題根研究 平面坐標(biāo)為平面向量之根

1、題根研究 平面坐標(biāo)為平面向量之根一、向量的坐標(biāo)式向量本有3個(gè)要素：（1）大小，（2）方向，（3）起點(diǎn)位置.當(dāng)我們不需考慮向量的起點(diǎn)位置時(shí)，則只關(guān)心向量的2個(gè)要素：（1）大小；（2）方向.起點(diǎn)位置全部會于坐標(biāo)原點(diǎn). 向量集合 a 與有向線段，與終點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）則形成一一映射.此時(shí)，我們用向量終點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量 這就是向量的坐標(biāo)式.1、用坐標(biāo)表示向量的大小和方向設(shè)有向量 a = （x， y），其長度用| a |表示，方向用向量 a 與 x軸成角的函數(shù)值表示.1.向量大小 | a | =2.向量方向用的函數(shù)表示的取值范圍2、向量的加法運(yùn)算加法法則：設(shè)有向量則 幾何意義：向量，的和仍是一個(gè)向量，它

2、是以O(shè)A，OB為鄰接邊的平行四邊形的對角線. 和向量夾在兩個(gè)“加向量”之間.3、向量的減法運(yùn)算設(shè)，則幾何意義：向量與的差仍是一個(gè)向量，它與減向量分居在被減向量的兩側(cè)，使得被減向量成為以，向量為鄰接邊的平行四邊形的對角線.【說明】 向量，向量的平行與共線同義. 4、向量的數(shù)量積運(yùn)算設(shè)有向量和，且兩向量的夾角為，則兩向量的數(shù)量積為a b = | a | | b |cos = x1 x2 + y1 y2幾何意義：| b |cos （ 或 | a | cos ） 是向量 b （ 或a） 在向量a （或b） 上的射影.向量和數(shù)量積a b 是個(gè)標(biāo)量，不考慮方向.5、向量的實(shí)數(shù)積坐標(biāo)運(yùn)算：向量a=（x，y）

3、與實(shí)數(shù)的乘積a =（x，y）= bb也是一個(gè)向量，稱作向量a與實(shí)數(shù)的積.幾何意義：（1）=1時(shí)，b = a，是a的等向量； （2）= -1時(shí)，b = - a，是a的反向量； （3）> 1時(shí)，| b | > | a |，是a的伸長； （4）0 << 1時(shí)，b | < | a |，是b的壓縮； （5）= 0 時(shí)，b = 0，是 a 退化到了原點(diǎn).二、坐標(biāo)研究向量的位置關(guān)系坐標(biāo)運(yùn)算來自向量運(yùn)算的幾何意義，反過來，坐標(biāo)運(yùn)算又為向量運(yùn)算服務(wù).由于坐標(biāo)使得向量“數(shù)碼化”，從而坐標(biāo)運(yùn)算使得向量關(guān)系運(yùn)算化. 如向量的平行問題、垂直問題等原非計(jì)算問題，但實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化后，全部可通

4、過坐標(biāo)計(jì)算而判定.1、兩向量夾角的坐標(biāo)公式設(shè)向量a =（x1，y1），b =（x2，y2），a ，b夾角為，由向量的數(shù)量積運(yùn)算式a b = | a | | b | cos= x1x2 + y1 y2得 這就是向量a，b的夾角公式.特別地，當(dāng)a，b為單位向量時(shí)，即| a |=1，| b |=1時(shí)，則有cos= x1 x2 + y1 y22、坐標(biāo)判定向量垂直與平行由a ，b的夾角公式 可以推出：（1）ab的充要條件為 cos=1（2）ab的充要條件為 cos=1三、坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用一個(gè)向量對應(yīng)著唯一的坐標(biāo)，反過來，一個(gè)坐標(biāo)卻對應(yīng)著無窮個(gè)向量. 由于這無窮向量是相等向量. 故可以把它們的起點(diǎn)都化歸到原

5、點(diǎn)來研究.如起點(diǎn)為P1（x1，y1），終點(diǎn)為P2（x2，y2）的向量可化歸為兩向量之差來研究.在不考慮向量起點(diǎn)的條件下，向量與坐標(biāo)之間首先建立了一一對應(yīng)，接著建立了向量的終點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對應(yīng)，最后建立了平面上的點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對應(yīng).這就為用坐標(biāo)研究圖形創(chuàng)造了條件.1、距離公式【距離】 向量與向量的差向量的長度確定了平面上兩點(diǎn)A和B的距離 .【例題】 設(shè)有定向量，動向量且有. 求動點(diǎn)P的軌跡.【解答】 P點(diǎn)軌跡是一個(gè)以點(diǎn) A（1，2）為圓心，以r = 3為半徑的圓.2、圖象平移【公式】 將點(diǎn)P（x，y）沿向量a =（h，k）平移到Q（x'，y'），則有【例題】 函數(shù)y=32x-5的

6、圖象按向量a平移后，圖象的解析式為y=32x，則向量a的坐標(biāo)為（A）A. B. C.（-5，0） D.（5，0）【解答】 設(shè)a =（h，k），則函數(shù)y=32x-5的圖象按向量a平移后所得圖象的解析式為y-k = 32（x-h）-5 = 32x-2h-5，它應(yīng)與y = 32x表示同一個(gè)函數(shù). 所求向量為a =3、定比分點(diǎn)【公式】 設(shè)點(diǎn)P（x，y）以定比分有向線段，則有【例題】 設(shè)O（0，0），A（1，0），B（0，1），點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（B）A. B. C. D. 【解答】 設(shè)P（x，y），由得 （x-1，y）=（-1，1）=（-，），【點(diǎn)評】 本題是定比分點(diǎn)型

