷年考研真題中，有大量的題是利用微元法來(lái)獲得方程式的，微元法的熟練應(yīng)用是倍受出題老師青睞的知識(shí)點(diǎn)之一；但是由于微元法這種方法本身有思維上的跳躍，對(duì)于這種靈活有效的方法必須通過足量的練習(xí)才能真正體會(huì)其思想。在此結(jié)合函數(shù)圖像與對(duì)應(yīng)的微元法核心式來(lái)歸納微元法的三種常

18、見類型：1. 薄桶型. 本例求的是由平面圖型axb,0yf(x)繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)體體積。方法是在旋轉(zhuǎn)體上取一薄桶型形體（如上圖陰影部分所示），則根據(jù)微元法思想可得薄桶體積 ,其中是薄桶的高，是薄桶展開變成薄板后的底面積，就是薄板的厚度；二者相乘即得體積。 對(duì) 積分可得 。在這個(gè)例子中，體現(xiàn)微元法特色的地方在于：1.雖然薄桶的高是個(gè)變化量，但卻用來(lái)表示；2.用表示薄桶的厚度；3.核心式。2. 薄餅型.本例求的是由拋物線及繞軸旋轉(zhuǎn)形成的高 的旋轉(zhuǎn)體體積，方法是取如上圖陰影部分所示的一個(gè)薄餅型形體，可得微元法核心式 。其中 是薄餅的底面積，薄餅與 旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ,，；同理薄餅與

19、旋轉(zhuǎn)面相交的圓圈成的面積是 ， 二者相減即得薄餅底面積。核心式中的 是薄餅的高。這個(gè)例子中的薄餅其實(shí)并不是上下一般粗的圓柱，而是上大下小的圓臺(tái)，但將其視為上下等粗來(lái)求解，這一點(diǎn)也體現(xiàn)了微元法的特色。3. 薄球型.本例求球體質(zhì)量，半徑為 ，密度 ， 其中 指球內(nèi)任意一點(diǎn)到球心的距離。方法是取球體中的一個(gè)薄球形形體，其內(nèi)徑為 厚度為 ，對(duì)于這個(gè)薄球的體積有 ，其中是薄球表面積，是厚度。該核心式可以想象成是將薄球展開、攤平得到一個(gè)薄面以后再用底面積乘高得到的。由于很小，故可認(rèn)為薄球內(nèi)質(zhì)量均勻，為，則薄球質(zhì)量，積分可得結(jié)果。本例中“用內(nèi)表面的表面積乘以薄球厚度得到核心式”、“將內(nèi)的薄球密度視為均勻”體

20、現(xiàn)了微元法的特色。通過以上三個(gè)例子談了一下了我對(duì)微元法特點(diǎn)的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)。這種方法的靈活運(yùn)用必須通過自己動(dòng)手做題體會(huì)才能實(shí)現(xiàn)，因?yàn)槠渲幸恍┻壿嫳砻嫔喜⒉环铣Ｒ?guī)思維，但也許這正是研究生入學(xué)考試出題老師喜歡微元法的原因。關(guān)于定積分的應(yīng)用，以下補(bǔ)充列出了定積分各種應(yīng)用的公式表格：求平面圖形面積求旋轉(zhuǎn)體體積（可用微元法也可用公式）左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積，繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積左圖中圖形繞軸旋轉(zhuǎn)體的體積，繞軸旋轉(zhuǎn)體得體積已知平行截面面積求立體體積求平面曲線的弧長(zhǎng)1.6 高數(shù)第八章無(wú)窮級(jí)數(shù)本章在考研真題中最頻繁出現(xiàn)的題型包括“判斷級(jí)數(shù)斂散性”、“級(jí)數(shù)求和函數(shù)”和“函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開”。其中判斂是大、小題都?？嫉?/p>

21、，在大題中一般作為第一問出現(xiàn)，求和與展開則都是大題。這一章與前面的常微分方程、后面的曲線曲面積分等章都是比較獨(dú)立的章節(jié)，在考試時(shí)會(huì)出大題，而且章內(nèi)包含的內(nèi)容多、比較復(fù)雜。陳文燈復(fù)習(xí)指南上對(duì)相關(guān)章節(jié)的指導(dǎo)并不盡如人意，因?yàn)樘最}型的方法在這些復(fù)雜章節(jié)中不能展現(xiàn)其長(zhǎng)處，故整體來(lái)說結(jié)構(gòu)比較散亂。對(duì)于級(jí)數(shù)判斂部分，主要用的方法是比較法、級(jí)數(shù)斂散性的定義和四則運(yùn)算性質(zhì)。其中比較判斂法有一般形式和極限形式，使用比較判斂法一般形式有以下典型例子： 1. 已知級(jí)數(shù)收斂，判斷級(jí)數(shù)的斂散性。其判斂過程的核心是找到不等式，再應(yīng)用比較法的一般形式即可判明。其實(shí)這種“知一判一”式的題目是有局限性的若已知級(jí)數(shù)收斂，則所要求

