數(shù)字電子電路課程第2章

1、第2章 邏輯代數(shù)基礎 第第2章章 邏輯代數(shù)基礎邏輯代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)的三種基本運算邏輯代數(shù)的三種基本運算 2.2 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則 2.3 復合邏輯復合邏輯 2.4 邏輯函數(shù)的兩種標準形式邏輯函數(shù)的兩種標準形式 2.5 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法2.6 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡2.7 非完全描述邏輯函數(shù)的化簡非完全描述邏輯函數(shù)的化簡 第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.1 邏輯代數(shù)的三種基本運算邏輯代數(shù)的三種基本運算 2.1.1 邏輯變量與邏輯函數(shù)邏輯變量與邏輯函數(shù) 邏輯是指事物因果之間所遵循的規(guī)律。為了避免用冗繁的文字來描述邏輯問題

2、，邏輯代數(shù)采用邏輯變量和一套運算符組成邏輯函數(shù)表達式來描述事物的因果關系。 邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，一般用大寫字母A、B、 C、表示，邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。 0和1稱為邏輯常量。但必須指出，這里的邏輯0和1本身并沒有數(shù)值意義，它們并不代表數(shù)量的大小，而僅僅是作為一種符號，代表事物矛盾雙方的兩種狀態(tài)。第2章 邏輯代數(shù)基礎 邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨自變量的變化而變化的因變量。因此，如果用自變量和因變量分別表示某一事件發(fā)生的條件和結果，那么該事件的因果關系就可以用邏輯函數(shù)來描述。 數(shù)字電路的輸入、輸出量一般用高、低電平來表示，高、低電平也可以用二值邏輯1和0來

3、表示。同時數(shù)字電路的輸出與輸入之間的關系是一種因果關系， 因此它可以用邏輯函數(shù)來描述，并稱為邏輯電路。對于任何一個電路，若輸入邏輯變量A、 B、 C、 的取值確定后，其輸出邏輯變量F的值也被惟一地確定了，則可以稱F是A、 B、 C、 的邏輯函數(shù)， 并記為 ),( CBAfF第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.1.2 三種基本運算三種基本運算 1. 與運算與運算(邏輯乘邏輯乘) 與運算(邏輯乘)表示這樣一種邏輯關系：只有當決定一事件結果的所有條件同時具備時，結果才能發(fā)生。例如在圖2-1所示的串聯(lián)開關電路中，只有在開關A和B都閉合的條件下，燈F才亮，這種燈亮與開關閉合的關系就稱為與邏輯。 如果設開關A、B閉

4、合為1，斷開為0，設燈F亮為1，滅為0， 則F與A、B的與邏輯關系可以用表2-1所示的真值表來描述 所謂真值表，就是將自變量的各種可能的取值組合與其因變量的值一一列出來的表格形式。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2 -1 與邏輯實例 AFBE第2章 邏輯代數(shù)基礎 表 2-1 與邏輯運算真值表 A BF0 00 11 01 10001與邏輯可以用邏輯表達式表示為F=AB 第2章 邏輯代數(shù)基礎 在邏輯代數(shù)中，將與邏輯稱為與運算或邏輯乘。符號“”表示邏輯乘，在不致混淆的情況下，常省去符號“”。在有些文獻中，也采用、 及&等符號來表示邏輯乘。 實現(xiàn)與邏輯的單元電路稱為與門，其邏輯符號如圖2-2所示

5、，其中圖(a)為我國常用的傳統(tǒng)符號，圖(b)為國外流行的符號，圖(c)為國標符號(見附錄一)。圖2-3是一個2 輸入的二極管與門電路。圖中輸入端A、B的電位可以取兩種值：高電位+3V或低電位0V。設二極管為理想開關，并規(guī)定高電位為邏輯1，低電位為邏輯0，那么F與A、B之間邏輯關系的真值表與表2-1相同， 因而實現(xiàn)了F=AB的功能。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-2 與門的邏輯符號 圖 2-3 二極管與門 FAB(a)(b)&FAB(c)FABUCC(+5V)R3.9kABFV1V2第2章 邏輯代數(shù)基礎 2. 或運算或運算(邏輯加邏輯加) 圖 2-4 或邏輯實例 FABE第2章 邏輯代數(shù)

