概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章習(xí)題及答案

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題第一章概率論的基本概念習(xí)題1-1設(shè)A,B,C為三事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件.(1) A發(fā)生，B與C不發(fā)生，(2) A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生，(3) A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生，(4)A,B,C都發(fā)生，(5)A,B,C都不發(fā)生，(6) A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生，(7) A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生，(8) A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生，解(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生表示為ABC或A(AB+AC)或A(BUC)(2) A,B都發(fā)生，而C不發(fā)生表示為ABC或ABABC或ABC(3) A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生表示為A+B+C(4) A,B,C都發(fā)生，表示為ABC(5)

2、 A,B,C都不發(fā)生，表示為ABC或S(A+B+C)或ABC(6) A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A,B,C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生，相當(dāng)于AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：ABBCAC。(7) A,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生相當(dāng)于A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為ABC或ABC(8) A,B,C中至少有二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為AB+BC+AC習(xí)題1-2設(shè)A,B為兩事件且P(A)0.6,P(B)0.7,問(wèn)(1)在什么條件下P(AB)取得最大值，最大值是多少？(2)在什么條件下P(AB)取得最小值，最小值是多少？解由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知A

3、BW。，(否則AB=。依互斥事件加法定理，P(AUB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1與P(AUB)W1矛盾).從而由加法定理得(*)P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(1)從0WP(AB)WP(A)知，當(dāng)AB=A,即AnB時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為P(AB尸P(A)=0.6,(2)從(*)式知，當(dāng)AUB=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為P(AB)=0.6+0.71=0.3。習(xí)題1-3在房間里有10個(gè)人，分別佩戴從1好到10號(hào)的紀(jì)念章，任選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼，(1)求最小號(hào)碼為5的概率；(2)求最大號(hào)碼為5的概率.解：試驗(yàn)：“10人任取3人記錄其號(hào)碼

4、“，樣本點(diǎn)總數(shù)：nC130設(shè)A:“最小號(hào)碼為5"B:“最大號(hào)碼為5"最小號(hào)碼為5:必須取到5號(hào)、其余2人610中任取2nAC5C：C3012B :“最大號(hào)碼為5 " nBC42(1-4中取2人)P(B)C42C0120習(xí)題1-4某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，紅漆3桶，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落，交貨人隨意將這些發(fā)給顧客，問(wèn)一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆，和2桶紅漆的顧客，能按所定顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？解：試驗(yàn)：“從17個(gè)桶中任取9個(gè)桶“，nCvA:“取4桶白、3黑、2紅L“nAC140c:C；C40C：C22529C1S72431習(xí)題1-5從5

5、雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率是多少？解一：實(shí)驗(yàn)：“從5雙鞋中任取4只”nP0A:“4只鞋子中至少有兩只配成一雙”第二只從4雙"4只均不成雙第二只從3版第一只從5雙（1口只）中任取一只二"只）解二:A:nAC424解三:中任取一只:中任取一只;Cio10第四只從2雙nA108641081PA1五雙中取四雙:10每雙中取一只:-4*C52PA1C10設(shè)A：“四只中恰有兩只配成雙”A2：“四只恰好配成兩雙”且A4AUA2（4只）中任取一只!6413C；1321nA2721c5c5C222C82C4c5c2c4codco12211132121習(xí)題

6、1-6在11張卡片上分別寫上排列結(jié)果為ability的概率.解：記排列結(jié)果為ability為事件A,則probability這11個(gè)字母,從中任意連抽7張,求其R；11109876562.410習(xí)題1-7將3個(gè)球隨機(jī)地放入的概率.4個(gè)杯子中去，求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1,2,3設(shè)A：“杯子中球的最大個(gè)數(shù)為ii1,2,3E：“3個(gè)球放入4個(gè)杯中”n43而A:“每個(gè)杯子最多放一個(gè)球“，門叫P：;A2：“一個(gè)杯中放2只球，其余最多放一個(gè)“nA2C：C32C；A3： ”3個(gè)球放一個(gè)杯子中“1nA3 C4AP43A1*43c4c32c316c41634習(xí)題1-8已知P(A) 0.3P(B)0.4,P(

7、AB)0.5，求 P(B|A B).解:0.3 P0.4P AB0.50.70.6ABAB U ABP ABABABAB0.7B AU BAB0.5 0.2B| AU BP ABP AU BP AB0.20.250.70.60.5習(xí)題1-9已知P(A)1P(B|A)-3P(A|B),求P(AB).解：QPPABB|APAABPAPB|APABA|B11212PAUBPAB12習(xí)題1-10某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，（1）求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率；（2）若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？解一：設(shè)A：“第i次接通電話”i1,2,3A：“撥號(hào)不超過(guò)三次

8、而接通”AAUA1A2UAA2A3PAPAPA1A2PA1AA3PAPA1PA2IA1PA1PA2IAPA31AA2191981310109109810當(dāng)已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)時(shí)1414313PA-5545435解二：qA：“撥號(hào)3次都未接通"。AXATAP(A) 1p（A）1 p仄 A2A3）1P(A)P(A2|A)P(A|A1A2).98731 109810當(dāng)最后一位是奇數(shù)時(shí)。P(A)習(xí)題1-11求放回后仍為“某種產(chǎn)品的商標(biāo)為 “ MAXAMMAXAM ”解：當(dāng)兩個(gè)字母相同時(shí), 概率為1/2.的概率。放回單詞的概率為其中有2個(gè)字母脫落，有人撿起隨意放回,1;當(dāng)兩個(gè)字母不同時(shí)，放回

