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文檔簡(jiǎn)介

1、題目 第九章(B)直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體直線與平面垂直和平面與平面垂直高考要求 1理解直線和平面垂直的概念 掌握直線和平面垂直的判定定理;2掌握三垂線定理及其逆定理3掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 4通過(guò)例題的講解給學(xué)生總結(jié)歸納證明線面垂直的常見(jiàn)方法:(1)證直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直;(2)證與該線平行的直線與已知平面垂直;(3)借用面面垂直的性質(zhì)定理;(4)同一法;向量法知識(shí)點(diǎn)歸納 1 線面垂直定義:如果一條直線和一個(gè)平面相交,并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直其中直線叫做平面的垂線,平面叫做直線的垂面交點(diǎn)叫做垂足直線與平面垂直簡(jiǎn)稱線面垂

2、直,記作:a2直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面3 直線和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那麼這兩條直線平行4 三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線,如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直,那么它也和這條斜線垂直說(shuō)明:(1)定理的實(shí)質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系;(2)推理模式: 5三垂線定理的逆定理:在平面內(nèi)的一條直線,如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式: 注意:三垂線指PA,PO,AO都垂直內(nèi)的直線a 其實(shí)質(zhì)是:斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 要考慮a的位

3、置,并注意兩定理交替使用6 兩個(gè)平面垂直的定義:兩個(gè)相交成直二面角的兩個(gè)平面互相垂直;相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面7兩平面垂直的判定定理: 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直推理模式:,8兩平面垂直的性質(zhì)定理: 若兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面 推理模式: 9向量法證明直線與平面、平面與平面垂直的方法: 證明直線與平面垂直的方法:直線的方向向量與平面的法向量平行; 證明平面與平面垂直的方法:兩平面的法向量垂直題型講解 例1 已知直線a平面,直線b平面,O、A為垂足求證:ab 證明:以O(shè)為原點(diǎn)直線a為z軸,建立空間

4、直角坐標(biāo)系,為坐標(biāo)向量,直線a、b的向量分別為設(shè)=(x,y,z),b,=(0,0,z)=z,ab點(diǎn)評(píng):因證明兩直線平行,也就是證明其方向向量共線,所以,利用兩向量共線的充要條件證明兩直線平行是新教材基本的數(shù)學(xué)方法,應(yīng)做到熟練運(yùn)用例2 已知PAO所在的平面,AB是O的直徑,C是O上任意一點(diǎn),過(guò)A點(diǎn)作AEPC于點(diǎn)E,求證:AE平面PBC 證明:PA平面ABC,PABC又AB是O的直徑,BCAC而PCAC=C,BC平面PAC又AE在平面PAC內(nèi),BCAEPCAE,且PCBC=C,AE平面PBC點(diǎn)評(píng):證明直線與平面垂直的常用方法有:利用線面垂直的定義;利用線面垂直的判定定理;利用“若直線a直線b,直線

5、a平面,則直線b平面”例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中,B1C1=A1C1,A1BAC1,求證:A1BB1C 證明:取A1B1的中點(diǎn)D1,連結(jié)C1D1B1C1=A1C1,C1D1ABB1A1連結(jié)AD1,則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影,A1BAC1,A1BAD1取AB的中點(diǎn)D,連結(jié)CD、B1D,則B1DAD1,且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影B1DA1B,A1BB1C點(diǎn)評(píng):證明異面直線垂直的常用方法有:證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面;利用三垂線定理及其逆定理例4 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是BB1,CD的中點(diǎn)(1)求證:ADD1F;(2)

6、求AE與D1F所成的角;(3)證明平面AED平面A1FD1分析:涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問(wèn)題,建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解,不僅容易找到解題方向,而且坐標(biāo)也簡(jiǎn)單,此時(shí)“垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問(wèn)題,當(dāng)然也可用其它的證法證明:建立空間直角坐標(biāo)系如圖,并設(shè)AB=2,則A(0,0,0), D(0,2,0), A1(0,0,2) D1(0,2,2),E(2,0,1), F(1,2,0)(1) =0×1+2×1+0×(-2)=0, ADD1F(2)=(2,0,1) =(1,0,-2),| ,|設(shè)AE與D1F的夾角為,則cos=所以,直線AE與D1F所成的角