22、判斂的級(jí)數(shù)只能也是收斂的，因?yàn)橹挥小靶∮谑諗考?jí)數(shù)的級(jí)數(shù)必收斂”這一條規(guī)則可用，若待判斂級(jí)數(shù)大于已知收斂級(jí)數(shù)，則結(jié)果無(wú)法判定。所以考研真題中一般只會(huì)出成選擇題“已知某級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中收斂的是（）”。 2 上一種題型是“知一判一”，下面的例子則是給出級(jí)數(shù)某些性質(zhì)要求判斷斂散性，方法是通過不等式放縮與那些已知斂散性的級(jí)數(shù)建立起聯(lián)系，再應(yīng)用比較法一般形式判斷。舉例如下：已知單調(diào)遞減數(shù)列滿足，判斷級(jí)數(shù)的斂散性。關(guān)鍵步驟是：由得到，再利用比較判斂法的一般形式即得。對(duì)于使用比較判斂法極限形式的題目一般也不會(huì)超出“知一判一”和“知性質(zhì)判斂”這兩種形式。冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)與函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開問題是重點(diǎn)內(nèi)容，也是

23、每年都有的必考題。通過做歷年真題，我發(fā)現(xiàn)像一元函數(shù)微積分應(yīng)用中的微元法、無(wú)窮級(jí)數(shù)中的求和與展開這樣倍受出題人青睞的知識(shí)點(diǎn)都有一個(gè)相似之處，就是這些知識(shí)點(diǎn)從表面上看比較復(fù)雜、難于把握，實(shí)際上也必須通過認(rèn)真思考和足量練習(xí)才能達(dá)到應(yīng)有的深度，但在領(lǐng)會(huì)到解決方法的精髓思想以后這些知識(shí)點(diǎn)又會(huì)“突然”變的十分簡(jiǎn)單。也就是說，掌握這樣的知識(shí)點(diǎn)門檻較高，但只要跨過緩慢的起步階段，后面的路就是一馬平川了；同時(shí)，具有這種特點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)也可以提供給出題人更大的出題靈活性，而通過“找到更多便于靈活出題的知識(shí)點(diǎn)來(lái)跳出題型套路”正是近幾年考研真題出題專家致力達(dá)到的目標(biāo)，這一趨勢(shì)不僅體現(xiàn)在了近年來(lái)的考卷上，也必然是今后的出題

24、方向。所以我們?cè)趶?fù)習(xí)過程中對(duì)于具有“淺看復(fù)雜、深究簡(jiǎn)單、思路巧妙、出法靈活”的知識(shí)點(diǎn)要倍加注意，對(duì)于無(wú)窮級(jí)數(shù)這樣必出大題的章節(jié)中間的“求和、展開”這樣必出大題的知識(shí)點(diǎn)，更是要緊抓不放。因?yàn)檫@種知識(shí)點(diǎn)對(duì)“復(fù)習(xí)時(shí)間投入量”的要求接近于一個(gè)定值，認(rèn)認(rèn)真真搞明白以后，只要接著做適量的題目鞏固就行了，有點(diǎn)“一次投入，終生受益”的意思，花時(shí)間來(lái)掌握很劃算。另外，“求和與展開”的簡(jiǎn)單之處還在于：達(dá)到熟練做題程度以后會(huì)發(fā)現(xiàn)其大有規(guī)律可循。這種規(guī)律是建立在對(duì)6個(gè)關(guān)鍵的函數(shù)展開式“熟之又熟”的掌握上的。對(duì)此6個(gè)展開式的掌握必須像掌握重要定理一樣，對(duì)條件、等式的左端和右端都要牢牢記住，不但要一見到三者中的任意一個(gè)就

25、能立刻寫出其他兩部分，而且要能夠區(qū)別相似公式，將出錯(cuò)概率降到最小。公式如下：1. （-1，1）2. （-1，1）3.4.5.6.這六個(gè)公式可以分為兩個(gè)部分，前3個(gè)相互關(guān)聯(lián)，后3個(gè)相互關(guān)聯(lián)。1式是第一部分式子的基礎(chǔ)。不就是一個(gè)無(wú)窮等比數(shù)列嗎，在時(shí)的求和公式正是函數(shù)展開式的左端。所以這個(gè)式子最好記，以此為出發(fā)點(diǎn)看式子2：1式左端是，2式左端是；1式右端是，2式右端也僅僅是變成了交錯(cuò)級(jí)數(shù),故可以通過這種比較來(lái)記憶式子2；對(duì)于3式來(lái)說，公式左端的與2式左端的存在著關(guān)系“”，故由的展開式可以推導(dǎo)出的展開式為。這三個(gè)式子中的，相互之間存在著上述的清晰聯(lián)系。后3個(gè)式子的，相互之間的聯(lián)系主要在于公式右端展開式

26、形式上的相似性。這一部分的基本式是公式4：與之相比，的展開式是，的展開式是。一個(gè)可看成是將展開式中的奇數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù)得到的，一個(gè)可看成是將展開式中的偶數(shù)項(xiàng)變成交錯(cuò)級(jí)數(shù)而得到。像這樣從“形似”上掌握不費(fèi)腦子，但要冒記混淆的危險(xiǎn)，但此處恰好都是比較順的搭配：、習(xí)慣上說“正余弦”，先正后余；而的展開式對(duì)應(yīng)的是奇數(shù)項(xiàng)，的展開式對(duì)應(yīng)的是偶數(shù)項(xiàng)，習(xí)慣上也是說“奇偶性”，先奇后偶。記好6個(gè)關(guān)鍵式是解決冪級(jí)數(shù)求和與函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開問題的基礎(chǔ)，不僅在記憶上具有規(guī)律性，在解題時(shí)也大有規(guī)律可循。在已知冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)時(shí)，最佳途徑是根據(jù)各個(gè)公式右端的形式來(lái)選定公式：第一部分(前3式)的展開式都不帶階乘，其中只有的展開