9、后單詞不變的P212C21416 12 20 20 2習(xí)題1-12已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問(wèn)此人是男性的概率是多少？解：B= "選中的是色盲患者”A1= "此人是男性”A2= "此人是女性”11pAi21PA2 -P(B|Ai)5%,P(BA)0.25%.P(A|B)P(AB)P(B)P(A)P(B|Ai)P(A)P(B|Ai) P(A2)P(B|A2)152 100151252 100 2 10000習(xí)題1-13將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作20

10、21B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與信息B傳送的頻率程度為2：1.若接收站收到的信息是A,問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？解：設(shè)C：“傳遞出去的信息是A”；D：“收到的信息是A”2 1則P(C)P(C)3 3P(D|C)10.020.98P(D|C)0.01由貝葉斯公式得：P(C|D)P(CD)P(D)P(C)P(D |C)P(C)P(D |C) P(C)P(D |C)230.981962 0.9810.011973 3習(xí)題1-14有兩箱同種類的零件.第一箱裝50只，其中10只是一等品；第二箱裝30只，其中18只一等品.今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次

11、任取一只，作不放回抽樣.求（1）第一次取到的零件是一等品的概率.（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率.解：設(shè)A:“第i次取到的是一等品"，i1,2Q包含：1從兩箱中任取一箱是第一箱2從第一箱中任取兩只，第一只是一等品從兩箱中任取一箱是第二箱從第二箱中任取兩只，第一只是一等品而AA4UaA21109104011817181222504950492302950295 Q P AA110_9_18172762504930291421P A21A276 14212 50.4856習(xí)題1-15某人下午5:00下班，他所積累的資料見下表:收一U5:§02

12、人54一”之后秉峨罅洞率1100,250.450.15。,心垂汽旬累跚率1340350.2A0.1C0肥某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率.解：設(shè)A: “乘地鐵回家”五：“乘汽車回家”Bi： “5: 355: 39 回家”3 : “5: 405: 44 回家”B3： “5: 455: 49 回家”B4： “5: 505: 54 回家”P(A|B3)P(AB3)P(B3)B5：“遲于5:54回家”P(A)P(B3|f)_P(A)P(B3|A)P(A)P(B3|A)913120.45100.45100.2022習(xí)題1-16(1)設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元

13、件1,2,3,4。它們的可靠性分別為p1,p2,p3,p4,將它們按圖1方式聯(lián)接(串并聯(lián)系統(tǒng))；(2)設(shè)有5個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4,5,它們的可靠性均為p,將它們按圖2的方式聯(lián)接(橋式系統(tǒng))。試分別求出這兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性。(圖1,2見教材28頁(yè)習(xí)題34)習(xí)題1-17A,B,C三人在同一辦公室工作，房間里有一部電話。據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A,B,C的電話的概率分別為2/5,2/5,15o他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A,B,C三人外出的概率分別為1/2,1/4,1/4。設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立。求(1)無(wú)人接電話的概率；(2)被呼叫人在辦公室的概率；(3)這3個(gè)電話打給同一人的概率；(4)這3個(gè)電話打給不相

14、同的人的概率；(5)這3個(gè)電話都打給B的條件下，而B卻都不在的概率。解：設(shè)：A：“A不在辦公室”，A2：“B不在辦公室”，A3：“C不在辦公室”，B1：“電話打給A”，民：“電話打給B”，B3：“電話打給C”，已知B1,B2,B3互不相容，因?yàn)椴豢赡芤粋€(gè)電話同時(shí)打給兩個(gè)人，A1與B1、A2與B2、A3與B3它們是相互獨(dú)立的。(1)P(AAA)P(A)P(A2)P(A)1111244 32P(AB1 A2B2P(A)P(B)P(A)P(Bz)P(A3)P(B3)2123135"214 飛 彳1320(3) P(B1B1B1B2B2&B3B3B3) P(B1B1B1) P(B2B

15、2B2)P(B3&&)P(Bi)P(Bi)P(Bi)P(B2)P( B2)P(B2) P(B3)P(B3)P(B3)17O125(4)P(BiB2B3B1B3B21245 125B2B1B3B2B3B1B3B1B2B3B2B1)6 P(B1B2B3)(5)P(B2B2B2A2)P(B2)p(B2)p(B2)p(A2)O125習(xí)題1-18設(shè)一枚深水炸彈擊沉一潛水艇的概率為1/3,擊傷的概率為1/2 ,擊不中的A3B3)P(ABi)P(A2B2)P(A3&)概率為1/6。并設(shè)擊傷兩次也會(huì)導(dǎo)致潛水艇下沉。求施放4枚深水炸彈能擊沉潛水艇的概率。(提示：先求出擊不沉的概率)解設(shè)A"施放4枚深水炸彈擊沉一潛水艇”，B“施放4枚深水炸彈均未擊中艇”C“施放4枚深水炸彈恰有一枚擊傷潛水艇”431-_111則PB1,PCC：116264311111283C46261296,而輸出為其習(xí)題1-19將A,B,C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為它一字母的概率都是