等腰三角形性質定理

1、.教師日期學生課程編號課型專題課題等腰三角形的性質定理教學目標通過觀察發(fā)現等腰三角形的性質；掌握等腰三角形的識別方法，會用等腰三角形的性質進行簡單的計算和證明；理解等腰三角形與等邊三角形的相互關系；能夠利用等腰三角形的識別方法判斷等腰三角形；掌握等邊三角形的特征和識別方法；掌握一般文字命題的解題方法教學重點重點：等腰三角形的性質與判定。 難點：比較復雜圖形、題目的推理證明教學安排版塊時長1等腰三角形的性質30分鐘2等腰三角形的判定30分鐘3例題講解40分鐘4隨堂練習20分鐘等腰三角形等腰三角形的性質定理知識點一：等腰三角形、腰、底邊在小學里我們就已經學過，有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中

2、相等的兩條邊叫腰，第三條邊叫底邊，兩腰的夾角叫頂角，底邊和腰的夾角叫底角如圖所示，在ABC中，AB=AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊，A是頂角，B、C是底角知識點二：三角形按邊分類不等邊三角形三角形底邊與腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形（正三角形）知識點三：等腰三角形的性質1、性質1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”） 性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）2、這兩個性質證明如下： 在ABC中，AB=AC，如圖所示 作底邊BC的高AD，則有 RtABDRtACD B=C，1=2BD=CD 于是性質1、性質2

3、均得證3、說明：（1）等腰三角形的性質1用符號表示為：AB=AC，B=C； 性質1是等腰三角形的一條重要（主要）性質，也是今后我們證明角相等的又一個重要依據（2）性質2實質包含三條性質，符號表示為： AB=AC，ADBC，1=2， BD=CD； 或 AB=AC，BD=CD，l=2， ADBC 性質2的用途更為廣泛，可以用來證明線段相等，角相等，垂直關系等 （3）等腰三角形是軸對稱圖形，底邊上高（頂角平分線或底邊中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸一、 規(guī)律方法指導1 等腰（邊）三角形是一個特殊的三角形，具有較多的特殊性質，有時幾何圖形中不存在等腰（邊）三角形，可根據已知條件和圖形

4、特征，適當添加輔助線，使之構成等腰（邊）三角形，然后利用其定義和有關性質，快捷地證出結論。2 常用的輔助線有：（1）作頂角的平分線、底邊上的高線、中線。（2）在三角形的中線問題上，我們常將中線延長一倍，這樣添輔助線有助于我們解決有關中線的問題。二、 難點分析1、 對于“等腰三角形的三線合一”一定要注意是底邊上的高線、中線和頂角平分線，其他的高、中線、角平分線不滿足三線合一。2、 分類討論是等腰三角形問題中常用的思想方法，在已知等腰三角形的邊和角的情況下求其他三角形的邊或角，要對已知的邊和角進行討論，分類的標準一般是根據邊是腰還是底來分類。類型一：與度數有關的計算1如圖，在ABC中，D在BC上，

5、且AB=AC=BD，1=30°，求2的度數。思路點撥: 解該題的關鍵是要找到2和1之間的關系，顯然2=1+C，只要再找出C與2的關系問題就好解決了，而C=B，所以把問題轉化為欲找出2與B之間有什么關系，變成ABD的角之間的關系，問題就容易的多了。解析：AB=ACB =C AB=BD 2=3 2=1+C 2=1+B 2+3+B=180°B=180°22 2=1+180°22 32=1+180°1=30°2=70°總結升華：關于角度問題可以通過建立方程進行解決。舉一反三：【變式1】如圖，D、E在ABC的邊BC上，且BE=BA，C

6、D=CA，若BAC=122°，求DAE的度數?！咀兪?】在ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC上，且AD=AE，BAD=30°，求EDC的度數。類型二：等腰三角形中的分類討論2當腰長或底邊長不能確定時，必須進行分類討論（1）已知等腰三角形的兩邊長分別為8cm和10cm，求周長。（2）等腰三角形的兩邊長分別為3cm和7cm，求周長。思路點撥: 由等腰三角形的性質可知我們在解此題前，必須明確所給的邊的定義，在這里哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”不明確，而且還要考慮到三條線段能夠構成三角形的前提，因此必須進行分類討論。解析：（1）因為8+810，10+108，則在這兩種情況下