27、式不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)；第二部分（后3式）的展開式都帶階乘，其中只有的展開式不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)。由題目給出的冪級(jí)數(shù)的形式就可以看個(gè)八九不離十了，比如給出的冪級(jí)數(shù)帶階乘而不是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則應(yīng)該用公式4，因?yàn)閮缂?jí)數(shù)的變形變不掉階乘和；若題目給出的冪級(jí)數(shù)不帶階乘而且是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則必從2、3兩式中選擇公式，其它情況也類似。對(duì)于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開題目，則是從已知條件與各公式左端的相似性上入手，相對(duì)來(lái)說更為簡(jiǎn)單。在判斷出所用公式以后一般要使用下列變形方法使得題目條件的形式與已知公式相符：變量替換（用于函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開）、四則運(yùn)算（用于展開、求和）、逐項(xiàng)微積分（用于展開、求和）。對(duì)于數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的題目，主要方法是構(gòu)造冪級(jí)數(shù)法

28、，即利用變換求得冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)以后代入極限式即可。其中的關(guān)鍵步驟是選擇適當(dāng)?shù)?，一般情況下如果、這樣的項(xiàng)在分子中，則應(yīng)該先用逐項(xiàng)積分再用逐項(xiàng)求導(dǎo)，此時(shí)的應(yīng)為的形式，如、，以方便先積分；若題目有、這樣的項(xiàng)，則應(yīng)為的形式，如、，便于先求導(dǎo)。這些經(jīng)驗(yàn)在做一定量的題目后就會(huì)得到。本章最后的知識(shí)點(diǎn)是付立葉級(jí)數(shù)，很少考到，屬于比較偏的知識(shí)點(diǎn)，但其思想并不復(fù)雜，花時(shí)間掌握還是比較劃算的。函數(shù)的付立葉級(jí)數(shù)的物理意義就是諧波分析，即把一個(gè)復(fù)雜周期運(yùn)動(dòng)看作是若干個(gè)正余弦運(yùn)動(dòng)的疊加。首先需記住付立葉展開式和收斂定理，在具體展開時(shí)有以下兩種情況：1. 題目給出的函數(shù)至少有一個(gè)完整的周期，如圖則直接套用公式即可，不存在奇

29、開拓和偶開拓的問題。對(duì)于形狀類似上圖的函數(shù)，展開以后級(jí)數(shù)中既有正弦級(jí)數(shù)也有余弦級(jí)數(shù)；若為奇函數(shù)如，則展開后只有正弦級(jí)數(shù)；若為偶函數(shù)則展開后只有余弦函數(shù)；2. 題目給出函數(shù)后沒有說明周期，則需要根據(jù)題目要求進(jìn)行奇開拓或偶開拓。如圖，若要求進(jìn)行奇開拓就是展開成奇函數(shù)，此時(shí)得到的級(jí)數(shù)中只有正弦級(jí)數(shù)，圖像為；若要求進(jìn)行偶開拓就是要展開成偶函數(shù)，此時(shí)得到的展開式中只有余弦級(jí)數(shù)，圖像為。1.7 高數(shù)第九章矢量代數(shù)與空間解析幾何本章并不算很難，但其中有大量的公式需要記憶，故如何減少記憶量是復(fù)習(xí)本章時(shí)需要重點(diǎn)考慮的問題。抓住本章前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系來(lái)復(fù)習(xí)是一種有效的策略，因?yàn)檫@樣做既可以避免重復(fù)記憶、減少記憶量，

30、又可以保證記憶的準(zhǔn)確性。同時(shí)，知識(shí)點(diǎn)前后聯(lián)系密切也正是本章的突出特點(diǎn)之一。以下列出本章中前后聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)：a) 矢量間關(guān)系在討論線線關(guān)系、線面關(guān)系中的應(yīng)用。這個(gè)聯(lián)系很明顯，舉例來(lái)說，平面與直線平行時(shí)，平面的法矢量與直線的方向矢量相互垂直，而由矢量關(guān)系性質(zhì)知此時(shí)二矢量的數(shù)積為0，若直線方程為，平面方程為，則有。同理可對(duì)線面、線線、面面關(guān)系進(jìn)行判定。b) 數(shù)積定義與求線線、線面、面面夾角公式的聯(lián)系。數(shù)積定義式為，故有，這個(gè)式子是所有線線、線面、面面夾角公式的源公式。舉例來(lái)說，設(shè)直線，直線，則二直線夾角，其中、分別是兩條直線的方向矢量。對(duì)于線面、面面夾角同樣適用，只需注意一點(diǎn)就是線面夾角公式中不是而

31、是，因?yàn)槿缬覉D所示由于直線的方向矢量與直線的走向平行，而平面的法矢量卻與平面垂直，所以線面夾角是兩矢量夾角的余角，即，故求夾角公式的左端是。對(duì)于線線夾角和面面夾角則無(wú)此問題。c) 平面方程各形式間的相互聯(lián)系。平面方程的一般式、點(diǎn)法式、三點(diǎn)式、截距式中，點(diǎn)法式和截距式都可以化為一般式。點(diǎn)法式（點(diǎn)為平面上已知點(diǎn)，為法矢量）可變形為，符合一般式的形式；截距式（為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距）可變形為，也符合一般式的形式。這樣的轉(zhuǎn)化不僅僅是為了更好地記公式，更主要是因?yàn)樵诳荚囍锌赡苄枰獙⑦@些式子相互轉(zhuǎn)化以方便答題（這種情況在歷年真題中曾經(jīng)出現(xiàn)過）。同樣，直線方程各形式之間也有類似聯(lián)系，直線方程的參數(shù)形式和