6、基礎 表 2-2 或邏輯運算真值表 A BF0 00 11 01 10111或邏輯可以用邏輯表達式表示為F=A+B 或邏輯也稱為或運算或邏輯加。符號“+”表示邏輯加。有些文獻中也采用、等符號來表示邏輯加。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 實現(xiàn)或邏輯的單元電路稱為或門，其邏輯符號如圖2-5所示，其中圖(a)為我國常用的傳統(tǒng)符號，圖(b)為國外流行的符號， 圖(c)為國標符號(見附錄一)。 圖2-6是一個 2 輸入的二極管或門電路。圖中輸入端A、 B的電位可以取兩種值： 高電位+3V或低電位0 V。 設二極管為理想開關，并規(guī)定高電位為邏輯1，低電位為邏輯0，則F與A、B之間邏輯關系的真值表與表2-2相同，

7、因此實現(xiàn)了F=A+B的功能。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-5 或門的邏輯符號 圖 2-6 二極管或門 FAB(a)(b)FAB(c)1FABR3.9kBAFV2V1第2章 邏輯代數(shù)基礎 3. 非運算非運算(邏輯反邏輯反) 非運算(邏輯反)是邏輯的否定：當條件具備時，結果不會發(fā)生；而條件不具備時，結果一定會發(fā)生。例如，在圖2-7所示的開關電路中，只有當開關A斷開時，燈F才亮，當開關A閉合時，燈F反而熄滅。燈F的狀態(tài)總是與開關A的狀態(tài)相反。這種結果總是同條件相反的邏輯關系稱為非邏輯。非邏輯的真值表如表2-3所示，其邏輯表達式為 AF 通常稱A為原變量，A為反變量。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-

8、7 非邏輯實例 AF0110表 2-3 非邏輯運算真值表 FARE第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-8 非門邏輯符號 FA(a)FA(b)1FA(c)第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-9 三極管非 RVRCF(UI)UCC(+5v)A(UO)第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.2 邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則 2.2.1 基本定律基本定律 1. 變量和常量的關系式 邏輯變量的取值只有0和1，根據(jù)三種基本運算的定義，可推得以下關系式。 0-1律： A0 =0 A+1 =1自等律：A1=A A+0=A重疊律：AA=A A+A=A互補律：AA=0 A+A=1 第2章 邏輯代數(shù)基礎 2. 與普通代數(shù)

9、相似的定律與普通代數(shù)相似的定律交換律 AB=BA A+B=B+A結合律 (AB)C=A(BC) (A+B)+C=A+(B+C)分配律 A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) 以上定律可以用真值表證明，也可以用公式證明。例如， 證明加對乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。 證： (A+B)(A+C) =AA+AB+AC+BC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC=A+BC因此有 A+BC=(A+B)(A+C) 第2章 邏輯代數(shù)基礎 3. 邏輯代數(shù)中的特殊定律邏輯代數(shù)中的特殊定律反演律(De Morgan定律)： BABABABA還原律： AA表 2-4 反演律

10、證明 AB0 00 11 01 11110111010001000ABBABABA第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.2.2 三個重要規(guī)則三個重要規(guī)則 1. 代入規(guī)則代入規(guī)則 任何一個邏輯等式，如果將等式兩邊所出現(xiàn)的某一變量都代之以同一邏輯函數(shù)，則等式仍然成立，這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。 由于邏輯函數(shù)與邏輯變量一樣，只有0、1兩種取值， 所以代入規(guī)則的正確性不難理解。運用代入規(guī)則可以擴大基本定律的運用范圍。 例如，已知A+B=AB(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，則可以得到適用于多變量的反演律， 即 CBACBACBA第2章 邏輯代數(shù)基礎 2. 反演規(guī)則反演規(guī)則 對于任意一個邏輯函數(shù)式F，如果將其表

11、達式中所有的算符“”換成“+”， “+”換成“”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則所得到的結果就是 。 稱為原函數(shù)F的反函數(shù)，或稱為補函數(shù)。 反演規(guī)則是反演律的推廣，運用它可以簡便地求出一個函數(shù)的反函數(shù)。 例如： FF,ACDCABF);()(CADCBAF若 則 ,EDCBAF。EDCBAF若 則 運用反演規(guī)則時應注意兩點： 不能破壞原式的運算順序先算括號里的，然后按“先與后或”的原則運算。 不屬于單變量上的非號應保留不變。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 3. 對偶規(guī)則對偶規(guī)則 對于任何一個邏輯函數(shù)，如果將其表達式F中所有的算符“”換成“+”, “+”換