7、都能構成三角形； 當腰長為8時，周長為8+8+10=26； 當腰長為10時，周長為10+10+8=28； 故這個三角形的周長為26cm或28cm。（2）當腰長為3時，因為3+37，所以此時不能構成三角形； 當腰長為7時，因為7+73，所以此時能構成三角形，因此三角形的周長為：7+7+3=17；故這個三角形的周長為17cm?？偨Y升華：對于此類題目在進行分類討論時，必須運用三角形的三邊關系來驗證是否能構成三角形 舉一反三：【變式1】當頂角或底角不能確定時，必須進行分類討論等腰三角形的一個角是另一個角的4倍，求它的各個內角的度數【變式2】當高的位置關系不確定時，必須分類討論等腰三角形一腰上的高與另一

8、邊的夾角為25°，求這個三角形的各個內角的度數?！咀兪?】由腰的垂直平分線所引起的分類討論 在三角形ABC中，AB=AC，AB邊上的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為45°，求B的度數?！咀兪?】由腰上的中線引起的分類討論等腰三角形底邊長為5cm，一腰上的中線把其周長分為兩部分的差為3cm，求腰長。類型三：等腰三角形的性質定理與全等三角形的應用3.如圖，五邊形ABCDE中AB=AE，BC=DE，ABC=AED，點F是CD的中點求證：AFCD思路點撥: 要證明AFCD，而點F是CD的中點，聯想到這是等腰三角形特有的性質，于是連接AC、AD，證明AC=AD，利用等腰三角

9、形“三線合一”的性質得到結論解析：連接AC、AD 在ABC和AED中，AB=AE（已知） ABC=AED（已知） BC=ED（已知）ABCAED（SAS）AC=AD（全等三角形的對應邊相等）又ACD中AF是CD邊的中線（已知）AFCD（等腰三角形底邊上的高和底邊上的中線互相重合）【變式1】如圖，ABC中BA=BC，點D是AB延長線上一點，DFAC于F交BC于E，求證：DBE是等腰三角形課后作業(yè)一、填空：1、等腰三角形的的兩邊長為4cm和9cm，則該等腰三角形的周長為_cm。2、等腰三角形的周長為20cm，一邊長為6cm，則底邊長為_。3、等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30

10、76;，則頂角為_。4、已知BD是等腰ABC的角平分線，如果A=80°，那么ADB等于_。5、如圖，在等腰RtOAA1中，OAA1=90°，OA=1，以OA1為直角邊作等腰RtOA1A2，以OA2為直角邊作等腰RtOA2A3，則OA4的長度為_。6、如圖，在ABC中，ABAC，BAC120°，D是BC的中點，DEAC.則AB:AE_。7、如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于一點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連結PQ以下五個結論：AD=BE； PQAE； AP=BQ；DE=DP；

11、AOB=60°.恒成立的有_（把你認為正確的序號都填上）。第6題圖 第7題圖二、選擇題1. 若一個三角形的三個外角度數比為2：3：3，則這個三角形是（ ）A. 等腰三角形 B. 等邊三角形C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形2. 將兩個全等的有一個角為30°的直角三角形拼成如圖1所示形狀，兩條長直角邊在同一條直線上，則圖中等腰三角形的個數是（ ）圖1A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個3. 如圖2，C、E和B、D、F分別在GAH的兩邊上，且AB=BC=CD=DE=EF，若A=18°，則GEF的度數是（ ）A80° B90° C100

12、° D108°圖2圖34. 如圖3，已知AOB=60°，點P在邊OA上，OP=12，點M，N在邊OB上，PM=PN，若MN=2，則OM=（）A3B4C5D65.在ABC中，AB=AC，下列推理中錯誤的是（）A、如果AD是中線，那么ADBC，BAD=DACB、如果BD是高，那么BD是角平分線C、如果AD是高，那么BAD=DAC、BD=DCD、如果AD是角平分線，那么AD也是BC邊的垂直平分線三、解答題1、等腰三角形的周長為12，且其各邊長均為整數，求各邊長。2、（1）等腰三角形的一個角為50°，求另外兩個角的度數。 （2）等腰三角形的一個外角為100°，求該等腰三角形的頂角。3、等腰三角形一腰上的中線將等腰三角形的周長分成8cm和10cm的兩部分，求該等腰三角形的各邊長。4、 如圖2所示，ABC和BDE都是等邊三角形。求證：AECD。5、如圖，等腰ABC中，AB=AC，DBC=15°，AB的垂直平分線MN交AC于點D，求A的度數6、“有兩邊相