32、標(biāo)準(zhǔn)式之間可以相互轉(zhuǎn)化。直線方程的參數(shù)形式（是平面上已知點(diǎn)，為方向矢量）可變形為，即為標(biāo)準(zhǔn)式；標(biāo)準(zhǔn)式若變形為則也可以轉(zhuǎn)化為參數(shù)形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化在歷年真題中應(yīng)用過不止一次。d) 空間曲面投影方程、柱面方程、柱面準(zhǔn)線方程之間的區(qū)別與聯(lián)系。關(guān)于這些方程的基礎(chǔ)性知識(shí)包括：表示的是一個(gè)空間曲面；由于空間曲線可視為由兩個(gè)空間曲面相交而得到的，故空間曲面方程為；柱面方程如圓柱面、橢圓柱面可視為是二元函數(shù)在三維坐標(biāo)系中的形式。在這些基礎(chǔ)上分析，柱面方程的準(zhǔn)線方程如可視為是由空間曲面柱面與特殊的空間曲面坐標(biāo)平面相交形成的空間曲線，即右圖中的曲線2；而空間曲線的投影方程與柱面準(zhǔn)線方程其實(shí)是一回事，如上圖中曲線1的投

33、影是由過曲線1的投影柱面與坐標(biāo)平面相交得到的，所以也就是圖中的柱面準(zhǔn)線。在由空間曲線方程求投影方程時(shí)，需要先從方程組中消去得到一個(gè)母線平行于軸的柱面方程；再與聯(lián)立即可得投影方程。1.8 高數(shù)第十章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)本章內(nèi)容時(shí)可以先將多元函數(shù)各知識(shí)點(diǎn)與一元函數(shù)對(duì)應(yīng)部分作對(duì)比，這樣做即可以將相似知識(shí)點(diǎn)區(qū)別開以避免混淆，又可以通過與一元函數(shù)的對(duì)比來(lái)促進(jìn)對(duì)二元函數(shù)某些地方的理解。本章主要內(nèi)容可以整理成一個(gè)大表格：二元函數(shù)的定義（略）相似一元函數(shù)的定義（略）二元函數(shù)的連續(xù)性及極限：二元函數(shù)的極限要求點(diǎn)以任何方向、任何路徑趨向時(shí)均有（、）。如果沿不同路徑的不相等，則可斷定不存在。不同一元函數(shù)的連續(xù)性及極限

34、：一元函數(shù)的極限與路徑無(wú)關(guān)，由等價(jià)式即可判斷。二元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)性判斷條件為：存在且等于相似一元函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)性判斷條件為且等于二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定義分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求偏導(dǎo)數(shù)要用偏導(dǎo)數(shù)的定義相似一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義：分段函數(shù)在分界點(diǎn)處求導(dǎo)數(shù)需要用導(dǎo)數(shù)定義二元函數(shù)的全微分：簡(jiǎn)化定義為：對(duì)于函數(shù)，若其在點(diǎn)處的增量可表示為，其中為的高階無(wú)窮小，則函數(shù)在處可微，全微分為，一般有相似一元函數(shù)的全微分：簡(jiǎn)化定義為：若函數(shù)在點(diǎn)處的增量可表示為，其中是的高階無(wú)窮小，則函數(shù)在該點(diǎn)可微，即，一般有二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角關(guān)系圖連續(xù) 可導(dǎo) 可微不同二元函數(shù)可微、可導(dǎo)、連續(xù)三角

35、關(guān)系圖連續(xù) 可導(dǎo) 可微多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)設(shè)，且都可導(dǎo)，則對(duì)的全導(dǎo)數(shù)不同一元函數(shù)沒有“全導(dǎo)數(shù)”這個(gè)概念，但是左邊多元函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)其實(shí)可以從“一元復(fù)合函數(shù)”的角度理解。一元復(fù)合函數(shù)是指、時(shí)有。與左邊的多元函數(shù)全導(dǎo)數(shù)公式比較就可以將二式統(tǒng)一起來(lái)。多元復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：設(shè)、，則有。對(duì)于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，在考研真題中有一個(gè)百出不厭的點(diǎn)就是函數(shù)對(duì)中間變量的偏導(dǎo)數(shù)、仍是以為中間變量的復(fù)合函數(shù)，此時(shí)在求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)還要重復(fù)使用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法。這是需要通過足量做題來(lái)熟練掌握的知識(shí)點(diǎn)，在后面的評(píng)題中會(huì)就題論題作更充分的論述。相似一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式如上格所示，與多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式相似，只需分清式子中與的

36、不同即可多元隱函數(shù)微分法求由方程確定的隱含數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，可用公式：，對(duì)于由方程組確定的隱含數(shù)、可套用方程組一元復(fù)合函數(shù)、參數(shù)方程微分法對(duì)一元隱函數(shù)求導(dǎo)常采用兩種方法：1.公式2.將視為的函數(shù)，在方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo)一元參數(shù)方程微分法：若有則關(guān)于這一部分，多元與一元的聯(lián)系不僅是“形似”，而且在相當(dāng)大程度上是相通的，在考研真題中此處與上面的多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是本章的兩個(gè)出題熱點(diǎn)，屢屢出現(xiàn)相關(guān)題目，在后面的評(píng)題中有更多討論。多元函數(shù)的極值極值定義：函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義，且對(duì)于其中異于點(diǎn)的任一點(diǎn)，恒有或，則稱為的極小/大值，方程組的解稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。相似一元函數(shù)的極值極值定義：函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有定義且對(duì)于