12、成“”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”， 而變量保持不變，則得出的邏輯函數(shù)式就是F的對偶式，記為F(或F*)。 例如： AFAFCBAFCBAFCABAFCABAF,;,);1()(),0(則若則若則若以上各例中F是F的對偶式。不難證明F也是F對偶式。 即F與F互為對偶式。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 任何邏輯函數(shù)式都存在著對偶式。 若原等式成立， 則對偶式也一定成立。即，如果F=G,則F=G。這種邏輯推理叫做對偶原理，或對偶規(guī)則。 必須注意，由原式求對偶式時，運算的優(yōu)先順序不能改變， 且式中的非號也保持不變。 觀察前面邏輯代數(shù)基本定律和公式，不難看出它們都是成對出現(xiàn)的， 而且都是互為對偶的

13、對偶式。 例如，已知乘對加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根據(jù)對偶規(guī)則有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加對乘的分配律也成立。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.2.3 若干常用公式若干常用公式 1. 合并律合并律 ABAAB 在邏輯代數(shù)中，如果兩個乘積項分別包含了互補的兩個因子(如B和B)， 而其它因子都相同，那么這兩個乘積項稱為相鄰項。 合并律說明，兩個相鄰項可以合并為一項， 消去互補量。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 2. 吸收律吸收律 A+AB=A 證： A+AB=A(1+B)=A1=A 該公式說明，在一個與或表達式中，如果某一乘積項的部分因子(如AB項中的A)恰好等于另一乘積項(如A)

14、的全部， 則該乘積項(AB)是多余的。 BABABAAABAABABAA)(1)( 證： 第2章 邏輯代數(shù)基礎 該公式說明，在一個與或表達式中，如果一個乘積項(如A)取反后是另一個乘積項(如 的因子，則此因子 是多余的。 BAACAABBCAABCCAABBCAACAABBCCAABCAABBCCAAB)( 證： 推論： CAABBCDCAAB 該公式及推論說明，在一個與或表達式中，如果兩個乘積項中的部分因子互補(如AB項和AC項中的A和A)，而這兩個乘積項中的其余因子(如B和C)都是第三個乘積項中的因子， 則這個第三項是多余的。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.3 復復 合合 邏邏 輯輯 2.3.

15、1 復合邏輯運算和復合門復合邏輯運算和復合門 1. 與非、與非、 或非、或非、 與或非邏輯運算與或非邏輯運算與非邏輯運算是與運算和非運算的組合， 即 BAF或非邏輯運算是或運算和非運算的組合， 即 BAF 與或非邏輯運算是與、或、非三種運算的組合，即 CDABF第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖圖 2-10 與非門、與非門、 或非門和與或非門的邏輯符或非門和與或非門的邏輯符號號 (a) 與非門；與非門； (b) 或非門；或非門； (c) 與或非門與或非門 FFBFA(a)FA&ABBFBFA(b)FAABB1FBADCABCDFBADC1&(c)第2章 邏輯代數(shù)基礎 2. 異或和同或邏輯

16、運算異或和同或邏輯運算 異或邏輯的含義是：當兩個輸入變量相異時，輸出為1； 相同時輸出為0。 是異或運算的符號。 異或運算也稱模2加運算。 異或邏輯的真值表如表2-5所示， 其邏輯表達式為 BABABAFA BF0 00 11 01 10110表表 2-5 異或邏輯真值表異或邏輯真值表 第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-11 異或門和同或門的邏輯符號(a) 異或門； (b) 同或門 FBFA(a)FAABB 1FBFA(b)FAABB第2章 邏輯代數(shù)基礎 同或邏輯與異或邏輯相反，它表示當兩個輸入變量相同時輸出為1；相異時輸出為0。 是同或運算的符號。 同或邏輯的真值表如表2-6所示，其邏輯表達式為

17、 ABBABAFA BF0 00 11 01 11001表 2-6 同或邏輯真值表 第2章 邏輯代數(shù)基礎 由定義和真值表可見，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即 BABABABA, 不僅如此，它們還互為對偶式。如果 ，G=A B， 不難證明F=G, G=F。 因此可以將“ ”作為“ ”的對偶符號，反之亦然。由以上分析可以看出， 兩變量的異或函數(shù)和同或函數(shù)既互補又對偶，這是一對特殊函數(shù)。 BAF第2章 邏輯代數(shù)基礎 表 2-7 常用異或和同或運算公式 此外， AAAAA0(A的個數(shù)為偶數(shù)) (A的個數(shù)為奇數(shù)) 第2章 邏輯代數(shù)基礎 對于一個代數(shù)系統(tǒng)， 若僅用它所定義的一組運算符號就能解決所有的運算

