題根研究 平面坐標為平面向量之根

1、題根研究 平面坐標為平面向量之根一、向量的坐標式向量本有3個要素：（1）大小，（2）方向，（3）起點位置.當我們不需考慮向量的起點位置時，則只關(guān)心向量的2個要素：（1）大小；（2）方向.起點位置全部會于坐標原點. 向量集合 a 與有向線段，與終點的坐標（x，y）則形成一一映射.此時，我們用向量終點的坐標表示向量 這就是向量的坐標式.1、用坐標表示向量的大小和方向設有向量 a = （x， y），其長度用| a |表示，方向用向量 a 與 x軸成角的函數(shù)值表示.1.向量大小 | a | =2.向量方向用的函數(shù)表示的取值范圍2、向量的加法運算加法法則：設有向量則 幾何意義：向量，的和仍是一個向量，它

2、是以OA，OB為鄰接邊的平行四邊形的對角線. 和向量夾在兩個“加向量”之間.3、向量的減法運算設，則幾何意義：向量與的差仍是一個向量，它與減向量分居在被減向量的兩側(cè)，使得被減向量成為以，向量為鄰接邊的平行四邊形的對角線.【說明】 向量，向量的平行與共線同義. 4、向量的數(shù)量積運算設有向量和，且兩向量的夾角為，則兩向量的數(shù)量積為a b = | a | | b |cos = x1 x2 + y1 y2幾何意義：| b |cos （ 或 | a | cos ） 是向量 b （ 或a） 在向量a （或b） 上的射影.向量和數(shù)量積a b 是個標量，不考慮方向.5、向量的實數(shù)積坐標運算：向量a=（x，y）

3、與實數(shù)的乘積a =（x，y）= bb也是一個向量，稱作向量a與實數(shù)的積.幾何意義：（1）=1時，b = a，是a的等向量； （2）= -1時，b = - a，是a的反向量； （3）> 1時，| b | > | a |，是a的伸長； （4）0 << 1時，b | < | a |，是b的壓縮； （5）= 0 時，b = 0，是 a 退化到了原點.二、坐標研究向量的位置關(guān)系坐標運算來自向量運算的幾何意義，反過來，坐標運算又為向量運算服務.由于坐標使得向量“數(shù)碼化”，從而坐標運算使得向量關(guān)系運算化. 如向量的平行問題、垂直問題等原非計算問題，但實現(xiàn)向量的坐標化后，全部可通

4、過坐標計算而判定.1、兩向量夾角的坐標公式設向量a =（x1，y1），b =（x2，y2），a ，b夾角為，由向量的數(shù)量積運算式a b = | a | | b | cos= x1x2 + y1 y2得 這就是向量a，b的夾角公式.特別地，當a，b為單位向量時，即| a |=1，| b |=1時，則有cos= x1 x2 + y1 y22、坐標判定向量垂直與平行由a ，b的夾角公式 可以推出：（1）ab的充要條件為 cos=1（2）ab的充要條件為 cos=1三、坐標運算的應用一個向量對應著唯一的坐標，反過來，一個坐標卻對應著無窮個向量. 由于這無窮向量是相等向量. 故可以把它們的起點都化歸到原

5、點來研究.如起點為P1（x1，y1），終點為P2（x2，y2）的向量可化歸為兩向量之差來研究.在不考慮向量起點的條件下，向量與坐標之間首先建立了一一對應，接著建立了向量的終點與坐標的一一對應，最后建立了平面上的點與坐標的一一對應.這就為用坐標研究圖形創(chuàng)造了條件.1、距離公式【距離】 向量與向量的差向量的長度確定了平面上兩點A和B的距離 .【例題】 設有定向量，動向量且有. 求動點P的軌跡.【解答】 P點軌跡是一個以點 A（1，2）為圓心，以r = 3為半徑的圓.2、圖象平移【公式】 將點P（x，y）沿向量a =（h，k）平移到Q（x'，y'），則有【例題】 函數(shù)y=32x-5的

6、圖象按向量a平移后，圖象的解析式為y=32x，則向量a的坐標為（A）A. B. C.（-5，0） D.（5，0）【解答】 設a =（h，k），則函數(shù)y=32x-5的圖象按向量a平移后所得圖象的解析式為y-k = 32（x-h）-5 = 32x-2h-5，它應與y = 32x表示同一個函數(shù). 所求向量為a =3、定比分點【公式】 設點P（x，y）以定比分有向線段，則有【例題】 設O（0，0），A（1，0），B（0，1），點P是線段AB上的一個動點，若，則實數(shù)的取值范圍是（B）A. B. C. D. 【解答】 設P（x，y），由得 （x-1，y）=（-1，1）=（-，），【點評】 本題是定比分點型