37、其中異于該點(diǎn)的任一點(diǎn)恒有或，則稱為的極小/大值，方程的解稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。取極值的充分條件函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)，且滿足、，若或則為極小值點(diǎn)；若或則為極大值點(diǎn)。大綱對(duì)于多元函數(shù)條件極值的要求為“會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值”，是一種比較簡(jiǎn)單而且程式化的方法。一元函數(shù)則無(wú)對(duì)應(yīng)的內(nèi)容。相似取極值的充分條件函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且滿足、，則：若，則為極小值；若，則為極小值1.9 高數(shù)第十章重積分大綱對(duì)于本章的要求只有兩句：1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，了解二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），會(huì)計(jì)算三重積分（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）。這

38、一部分在歷年真題中直接考到的情況很少，但卻經(jīng)常涉及，尤其是在關(guān)于曲線、曲面積分的題中，一般都需要將曲線、曲面積分轉(zhuǎn)化為重積分來(lái)計(jì)算結(jié)果。關(guān)于二重積分的性質(zhì)，可以結(jié)合二重積分的幾何意義和定積分的對(duì)應(yīng)性質(zhì)來(lái)理解，因?yàn)槔斫鈳缀我饬x有利于解應(yīng)用性問題，而且定積分和二重積分的性質(zhì)定理幾乎是一一對(duì)應(yīng)的，對(duì)比起來(lái)很直觀。在做二重積分的題時(shí)常用的是更換積分次序的方法與幾個(gè)變換技巧，這一點(diǎn)在后面評(píng)題時(shí)會(huì)有針對(duì)性的討論。2 線性代數(shù)部分2.1 線代這門課的特點(diǎn) 線性代數(shù)與高數(shù)和概率相比，特點(diǎn)之一是知識(shí)點(diǎn)比較細(xì)碎。如矩陣部分涉及到了各種類型的性質(zhì)和關(guān)系，記憶量大而且容易混淆的地方較多；但線代更重要的特點(diǎn)在于知識(shí)點(diǎn)間

39、的聯(lián)系性很強(qiáng)。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識(shí)，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。歷年考研真題中線代部分的題目都很靈活，在一道大題甚至小題中就可以考察到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，而且過渡自然、結(jié)構(gòu)巧妙；有相當(dāng)一部分題目可以找出多種解法。出現(xiàn)這種情況當(dāng)然與出題專家水平高有關(guān)，但內(nèi)在原因還是在于線性代數(shù)這門課“知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系性強(qiáng)”的特點(diǎn)。所以我們?cè)趶?fù)習(xí)線代的策略中，有必要考慮一下怎樣才能做到“融會(huì)貫通”。“融會(huì)”可以理解為設(shè)法找到不同知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在相通之處；“貫通”可以理解為掌握前后知識(shí)點(diǎn)之間的順承關(guān)系。這樣做的目的就在于當(dāng)看到題目的

40、條件和結(jié)論、推測(cè)出其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)時(shí)立刻就能想到與之有關(guān)聯(lián)的其他知識(shí)點(diǎn)隊(duì)列，從而大大提高解題效率、增加得分勝算。這樣的復(fù)習(xí)策略雖然也能夠用于高數(shù)和概率，但在線代復(fù)習(xí)中的作用體現(xiàn)的最為明顯。以第三章向量、第四章線性方程組為例，“線性相關(guān)”、“線性表示”的概念與線性方程組的某些性質(zhì)定理之間存在著相互推導(dǎo)和相互印證的關(guān)系；出題專家在編制題目時(shí)常常利用這些聯(lián)系將兩部分的內(nèi)容結(jié)合起來(lái)出題，比如在歷年真題中出現(xiàn)頻率很高的性質(zhì)“齊次方程組是否有零解對(duì)應(yīng)于A的列向量組是否線性相關(guān)；非齊次方程組Ax=b是否有解對(duì)應(yīng)于向量b是否可由A的列向量線性表示”。再如一個(gè)貌似考察向量組線性無(wú)關(guān)的題目，做起來(lái)以后才發(fā)現(xiàn)實(shí)際

41、考的是矩陣秩或行列式的內(nèi)容，題眼就在于性質(zhì)“方陣A可逆ó|A|=0óA的列向量組線性無(wú)關(guān)ór(A)=n”，依靠這一性質(zhì)建立起了線性無(wú)關(guān)和矩陣秩兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系。以上簡(jiǎn)單分析了一下線代這門課本身的特點(diǎn)，在下面的小結(jié)中列出了對(duì)每章中一些具體知識(shí)點(diǎn)內(nèi)在聯(lián)系的分析和實(shí)戰(zhàn)過程中發(fā)現(xiàn)的一些常用的和好用的性質(zhì)，作為對(duì)具體知識(shí)點(diǎn)的討論。正是因?yàn)榫哂羞@樣的特點(diǎn)，線代與高數(shù)、概率相比，從難易程度上講正是一門“學(xué)得不好就顯得特別的難，一旦學(xué)好以后就會(huì)變得特別容易”的科目，所以實(shí)際上把時(shí)間花在線代復(fù)習(xí)上很劃算；即使你現(xiàn)在認(rèn)為自己的線代水平還不好，那么也不應(yīng)該有放棄線代的打算，因?yàn)?，在?/p>