18、問題， 則稱這一組符號是一個完備的集合， 簡稱完備集。 在邏輯代數(shù)中， 與、 或、 非是三種最基本的運算，n變量的所有邏輯函數(shù)都可以用n個變量及一組邏輯運算符“、 +、 -”來構成， 因此稱“、 +、 -”運算符是一組完備集。 2.3.2 邏輯運算符的完備性邏輯運算符的完備性第2章 邏輯代數(shù)基礎 但是“與、 或、 非”并不是最好的完備集， 因為它實現(xiàn)一個函數(shù)要使用三種不同規(guī)格的邏輯門。 實際上從反演律可以看出， 有了“與”和“非”可得出“或”， 有了“或”和“非”可得出“與”， 因此“與非”、 “或非”、 “與或非”運算中的任何一種都能單獨實現(xiàn)“與、 或、 非”運算， 這三種復合運算每種都是完

19、備集， 而且實現(xiàn)函數(shù)只需要一種規(guī)格的邏輯門， 這就給設計工作帶來許多方便。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 例如，任何一個邏輯函數(shù)式都可以通過邏輯變換寫成以下五種形式： CABACABACAABCABACAABF)()()(與或式 或與式 與非與非式 或非或非式 與或非式 第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-12 邏輯函數(shù)的五種形式 &AB&C1(a)&B&AC&(c)AAF=AB+ACABC1(b)BA(d)A&1F=(A+B)(A+C)111ACA1&(e)BCAF=(A+B)+(A+C)F=AB+ACF=ABAC第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.4 邏輯函

20、數(shù)的兩種標準形式邏輯函數(shù)的兩種標準形式 2.4.1 最小項和最小項表達式最小項和最小項表達式 1. 最小項最小項 n個變量的最小項是n個變量的“與項”，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。 兩 個 變 量 A 、 B 可 以 構 成 四 個 最 小 項 ，三個變量A、B、C可以構成八個最小項 ，可見n個變量的最小項共有2n個。 ABCCABCBACBABCACBACBACBA、ABBABABA、第2章 邏輯代數(shù)基礎 表 2-8 三變量邏輯函數(shù)的最小項 第2章 邏輯代數(shù)基礎 最小項具有以下性質： n變量的全部最小項的邏輯和恒為1，即 1120niim 任意兩個不同的最小項的邏輯乘恒為0

21、， 即 )(0jimmji n變量的每一個最小項有n個相鄰項。例如，三變量的某一最小項 有三個相鄰項： 。這種相鄰關系對于邏輯函數(shù)化簡十分重要。 CBACBABCACBA、第2章 邏輯代數(shù)基礎 2. 最小項表達式最小項表達式標準與或式標準與或式 如果在一個與或表達式中，所有與項均為最小項， 則稱這種表達式為最小項表達式，或稱為標準與或式、標準積之和式。 例如： CABCBACBACBAF),(是一個三變量的最小項表達式， 它也可以簡寫為 )6 , 5 , 4(),(645mmmmCBAF第2章 邏輯代數(shù)基礎 任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為最小項之和的形式： 只要將真值表中使函數(shù)值為1的各個最小項

22、相或，便可得出該函數(shù)的最小項表達式。 由于任何一個函數(shù)的真值表是惟一的，因此其最小項表達式也是惟一的。 表 2-9 真值表 A B CF0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101101011第2章 邏輯代數(shù)基礎 從真值表可知，當A、B、C取值分別為001、010、 100、111時，F(xiàn)為1，因此最小項表達式由這四種組合所對應的最小項進行相或構成，即 )7 , 4 , 2 , 1 (mABCCBACBACBAF表 2-10 三變量邏輯函數(shù)的最大項 第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.4.2 最大項和最大項表達式最大項和最大項表達式 1. 最大項最大項 n個變量的最

23、大項是n個變量的“或項”，其中每一個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。 n個變量可以構成2n個最大項。最大項用符號Mi表示(見表2-10)。與最小項恰好相反，對于任何一個最大項，只有一組變量取值使它為0，而變量的其余取值均使它為1。 例如，或項 僅和變量取值101對應，故用M5表示。 CBA第2章 邏輯代數(shù)基礎 最大項具有以下性質： n變量的全部最大項的邏輯乘恒為0，即 1200niiM n變量的任意兩個不同的最大項的邏輯和必等于1，即 )( 1jiMMji n變量的每個最大項有n個相鄰項。例如，三變量的某一最大項 有三個相鄰項： )(CBA。、)()()(CBACBACBA第2章 邏輯代