7、問題，欲求實數(shù)的取值范圍，只需建立關(guān)于的不等式.因此將不等式中的向量坐標化是求解問題的基本策略.4、三點共線【定理】 設且，則P1，P2，P三點共線的充要條件為1+2 =1.【證明】 必要性 若P1，P2，P共線，則有 即P（x，y）為的定比為的分點.【例題】 已知向量=（k，12），且A，B，C三點共線，則k=【法1】 A、B、C三點共線【說明】 A、B、C三點共線【法2】 由已知條件易得 因為A、B、C三點共線，故有 -5（k-4）=7（k+4），即12k=-8，所以k=-【說明】 利用兩向量共線的充要條件時，所涉及的兩向量應當是有公共點的向量. 5、直線方程的坐標形式【形式】 設有向量和

8、，則過A，B兩點的直線方程為（x - x1 ）（y2 - y1） =（y - y1）（x2 - x1）【證明】 設三點P，A，B共線，則有 ，同時有6、證明三角公式【公式】 差角余弦公式C-cos（-）=coscos+sinsin.【證明】 如圖的單位圓所示，角和的終邊交單位圓于A（cos，sin）和B（cos，sin）向量的夾角為-，由夾角公式cos（-）=即 四、向量在代數(shù)中的應用【題1】 （在不等式中的應用）已知：a2 + b2 + c2 =1，x2+y2+z2 =1，a，b，c，x，y，zR.求證：-1ax+by+cz1.【解答】 構(gòu)造平面向量=（a，b，c），=（x，y，z）.則由題

9、設知|2 = 1，|2 =1. |=1，|=1.令、的夾角為，則0，.cos=又-1cos1，-1ax+by+cz1.【題2】 （求最值） 設m，nR，求s=的最小值，并指出此時m、n滿足的條件.【解答】 s=可化為s=設向量a=（m-1，1-n）， b=（2-m，n），則a+b=（1，1），s=|a|+|b|a+b|= 這里向量a、b都有是零向量的可能，但它們不可能同時為零向量.當a=0，或b=0時，式都是成立的，這時m=1，n=1；或m=2，n=0. 當a0，且b0時，式成立，當且僅當a與b同向共線，所以a=kb（k>0），即 （m-1，1-n）=k（2-m，n），所以 由上面的方程

10、組，可得 m+n-2=0， 由、可知s的最小值是，此時m、n滿足的條件是m+n-2=0（1m2）.【說明】 本題的解答過程有三個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：（1）設a=（m-1，1-n）與b=（2-m，n）的技巧是把m、n的符號設成各一正一負，這樣才能使a+b=（1，1）的坐標是常數(shù)，從而求得|a+b|=.（2）不等式|a|+|b|a+b|中等號成立的條件是a、b至少有一個是零向量，或a、b均為非零向量且同向共線.由于a、b的坐標所致，所以，a=b=0的情況是不存在的，否則，矛盾有三處，即“m=1且m=2；n=0且n=1；0”. 對a與b同向共線，如果使用形如“x1y2-x2y1=0”的式子去求m與n的關(guān)系，只

11、有共線的結(jié)果m+n-2=0，得不到限制性條件1<m<2與0<n<1.（3）題目的結(jié)論中，限制性條件1m2與0n1是等價的，所以，只保留了1m2.五、高考中的平面向量【題1】（山東卷）設向量a=（1，-2）, b=（-2, 4）, c =（-1，-2），若表示向量4a，4b2c，2（ac），d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為（A）（2，6） （B）（2，6） （C）（2，6） （D）（2，6）【解答】 設d（x，y），因為4a（4，12），4b2c（6，20），2（ac）（4，2），依題意，有4a（4b2c）2（ac）d0，解得x2，y6 選D.【說明】 這是一

12、道向量與平面幾何的綜合題. 注意，多邊形（首尾相連的封閉圖形）的“向量和”等于零.【題2】 （湖北卷）已知向量a=，b是不平行于x軸的單位向量，且a b=，則b=A. B. C. D.（1，0）【解答】 設b（x，y），則有a b = （1）由已知 x2+y2=1（y0） （2）（1）（2）聯(lián)立，解得，選B【說明】 這是一道向量與線性規(guī)劃的綜合題.【題3】 （湖南卷）如圖：OMAB，點P由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）. 且則實數(shù)對（x，y）可以是A. B. C. D. 【解答】 x= a<0， y = a+b， x+y = b（0，1）， 故選C.【說明】 這是一道向量與線性規(guī)劃的綜合題.【題4】 （江蘇卷）已知兩點M（2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足，則動點P（x，y）的軌跡方程為（A）y2 = 8x （B）y2 = -8x （C）y2 = 4x （D）y2 = -4x【解答】 設P（x，y），x>0，y