42、門“已經(jīng)學(xué)得差不多”的課上繼續(xù)投入時(shí)間的效果肯定要比投入等量時(shí)間在一門“學(xué)得不好但有更大提分空間”的課上的效果好，也就是說，試圖把一門滿分是100分、現(xiàn)在水平是80分的課提高到85分，一般要比把一門滿分100現(xiàn)在只能拿40分的課提高10分、20分還要難得多。2.2 線代第一章行列式、第二章矩陣第一章行列式、第二章矩陣是線性代數(shù)中的基礎(chǔ)章節(jié)，有必要熟練掌握。第一章行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體（數(shù)字型）行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和n階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式按行列展開定理和化為上下三角行列式求解，還可能用到的方法包括：行列式的定義（n階行列式的值為取

43、自不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和）、性質(zhì)（其中為矩陣A的特征值）、行列式的性質(zhì)（如“數(shù)乘行列式等于用此數(shù)乘一行列式中的某一行或某一列”）。對(duì)于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于、等的相關(guān)性質(zhì)，在下面對(duì)第二章的討論中會(huì)有小結(jié)。第二章矩陣中的知識(shí)點(diǎn)很細(xì)碎，但好在每個(gè)小知識(shí)點(diǎn)包括的內(nèi)容都不多，沒有什么深度。由歷年考研真題可見，矩陣部分出題很靈活，頻繁出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)包括矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律、，的性質(zhì)、矩陣可逆的判定條件、矩陣秩的性質(zhì)、某些結(jié)構(gòu)特殊的矩陣和矩陣初等變換技巧等。所以復(fù)習(xí)本章的難度主要在于如何保證復(fù)習(xí)的全面細(xì)致，一些做題時(shí)用到的性質(zhì)和方法結(jié)合具體的題目就題論題才有最佳的效果，故在

44、后面的評(píng)題中會(huì)有更充分的討論；下面的表格分類列出了逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)以供區(qū)別記憶：行列式性質(zhì)特征值性質(zhì)（為矩陣的特征值）運(yùn)算性質(zhì)秩的性質(zhì)轉(zhuǎn)置矩陣逆矩陣有特征值伴隨矩陣有特征值、三者之間有一個(gè)即好記又好用的性質(zhì)數(shù)乘矩陣、矩陣之積及矩陣之和有特征值，有特征值則有：若是可逆矩陣則有；同樣，若可逆則有2.3 線代第三章向量、第四章線性方程組線代第三章向量、第四章線性方程組是整個(gè)線性代數(shù)部分的核心內(nèi)容，相比之下，前兩章行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎(chǔ)性章節(jié)，后兩章特征值、特征向量、二次型的內(nèi)容則相對(duì)獨(dú)立， 可以看作是對(duì)第三、四章核心內(nèi)容的擴(kuò)展。向量與線性

45、方程組兩章的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識(shí)點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。復(fù)習(xí)這兩章最有效的方法就是徹底理順諸多知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，因?yàn)檫@樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時(shí)也是熟練掌握和靈活運(yùn)用的前提。解線性方程組可以看作是這兩章內(nèi)容的出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)。線性方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，其有兩種形式，一種是矩陣形式；其中是系數(shù)矩陣,；另一種是向量形式，其中。向量就這樣被引入了，可能早期的數(shù)學(xué)家研究向量就是為了更好的研究解方程組的問題。先討論其次線性方程組與線性相關(guān)、無(wú)關(guān)的聯(lián)系。齊次線性方程組可以直接看出是一定有解的，因?yàn)楫?dāng)式等式一定成立，印證了第三章向量部分的一條性質(zhì)“0向量可由任何向量線性表

46、示”，即當(dāng)中的時(shí)一定存在一組數(shù)使等式成立，至少在全為0時(shí)可以滿足。齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：1.有唯一零解；2.有非零解。當(dāng)齊次線性方程組有唯一零解時(shí)，是指等式中的只能全為0才能使等式成立，而第三章向量部分中判斷向量組是否線性相關(guān)無(wú)關(guān)也正是由這個(gè)等式定義出的。線性相關(guān)的定義為：設(shè)為一組向量，如果存在一組不為零的數(shù)使得等式成立，則稱向量組線性相關(guān)；如果等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，則稱向量組線性無(wú)關(guān)。故向量與線性方程組在此又產(chǎn)生了聯(lián)系：齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣A的列向量組是否線性相關(guān)。（這些聯(lián)系肯定不是簡(jiǎn)單的巧合，很有可能正是數(shù)學(xué)史上前后相承的發(fā)展，說不定線性相關(guān)無(wú)關(guān)的概念

47、正是數(shù)學(xué)家在研究線性方程組問題的過程中發(fā)現(xiàn)的。其實(shí)如果按照數(shù)學(xué)發(fā)展史的進(jìn)程來(lái)編制數(shù)學(xué)教科書的話，雖然邏輯性和系統(tǒng)性會(huì)不如現(xiàn)在的分章節(jié)教材，但肯定會(huì)大大方便學(xué)習(xí)者的理解和領(lǐng)悟，因?yàn)檫@更接近于人思維自然進(jìn)展的節(jié)奏，非常有利于學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)各種概念定理的來(lái)龍去脈，而“不明白自己學(xué)的到底是什么”正是很多同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)感到困惑的根源。即使不能做到編制教材，也可以在教材中做一些介紹）。假如線性相關(guān)無(wú)關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的，那同樣可以認(rèn)為秩是為了更好地討論線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)而引入的。秩的定義是“極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)”，向量組組成的矩陣有說明向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中有n個(gè)向量，即線性無(wú)