7、問題，欲求實(shí)數(shù)的取值范圍，只需建立關(guān)于的不等式.因此將不等式中的向量坐標(biāo)化是求解問題的基本策略.4、三點(diǎn)共線【定理】 設(shè)且，則P1，P2，P三點(diǎn)共線的充要條件為1+2 =1.【證明】 必要性 若P1，P2，P共線，則有 即P（x，y）為的定比為的分點(diǎn).【例題】 已知向量=（k，12），且A，B，C三點(diǎn)共線，則k=【法1】 A、B、C三點(diǎn)共線【說明】 A、B、C三點(diǎn)共線【法2】 由已知條件易得 因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，故有 -5（k-4）=7（k+4），即12k=-8，所以k=-【說明】 利用兩向量共線的充要條件時(shí)，所涉及的兩向量應(yīng)當(dāng)是有公共點(diǎn)的向量. 5、直線方程的坐標(biāo)形式【形式】 設(shè)有向量和

8、，則過A，B兩點(diǎn)的直線方程為（x - x1 ）（y2 - y1） =（y - y1）（x2 - x1）【證明】 設(shè)三點(diǎn)P，A，B共線，則有 ，同時(shí)有6、證明三角公式【公式】 差角余弦公式C-cos（-）=coscos+sinsin.【證明】 如圖的單位圓所示，角和的終邊交單位圓于A（cos，sin）和B（cos，sin）向量的夾角為-，由夾角公式cos（-）=即 四、向量在代數(shù)中的應(yīng)用【題1】 （在不等式中的應(yīng)用）已知：a2 + b2 + c2 =1，x2+y2+z2 =1，a，b，c，x，y，zR.求證：-1ax+by+cz1.【解答】 構(gòu)造平面向量=（a，b，c），=（x，y，z）.則由題

9、設(shè)知|2 = 1，|2 =1. |=1，|=1.令、的夾角為，則0，.cos=又-1cos1，-1ax+by+cz1.【題2】 （求最值） 設(shè)m，nR，求s=的最小值，并指出此時(shí)m、n滿足的條件.【解答】 s=可化為s=設(shè)向量a=（m-1，1-n）， b=（2-m，n），則a+b=（1，1），s=|a|+|b|a+b|= 這里向量a、b都有是零向量的可能，但它們不可能同時(shí)為零向量.當(dāng)a=0，或b=0時(shí)，式都是成立的，這時(shí)m=1，n=1；或m=2，n=0. 當(dāng)a0，且b0時(shí)，式成立，當(dāng)且僅當(dāng)a與b同向共線，所以a=kb（k>0），即 （m-1，1-n）=k（2-m，n），所以 由上面的方程

10、組，可得 m+n-2=0， 由、可知s的最小值是，此時(shí)m、n滿足的條件是m+n-2=0（1m2）.【說明】 本題的解答過程有三個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：（1）設(shè)a=（m-1，1-n）與b=（2-m，n）的技巧是把m、n的符號設(shè)成各一正一負(fù)，這樣才能使a+b=（1，1）的坐標(biāo)是常數(shù)，從而求得|a+b|=.（2）不等式|a|+|b|a+b|中等號成立的條件是a、b至少有一個(gè)是零向量，或a、b均為非零向量且同向共線.由于a、b的坐標(biāo)所致，所以，a=b=0的情況是不存在的，否則，矛盾有三處，即“m=1且m=2；n=0且n=1；0”. 對a與b同向共線，如果使用形如“x1y2-x2y1=0”的式子去求m與n的關(guān)系，只

11、有共線的結(jié)果m+n-2=0，得不到限制性條件1<m<2與0<n<1.（3）題目的結(jié)論中，限制性條件1m2與0n1是等價(jià)的，所以，只保留了1m2.五、高考中的平面向量【題1】（山東卷）設(shè)向量a=（1，-2）, b=（-2, 4）, c =（-1，-2），若表示向量4a，4b2c，2（ac），d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為（A）（2，6） （B）（2，6） （C）（2，6） （D）（2，6）【解答】 設(shè)d（x，y），因?yàn)?a（4，12），4b2c（6，20），2（ac）（4，2），依題意，有4a（4b2c）2（ac）d0，解得x2，y6 選D.【說明】 這是一

12、道向量與平面幾何的綜合題. 注意，多邊形（首尾相連的封閉圖形）的“向量和”等于零.【題2】 （湖北卷）已知向量a=，b是不平行于x軸的單位向量，且a b=，則b=A. B. C. D.（1，0）【解答】 設(shè)b（x，y），則有a b = （1）由已知 x2+y2=1（y0） （2）（1）（2）聯(lián)立，解得，選B【說明】 這是一道向量與線性規(guī)劃的綜合題.【題3】 （湖南卷）如圖：OMAB，點(diǎn)P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）. 且則實(shí)數(shù)對（x，y）可以是A. B. C. D. 【解答】 x= a<0， y = a+b， x+y = b（0，1）， 故選C.【說明】 這是一道向量與線性規(guī)劃的綜合題.【題4】 （江蘇卷）已知兩點(diǎn)M（2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，滿足，則動點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為（A）y2 = 8x （B）y2 = -8x （C）y2 = 4x （D）y2 = -4x【解答】 設(shè)P（x，y），x>0，y