24、數(shù)基礎 2. 最小項與最大項之間的關系最小項與最大項之間的關系 變量數(shù)相同，編號相同的最小項和最大項之間存在互補關系，即 iiiimMMm,例如： 7777MCBACBACBAMmCBACBAM第2章 邏輯代數(shù)基礎 3. 最大項表達式最大項表達式標準或與式標準或與式 在一個或與式中，如果所有的或項均為最大項，則稱這種表達式為最大項表達式，或稱為標準或與式、標準和之積表達式。 如果一個邏輯函數(shù)的真值表已給出，要寫出該函數(shù)的最大項表達式，可以先求出該函數(shù)的反函數(shù) ，并寫出 的最小項表達式，然后將 再求反，利用mi和Mi的互補關系便得到最大項表達式。例如，已知表2-11的真值表，可得 FFF第2章

25、邏輯代數(shù)基礎 表 2-11 真值表 A B C F F0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 11 01 00 10 11 01 00 10 1)7 , 6 , 3 , 2()5 , 4 , 1 , 0(7632763276327632MmmmmmmmmmmmmFFmmmmFmF可見，最大項表達式是真值表中使函數(shù)值為0的各個最大項相與。 得出結論：任何一個邏輯函數(shù)既可以用最小項表達式表示，也可以用最大項表達式表示。如果將一個n變量函數(shù)的最小項表達式改為最大項表達式時，其最大項的編號必定都不是最小項的編號， 而且這些最小項的個數(shù)和最大項的個數(shù)之和為2n。 第

26、2章 邏輯代數(shù)基礎 2.5 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法 1. 并項法并項法 利用公式AB+AB=A將兩項合并成一項，并消去互補因子。如：AACCACBBCACBCBACBAABCCABCBAFDCADCABDCBAF)()(第2章 邏輯代數(shù)基礎 2. 吸收法吸收法 利用吸收律 A+AB=A、 和 吸收(消去)多余的乘積項或多余的 因子。 如： BABAACAABBCCAABDCACBAADEDCACBADCADEACBAFDCDAABCBDDACABCBDDCAABCBDDCDAABCFCBDACDCBACDCABAFCABCABABCBAABCBCAABF)()(第2章 邏輯代

27、數(shù)基礎 3. 配項法配項法 利用重疊律A+A=A、互補律A+ A = 1 和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配項或添加多余項，然后再逐步化簡。如： DCBACDABCBACDABABCBACDBACBACCBDBDAACF)(添多余項AB) (去掉多余項AB) 第2章 邏輯代數(shù)基礎 ABCBCAABBCAABCCBCBACBAABAABCCBCCBAABBCCBBAFCBBACACABCBABCACBACBACBACABBCACBACBAF)()()()()(第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.6 邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡 2.6.1 卡諾圖的構成卡諾圖的構成 在邏輯函數(shù)的真值表中，

28、 輸入變量的每一種組合都和一個最小項相對應，這種真值表也稱最小項真值表?？ㄖZ圖就是根據(jù)最小項真值表按一定規(guī)則排列的方格圖。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 表 2-12 三變量最小項 第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-14 四變量、五變量K圖 0ABCD00011110(a)141285139327151161410000111100ABCDE000(b)1412851393271511614100001111024252820162921172726312319302218001011010110111101100A B CA B CA B CA B CA B CA B CA B CA B CABC000

29、1111001(a)m0ABC0001111001(b)m1m2m6m4m3m7m50ABC0001111001(c)1264375圖 2-13 三變量K圖 第2章 邏輯代數(shù)基礎 由圖2-14可以看出，K圖具有如下特點： n變量的卡諾圖有2n個方格，對應表示2n個最小項。每當變量數(shù)增加一個，卡諾圖的方格數(shù)就擴大一倍。 卡諾圖中任何幾何位置相鄰的兩個最小項，在邏輯上都是相鄰的。由于變量取值的順序按格雷碼排列，保證了各相鄰行(列)之間只有一個變量取值不同，從而保證畫出來的最小項方格圖具有這一重要特點。 所謂幾何相鄰，一是相接，即緊挨著； 二是相對，即任意一行或一列的兩頭；三是相重， 即對折起來位置