48、關(guān)，也即等式只有0解。所以，經(jīng)過“秩線性相關(guān)無(wú)關(guān)線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，由就可以判定齊次方程組只有0解。當(dāng)時(shí)，按照齊次線性方程組解的判定法則，此時(shí)有非零解，且有n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量。這又與另一條性質(zhì)相和：如果齊次線性方程組方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)則必有非零解。若方程組的系數(shù)矩陣是m行n列的，則方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)有m<n；因?yàn)榫仃嚨闹鹊扔谛兄纫驳扔诹兄?，所以必有，根?jù)齊次方程組解的判定定理有非零解。對(duì)于非齊次方程組來(lái)說，其解的判定定理與“線性表示”的概念前后聯(lián)系：非齊次方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由的列向量線性表示。線性表示的定義為：對(duì)于向量組若存在一組數(shù)使等式成立，則稱

49、向量可由向量組線性表示。而使上述等式成立的就是非齊次方程組的解，故齊次方程組有性質(zhì)“齊次線性方程組是否由非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性向關(guān)”，非齊次方程組也由對(duì)應(yīng)性質(zhì)“非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于向量是否可由的列向量線性表示”。當(dāng)非齊次線性方程組與對(duì)應(yīng)齊次線性方程組滿足時(shí)，根據(jù)線性方程組解的判定法則，齊次方程組有零解，非齊次方程組有唯一解。這一點(diǎn)也正好印證了一個(gè)重要定理：“若線性無(wú)關(guān)，而線性相關(guān)，則向量可由向量組線性表示，且表示方法唯一”。以上討論了線性相關(guān)、線性表示的概念與齊次、非齊次線性方程組之間的內(nèi)在聯(lián)系，這樣做不僅僅是為了透徹理解知識(shí)點(diǎn)，更是為了有效應(yīng)對(duì)考試題。線代部分的學(xué)習(xí)

50、并不容易“保持平庸”，一般不是學(xué)的很好、做起題來(lái)左右逢源、揮灑自如；就是收效欠佳、總感覺摸不準(zhǔn)題目的脈絡(luò)；其差距就在于對(duì)線性代數(shù)這門課各章節(jié)知識(shí)的聯(lián)系是不是真正把握領(lǐng)悟了。線代部分的題目難就難在考點(diǎn)的跨度大，出題老師可以借助各知識(shí)點(diǎn)之間天然的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)編制出非常靈活的題目，而我們?nèi)绻麅H僅掌握零散知識(shí)點(diǎn)，那怕對(duì)這些孤立的點(diǎn)掌握的再透徹，在作題時(shí)也會(huì)被題目給弄的暈頭轉(zhuǎn)向。我記得當(dāng)時(shí)上線代課時(shí)也常常是聽的一頭霧水、莫名其妙，感覺這門課很難；但在考研備考時(shí)經(jīng)過這樣“抓本質(zhì)聯(lián)系”的復(fù)習(xí)后卻感覺線代部分反而是考研數(shù)學(xué)三科中最容易的。每們科目都有其自身的特點(diǎn)，出題老師和我們考生都可以加以利用出題專家們利用線

51、性代數(shù)“知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系復(fù)雜”的特點(diǎn)可以編制出靈活的試題，我們則可以根據(jù)各知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系來(lái)進(jìn)行歸納、對(duì)比和總結(jié)，從而深化對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。以上所討論的各種聯(lián)系可以歸納為下面幾條非常重要的定義與性質(zhì)，其涵蓋了大量的題眼，在實(shí)際做題時(shí)非常好用。其含金量之高不僅在線代中是獨(dú)一無(wú)二的，在高數(shù)和概率兩門課的知識(shí)點(diǎn)中也很少見，希望你能重視：三個(gè)雙重定義：1. 秩的定義 a.矩陣秩的定義：矩陣中非零子式的最高階數(shù) b.向量組秩定義：向量組的極大線性無(wú)關(guān)組中的向量個(gè)數(shù)2.線性相關(guān)無(wú)關(guān)的定義：a. 對(duì)于一組向量，若存在不全為零的數(shù)使得成立，則相量組線性相關(guān)，否則向量組線性無(wú)關(guān)，即上述等式當(dāng)且僅當(dāng)全為0時(shí)才成立。

52、b. 向量組線性相關(guān)ó向量組中至少存在一個(gè)向量可由其余n-1個(gè)向量線性表出；線性無(wú)關(guān)ó向量組中沒有一個(gè)向量可由其余的向量線性表出。2. 線性方程組的兩種形式：a. 矩陣形式：b. 向量形式：兩條性質(zhì)：1.對(duì)于方陣有：方陣可逆ó存在方陣使得óó的行列向量組均線性無(wú)關(guān)óó可由克萊姆法則判斷有唯一解，而僅有零解。對(duì)于一般矩陣則有：ó的列向量組線性無(wú)關(guān)ó僅有零解，有唯一解。3. 齊次線性方程組是否有非零解對(duì)應(yīng)于系數(shù)矩陣的列向量組是否線性相關(guān)，而非齊次線性方程組是否有解對(duì)應(yīng)于是否可以由的列向量組線性表出。以上兩條性

