第二章 平面向量復習

1、第二章 平面向量復習 選題人：劉瑞紅 審題人：蘇傳忠（起點）（終點）一、向量的概念：1向量定義：既有大小又有方向的量叫做向量。線段的長度叫向量的長度，記作。2向量的表示方法：（1）用有向線段表示； （2）用字母表示：.3單位向量、零向量、平行向量、相等向量、共線向量的定義：（1）單位向量：長度為1的向量叫單位向量，即；（2）零向量：長度為零的向量叫零向量，記作；（3）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作：；（4）共線向量：平行向量都可移到同一直線上。平行向量也叫共線向量。（5）相等向量：長度相等，方向相同的向量叫相等向量。即：；說明：（1）規(guī)定：零向量與任一向量平行，記作； （2

2、）零向量與零向量相等，記作； （3）任意二個非零相等向量可用同一條有向線段表示，與有向線段的起點無關。二、向量的線性運算：1向量的加法：求兩個向量和的運算叫做向量的加法。表示： 規(guī)定：零向量與任一向量，都有2向量加法的法則：（1）三角形法則：根據向量加法定義得到的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則。 表示：（共線向量的加法也符合）（2）平行四邊形法則：以同一點為起點的兩個已知向量，為鄰邊作，則以為起點的對角線就是與的和，此法稱為向量加法的平行四邊形法則。 3向量的運算律：交換律： 結合律：說明：多個向量的加法運算可按照任意的次序與任意的組合進行。4相反向量：與長度相等，方向相反的向量，叫

3、做的相反向量，記作。 說明：（1）規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。 （2）性質：；5向量的減法：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。表示6向量減法的法則： 已知如圖有，求作三角形法則：在平面內任取一點，作，則說明：可以表示為從的終點指向的終點的向量（，有共同起點）7.向量的數(shù)乘的定義：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)|=|；(2) 當>0時，的方向與的方向 ；當<0時，的方向與的方向 ；當=0時，=，方向是任意的.8.向量數(shù)乘的運算律設、為實數(shù)，那么：（1）（）=（）；（2）（+）=+；（3）（+）=+9.兩個向量共線定理向量與非零向量共線的等價條件是

4、有且只有一個實數(shù)，使得=.特別的：10.平面向量基本定理如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使其中我們把不共線的向量，叫做表示這一平面所有向量的一組基底。注：，均非零向量； ，不唯一（事先給定）； ，唯一；時，與共線；時，與共線；時，特別的：相關練習：1. 判斷下列各命題是否正確（1） 若A、B、C、D是不共線的四點，則=是四邊形ABCD為平行四邊形的等價條件；( )（2） 若，則；( ) （3）=的等價條件是( )2. 已知任意兩個非零向量與，試作，則下列各式成立的是（ ）(A) （B） （C） （D）3.設O是內一點，則O是的（ ）（A）內心

5、 （B）外心 （C）垂心 （D）重心4已知下列各式：（1） （2）（3） （4），其中結果為的個數(shù)為 5.已知正方形ABCD的邊長為1，則（ ） （A）0 （B）3 （C） （D）6.已知的取值范圍是 .7.在中，M為BC的中點，則_。（用表示）8.已知是所在平面內一點，為邊中點，且，那么（A） （B） （C）（D）9.設、為非零向量，且|=|=|-|，則與+的夾角為 ，+與-的夾角為 .10. 在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，若，則的值為 三、向量的數(shù)量積及坐標運算：1.平面向量的坐標表示： 在平面直角坐標系內，分別取與軸、軸正方向相同的兩個單位向量、為基底，對該平面內

6、的任一向量，有且只有一對實數(shù)、，使得= ,則實數(shù)對（,）叫做向量的直角坐標，記作 ，其中、分別叫做在、軸上的坐標，=（,）叫做的坐標表示.(1)相等的向量其坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量. (2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關。（3），；（4）從原點引出的向量的坐標就是點的坐標。2. 平面向量的坐標運算：（1）若=，=，則= 。（2）若則。 （3）若=，則= 。 3平面向量共線的坐標表示：若=，=，當且僅當 時，/，記作 。設，要證明三點、共線，只要證明 。4. 平面向量的數(shù)量積的定義：向量的夾角：已知兩個非零向量，過點作，則 叫做向量的夾

7、角。其取值范圍是： 當且僅當兩個非零向量同方向時， ，當且僅當反方向時 。與垂直：如果的夾角為 ，則稱與垂直，記作 。與的數(shù)量積：兩個非零向量，它們的夾角為，則 叫做稱與的數(shù)量積（或內積），記作 ，即 。規(guī)定 ，對于非零向量與 ，當且僅當時，即 時， 。在方向上的投影，它是一個數(shù)，不是向量。且 = 。當 時，它是正數(shù)；當 時，它是負數(shù)；當= 時，它等于零.所以，的幾何意義：等于 的長度與 在 方向上的投影的乘積。5.平面向量數(shù)量積的性質：設、是兩個非零向量，是單位向量，于是有： 。當與同向時， ；當與反向時， ，特別地，或； ； 。6平面向量數(shù)量積的運算律：交換律成立：對實數(shù)的結合律成立：分配

8、律成立：特別注意：（1）結合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=但乘法運算公式成立：； 。7平面向量數(shù)量積的坐標表示： 若,，則= 若,則|= , 若,則 。 若,，則 （ ） 若,，則 。8.長度、夾角、垂直的坐標表示：長度：Þ ；兩點間的距離公式：若，則；夾角：；垂直的充要條件：，即相關練習：1.設向量是任意的非零向量，且互不共線。下列命題中正確的是 （1） （2） （3） （4）|= （5）與不可能垂直 （6）（7）=，則= （8）若=，則與必有一個為2. 若=（-3，4），=（5，12），則與的夾角的余弦值為 3.設向量=（,）,=(, ),=(,),當= 時，、三點共線。4. 已知向量，且，求實數(shù)的值。5已知、四點，則四邊形是（ ）A梯形 B矩形 C菱形 D正方形6已知兩個非零向量、滿足，求與的夾角。7. 設=，則（ ） A= B C、在方向上的投影相等 D|=|8.若點在上，且，設，則等于（ ） A B3 CD 9.在中，若，則為 （ ）A等邊三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D無法確定10.已知=（，2），=（-3，5）且 與的夾角是鈍角，則的取值范圍是（ ） A> B C< D11已知 、，且。（1）若，求