30、重合。 所謂邏輯相鄰，是指除了一個變量不同外其余變量都相同的兩個與項。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 例如圖2-14(b)五變量K圖中，m5在幾何位置上與m4、m7、m1、m13、m21相鄰，因此 與 相鄰， 此外還與 和 分別相鄰， 即m5有五個相鄰項?？梢娍ㄖZ圖也反映了n變量的任何一個最小項有n個相鄰項這一特點。 卡諾圖的主要缺點是隨著輸入變量的增加圖形迅速復雜， 相鄰項不那么直觀，因此它只適于用來表示6個以下變量的邏輯函數(shù)。 EDCBAm 5EDCBAm 4EDBCAmEDCBAmCDEBAm1317、EDCBAm21第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.6.2 邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

31、 1. 給出邏輯函數(shù)的最小項表達式給出邏輯函數(shù)的最小項表達式 只要將構成邏輯函數(shù)的最小項在卡諾圖上相應的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，則可以得到該函數(shù)的卡諾圖。也就是說，任何一個邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填1的那些最小項之和。 例如，用卡諾圖表示函數(shù) 時，只需在三變量卡諾圖中將m0、m3、m4、m6處填1，其余填0(或不填)，如圖2-15(a)所示。 同理， 的卡諾圖如圖 2-15(b)所示。 )6 , 4 , 3 , 0(1mF)15,12,10, 9 , 7 , 4 , 2 , 0(2mF第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-15 F1、2的卡諾圖 1ABC0001111001(a)0111

32、ABCD00011110(b)011000101110001000111100100第2章 邏輯代數(shù)基礎 2. 給出邏輯函數(shù)的一般與或式給出邏輯函數(shù)的一般與或式 將一般與或式中每個與項在卡諾圖上所覆蓋的最小項處都填1，其余的填0(或不填)，就可以得到該函數(shù)的卡諾圖。 例如，用卡諾圖表示函數(shù) 時， 先確定使每個與項為1的輸入變量取值， 然后在該輸入變量取值所對應的方格內填1。 ：當ABCD=101(表示可以為0，也可以為1)時該與項為1，在卡諾圖上對應兩個方格(m10、m11)處填1。 ADDCBACBAF3CBA第2章 邏輯代數(shù)基礎 ：當ABCD=001時該與項為1，對應兩個方格(m2、m3)

33、處填1。 D：當ABCD=1時該與項為1，對應八個方格(m1、m3、m5、m7、m9、m11、m13、m15)處填1。 AD：當ABCD=11時該與項為1，對應四個方格(m9、 m11、m13、m15)處填1。 某些最小項重復，只需填一次即可。CBA第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-16 F3的卡諾圖 ABCD00011110111111111100011110第2章 邏輯代數(shù)基礎 3. 給出邏輯函數(shù)的最大項表達式給出邏輯函數(shù)的最大項表達式 只要將構成邏輯函數(shù)的最大項在卡諾圖相應的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是說，任何一個邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填0的那些最大項之積。 例如，函數(shù) 的卡諾圖

34、如圖2-17所示。 必須注意，在卡諾圖中最大項的編號與最小項編號是一致的，但對應輸入變量的取值是相反的。 )()()6 , 2 , 0(4CBACBACBAMF第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-17 F4的卡諾圖 0ABC00011110010011111第2章 邏輯代數(shù)基礎 4. 給出邏輯函數(shù)的一般或與式給出邏輯函數(shù)的一般或與式 將一般或與式中每個或項在卡諾圖上所覆蓋的最大項處都填0，其余的填1即可。 例如，將函數(shù) 填入卡諾圖時，先確定使每個或項為0時輸入變量的取值，然后在該取值所對應的方格內填0。 )(5CBCAF: )(CA: )(CB 當ABC=10時，該或項為0，對應兩個方格(M4、M6

35、)處填0。當ABC=10時，該或項為0，對應兩個方格(M2、M6)處填0。第2章 邏輯代數(shù)基礎 某些最大項重復，填一次即可。F5的卡諾圖如圖2-18所示。 圖 2-18 F5的卡諾圖 1ABC00011110010001111第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.6.3 最小項合并規(guī)律最小項合并規(guī)律 在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項均可以合并。 兩個相鄰最小項合并為一項，消去一個互補變量。在卡諾圖上該合并圈稱為單元圈，它所對應的與項由圈內沒有變化的那些變量組成，可以直接從卡諾圖中讀出。例如，圖2-19(a) 中m1、m3合并為 ，圖2-19(b)中m0、m4合并為 。 任何兩個相鄰的單元K圈也是相鄰項