53、質(zhì)可視為是將線性相關(guān)、行列式、秩、線性方程組幾部分知識(shí)聯(lián)系在一起的橋梁：性質(zhì)2性質(zhì)1中的“|A|0óA的列向量組線性無(wú)關(guān)”行列式 線性相關(guān) 線性方程組性質(zhì)1中的“r(A)=nóA的列向量組線性無(wú)關(guān)”秩 以上這些是大量擴(kuò)展性定理性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，也是出題人考慮跨章節(jié)出題和考察大跨度知識(shí)點(diǎn)時(shí)的必經(jīng)之路“兵家必爭(zhēng)之地”，怎么重視都不為過。 另外，線性代數(shù)部分在考試時(shí)會(huì)經(jīng)常直接考一些“雖不要求掌握、但卻可以用要求掌握的一些定理推論推導(dǎo)出來(lái)”的性質(zhì)和結(jié)論，所以有必要擴(kuò)大一些知識(shí)面，說不定在考試時(shí)就會(huì)有意外收獲：1. 一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組不可能由一個(gè)所含向量個(gè)數(shù)比它少的向量組線性表示。如

54、果向量組可由向量組線性表示，則有。等價(jià)的向量組具有相同的秩，但不一定有相同個(gè)數(shù)的向量；任何一個(gè)向量組都與它的極大線性無(wú)關(guān)組等價(jià)。2. 常見的線性無(wú)關(guān)組：齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系；、這樣的單位向量組；不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。3. 關(guān)于秩的一些結(jié)論：；若有、滿足，則；若是可逆矩陣則有；同樣若可逆則有。非齊次線性方程組有唯一解則對(duì)應(yīng)齊次方程組僅有零解，若有無(wú)窮多解則有非零解；若有兩個(gè)不同的解則有非零解；若是矩陣而則一定有解，而且當(dāng)時(shí)是唯一解，當(dāng)時(shí)是無(wú)窮多解，而若則沒有解或有唯一解。2.4 線代第五章特征值和特征向量相對(duì)于前兩章來(lái)說，本章不是線性代數(shù)這門課的理論重點(diǎn)，但卻是一個(gè)考試重點(diǎn)，歷年考研真題

55、都有相關(guān)題目，而且最有可能是綜合性的大題。特征值和特征向量之所以會(huì)得到如此青睞，大概是因?yàn)榻鉀Q相關(guān)題目要用到線代中的大量?jī)?nèi)容即有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關(guān)，“牽一發(fā)而動(dòng)全身”；著重考察這樣的知識(shí)點(diǎn)，在保證了考察面廣的同時(shí)又有較大的出題靈活性。從我們的角度來(lái)看，特征值特征向量這一章的內(nèi)容即少且條理清晰，雖然涉及其它很多知識(shí)，但需要探究的深層次聯(lián)系很少，故學(xué)好這個(gè)“必考點(diǎn)”實(shí)際上要比學(xué)好高數(shù)中的那些必考點(diǎn)如曲線、曲面積分要容易的多，這一點(diǎn)也是前面說復(fù)習(xí)線代這門課很劃算的原因之一。本章知識(shí)要點(diǎn)如下：1. 特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法。就是記牢一系列公式如、和。在歷年真題中常用到下列性質(zhì)

56、：若階矩陣有個(gè)特征值 ，則有；若矩陣有特征值，則、分別有特征值、，且對(duì)應(yīng)特征向量等于所對(duì)應(yīng)的特征向量，而若、分別為矩陣、的特征值，則不一定為的特征值。2. 相似矩陣及其性質(zhì)。定義式為，需要區(qū)分矩陣的相似、等價(jià)與合同：矩陣與矩陣等價(jià)（）的定義式是，其中、為可逆矩陣，此時(shí)矩陣可通過初等變換化為矩陣，并有；當(dāng)中的、互逆時(shí)就變成了矩陣相似（）的定義式，即有，此時(shí)滿足、，并且、有相同的特征值。矩陣合同的定義是，其中為可逆矩陣。由以上定義可看出等價(jià)、合同、相似三者之間的關(guān)系：若與合同或相似則與必等價(jià)，反之不成立；合同與等價(jià)之間沒有必然聯(lián)系。3. 矩陣可相似對(duì)角化的條件。包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件，充要

57、條件1是階矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充要條件2是的任意重特征根對(duì)應(yīng)有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量；充分條件1是有個(gè)互不相同的特征值；充分條件2是為實(shí)對(duì)稱矩陣。4. 實(shí)對(duì)稱矩陣極其相似對(duì)角化。階實(shí)對(duì)稱矩陣必可正交、相似于對(duì)角陣，即有正交陣使得而且正交陣由對(duì)應(yīng)的幾個(gè)正交的特征向量組成。 其實(shí)本章的內(nèi)容從中也可以找到類似于第三章向量與第四章線性方程組之間的那種前后印證、相互推導(dǎo)的關(guān)系：以求方陣的冪作為思路的起點(diǎn)，直接乘來(lái)求比較困難，但如果有矩陣使得滿足（對(duì)角陣）的話就簡(jiǎn)單多了，因?yàn)榇藭r(shí)，而對(duì)角陣的冪就等于代如上式即得。而矩陣相似對(duì)角化的定義式正是。所以可以認(rèn)為討論矩陣的相似對(duì)角化是為了方便求矩陣的冪，引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對(duì)角化。因?yàn)?，不但判斷矩陣的相似?duì)角化時(shí)要用到特征值和特征向量，而且中的、也分別是由的特征向量和特征值決定的。以上思路在本章的地位并不重要，因?yàn)榕c第三、四章知識(shí)點(diǎn)的互聯(lián)關(guān)系不同，考試時(shí)這條思路一般不會(huì)被用到。而考察線性相關(guān)和線性方程組的題目卻頻繁用到前面提到的各種內(nèi)在聯(lián)系，甚至一些題