36、，仍然可以合并，消去互補變量。因此，如果K圈越大，消去的變量數(shù)就越多。 CACB第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖2-19(c)、 (d)表示四個相鄰最小項合并為一項，消去了兩個變量，合并后積項由K圈對應的沒有變化的那些變量組成。圖2-19(c)中m0、m1、m4、m5合并為 ，圖2-19(d)中m0、m2、m8、m10合并為 ，m5、m7、m13、m15合并為BD， m12、m13、m15、m14合并為AB。 圖2-19(e)表示八個相鄰最小項合并為一項，消去了三個變量，即DBCADmAm)15,13,11, 9 , 7 , 5 , 3 , 1 (,)15,14,13,12,11,10, 9 , 8(

37、第2章 邏輯代數(shù)基礎 綜上所述， 最小項合并有以下特點： 任何一個合并圈(即卡諾圈)所含的方格數(shù)為2i個。 必須按照相鄰規(guī)則畫卡諾圈，幾何位置相鄰包括三種情況：一是相接，即緊挨著的方格相鄰；二是相對，即一行(或一列)的兩頭、兩邊、四角相鄰；三是相重，即以對稱軸為中心對折起來重合的位置相鄰。 2m個方格合并，消去m個變量。合并圈越大，消去的變量數(shù)越多。 需要指出，上述最小項的合并規(guī)則，對最大項的合并同樣是適用的。只是因為最大項是與函數(shù)的0值相對應，在卡諾圖中則與0格對應，因此，最大項的合并在卡諾圖中是相鄰的0格圈在一起。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-19 最小項合并規(guī)律 1ABC0001111

38、0011(b)ABC0001111001111ABCD0001111011100011110(c)(a)1ABCD0001111011111111100011110(d)ACACBCBDABCD0001111011111111111100011110(e)ABDABD第2章 邏輯代數(shù)基礎 2.6.4 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) 1. 求最簡與或式求最簡與或式 在卡諾圖上以最少的卡諾圈數(shù)和盡可能大的卡諾圈覆蓋所有填1的方格， 即滿足最小覆蓋，就可以求得邏輯函數(shù)的最簡與或式。 化簡的一般步驟是： 畫出邏輯函數(shù)的K圖。 先從只有一種圈法的最小項開始圈起，K圈的數(shù)目應最少(與項的項數(shù)最少

39、)，K圈應盡量大(對應與項中變量數(shù)最少)。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 將每個K圈寫成相應的與項， 并將它們相或， 便得到最簡與或式。 圈圈時應注意，根據(jù)重疊律(A+A=A)，任何一個1格可以多次被圈用，但如果在某個K圈中所有的1格均已被別的K圈圈過，則該圈為多余圈。為了避免出現(xiàn)多余圈， 應保證每個K圈內至少有一個1格只被圈一次。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 【例 2-1】 求F= m(1, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13)的最簡與或式。 解：解： 畫出F的K圖(見圖2-20)。 圖 2-20 例2-1的卡諾圖 ABCD000111101111111100011110第2章 邏輯代數(shù)基礎

40、畫K圈。按照最小項合并規(guī)律，將可以合并的最小項分別圈起來。 根據(jù)化簡原則，應選擇最少的K圈和盡可能大的K圈覆蓋所有的1格。首先選擇只有一種圈法的BC，剩下四個1格(m1、m3、m10、m11)用兩個K圈 覆蓋。 可見一共只要用三個K圈即可覆蓋全部1格。 寫出最簡式。 CBADBA、CBADBACBF第2章 邏輯代數(shù)基礎 【例【例 2-2】 求 ABCDCABDCBDBACDBF的最簡與或式。 解：解： 畫出F的K圖。給出的F為一般與或式，將每個與項所覆蓋的最小項都填1，K圖如圖2-21所示。 圖 2-21 例2-2的卡諾圖 ABCD0001111011111111100011110(a)ABC

41、D0001111011111111100011110(b)第2章 邏輯代數(shù)基礎 畫K圈化簡函數(shù)。 寫出最簡與或式。 本例有兩種圈法， 都可以得到最簡式。 按圖2-21(a)圈法： ABDDCBDCACBF按圖2-21(b)圈法： ACDCABDBACBF該例說明，邏輯函數(shù)的最簡式不是惟一的。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 【例 2-3】求 的最簡與或式。 解：解： 畫F的K圖。 這是一個五變量邏輯函數(shù)，按五變量K圖中的編號填圖，得出F的K圖如圖2 - 22所示。 )31,29,27,25,24,23,22,21,20,16,15,13,11, 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 0(mF第2章 邏

42、輯代數(shù)基礎 1ABCDE0001*11 1*11*1*100011110111111111 1*001011010110111101100圖 2-22 例2-3的卡諾圖 第2章 邏輯代數(shù)基礎 畫K圈化簡函數(shù)。 先找只有一種圈法的最小項： 覆蓋；用余下覆蓋；：用覆蓋；：用覆蓋；，：用覆蓋；用、ABEmmEDCmmCEmmBDEmmCBmmm)31,29,27,25()24,16, 8 , 0()31,29,23,21,15,13, 7 , 5()3127,15,11()23,22,21,20, 7 , 6 , 5 , 4(:2581311226第2章 邏輯代數(shù)基礎 寫出最簡式。 ABEEDCCE

43、BDECBF 如何判斷得到的函數(shù)式是否為最簡式呢? 下面從蘊含項的概念討論最簡式問題： 蘊含項(Implicant)。組成邏輯函數(shù)的每一個與項(積項)稱為該函數(shù)的蘊含項。它可以是最小項，也可以是合并項。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 本原蘊含項(Prime Implicant)。如果邏輯函數(shù)的一個蘊含項再也不能同該函數(shù)的其它蘊含項合并組成變量數(shù)更少的蘊含項，則稱該蘊含項為本原蘊含項。實際上它對應著卡諾圖中不能再擴大的合并項， 即最大卡諾圈。 實質本原蘊含項(Essential Prime Implicant)。不能被其它蘊含項所包含的本原蘊含項稱為實質本原蘊含項。它對應著卡諾圖中必不可少的最大卡諾圈，

44、該圈至少包含了一個只有一種圈法的最小項。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 例如，已知邏輯函數(shù)F1、F2的卡諾圖分別如圖2-23(a)、(b)所示，化簡F1時只需用 3 個最大的K圈就可以覆蓋全部1格，如果用四個K圈肯定有一個多余圈。從圖2-23(a)中看出，合并項AC為多余項，因為該圈中每個 1 格被圈了兩次。因此可得出最簡與或式為 CBDAABF1 化簡圖2-23(b)的F2，只用六個最大的K圈覆蓋所有的 1 格，觀察每一個K圈都有一個 1 格只被圈過一次，因此這六個K圈都必須存在，最簡與或式為 CDBADCADCABACBDBF2第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-23 F1、F2的化簡K圖 (a)ABC

45、D00011110111111111100011110(b)1ABCD00011110111111111100011110第2章 邏輯代數(shù)基礎 2. 求最簡或與式求最簡或與式 任何一個邏輯函數(shù)既可以等于其卡諾圖上填1的那些最小項之和，也可以等于其卡諾圖上填0的那些最大項之積， 因此，如果要求出某函數(shù)的最簡或與式， 可以在該函數(shù)的卡諾圖上合并那些填0的相鄰項。這種方法簡稱為圈0合并， 其化簡步驟及化簡原則與圈1合并類同，只要按圈逐一寫出或項， 然后將所得的或項相與即可。但需注意，或項由K圈對應的沒有變化的那些變量組成，當變量取值為0時寫原變量， 取值為1時寫反變量。 第2章 邏輯代數(shù)基礎 【例

46、2-4】 求 )13,11, 9 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 1 (mF的最簡或與式。 解：解： 畫出F的K圖(見圖2-24)。 圈K圈。圈0合并，其規(guī)律與圈1相同，即K圈的數(shù)目應最少，K圈所覆蓋的0格應盡可能多。本例用三個K圈覆蓋所有0格。 寫出最簡或與式。 )()(CBADADBF第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-24 例2-4的卡諾圖 0ABCD0001111011001111010110000011110第2章 邏輯代數(shù)基礎 【例【例 2-5】 求 CCABADCBAF)()(的最簡或與式。 解：解： 畫出F的K圖。本例給出的F為一般或與式，因此將每個或項所覆蓋的最大項都填0，就可以得到F的K圖如圖2-25所示。 圈K圈化簡函數(shù)。 寫出最簡或與式。 )(BADBACF 當需要將邏輯函數(shù)化為最簡與或非式時， 也可以采用合并0格的方式，即在卡諾圖上圈0格，先求出 的最簡與或式， 然后根據(jù)F=F再求出F的最簡與或非式。 F第2章 邏輯代數(shù)基礎 圖 2-25 例2-5的卡諾圖ABCD000111100000000000