7、為90°(3)由(1)知D1FAD,由(2)知D1FAE,又ADAE=A,D1F平面AED,D1F平面A1FD1M平面AED平面A1FD1例5 如圖,已知是圓的直徑,垂直于所在的平面,是圓周上不同于的任一點(diǎn),求證:平面平面分析:根據(jù)“面面垂直”的判定定理,要證明兩平面互相垂直,只要在其中一個(gè)平面中尋找一條與另一平面垂直的直線即可解:是圓的直徑,又垂直于所在的平面,平面,又在平面中,所以,平面平面點(diǎn)評(píng):由于平面與平面相交于,所以如果平面平面,則在平面中,垂直于的直線一定垂直于平面,這是尋找兩個(gè)平面的垂線的常用方法小結(jié):1有關(guān)異面直線垂直的問(wèn)題,除了用定義法外,還常常借助三垂線定理,轉(zhuǎn)化

8、為同一平面內(nèi)的直線的垂直問(wèn)題來(lái)處理或在兩直線上分別取它們的方向向量,然后證它們的數(shù)量積為02證明直線和平面垂直我們可以用定義法,即證明直線與平面內(nèi)的任一條直線垂直,但常用的還是線面垂直的判定定理,證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,當(dāng)然再證這直線(這平面)與已知直線(或平面)重合,有時(shí)侯將線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問(wèn)題,也許會(huì)給你帶來(lái)意想不到的收獲3面面垂直的問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化為線面垂直的問(wèn)題來(lái)解決,如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線用向量法證明垂直,就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為0學(xué)生練習(xí) 1“直線l垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“l(fā)”的A充分條件B必要條件C充要條件D既不充分又不必要

9、條件答案:B2給出下列命題,其中正確的兩個(gè)命題是直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等,則此直線與平面平行 夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面 直線m平面,直線nm,則n a、b是異面直線,則存在唯一的平面,使它與a、b都平行且與a、b距離相等A B C D解析:錯(cuò)誤如果這兩點(diǎn)在該平面的異側(cè),則直線與平面相交正確如下圖,平面,A,C,D,B且E、F分別為AB、CD的中點(diǎn),過(guò)C作CGAB交平面于G,連結(jié)BG、GD設(shè)H是CG的中點(diǎn),則EHBG,HFGDEH平面,HF平面平面EHF平面平面EF,EF錯(cuò)誤直線n可能在平面內(nèi)正確如右上圖,設(shè)AB是異面直線a、b的公垂線段,E為AB的中點(diǎn),過(guò)

10、E作aa,bb,則a、b確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面,并且它是唯一確定的 答案:D3在正方形SG1G2G3中,E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn),D是EF的中點(diǎn),沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體,使G1、G2、G3三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為G,那么,在四面體SEFG中必有ASG平面EFG BSD平面EFGCFG平面SEFDGD平面SEF解析:注意折疊過(guò)程中,始終有SG1G1E,SG3G3F,即SGGE,SGGF,所以SG平面EFG選A答案:A4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面,C為圓上異于A、B的任一點(diǎn),則下列關(guān)系不正確的是APABC BBC平面PACC

11、ACPBDPCBC解析:由三垂線定理知ACPB,故選C答案:C5ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C到平面的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm,且它們?cè)诘耐瑐?cè),則ABC的重心到平面的距離為_(kāi)解析:如下圖,設(shè)A、B、C在平面上的射影分別為A、B、C,ABC的重心為G,連結(jié)CG交AB于中點(diǎn)E,又設(shè)E、G在平面上的射影分別為E、G,則EAB,GCE,EE=(AA+BB)=,CC=4,CGGE=21,在直角梯形EECC中可求得GG=3 答案:3 cm6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時(shí),有A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情況)答案:A1

12、C1B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等7設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則(1)A點(diǎn)到CD1的距離為_(kāi);(2)A點(diǎn)到BD1的距離為_(kāi);(3)A點(diǎn)到面BDD1B1的距離為_(kāi);(4)A點(diǎn)到面A1BD的距離為_(kāi);(5)AA1與面BB1D1D的距離為_(kāi)答案:(1) (2) (3) (4) (5)8RtABC在平面內(nèi)的射影是A1B1C1,設(shè)直角邊AB,則A1B1C1的形狀是_三角形解析:根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理,知A1B1C的形狀仍是Rt 答案:直角4在正方體ABCDA1B1C1D1中,M為CC1的中點(diǎn),AC交BD于點(diǎn)O,求證:A1O平面MBD證明:連結(jié)MO DBA1A,DBA

13、C,A1AAC=A,DB平面A1ACC1又A1O平面A1ACC1,A1ODB在矩形A1ACC1中,tanAA1O=,tanMOC=,AA1O=MOC,則A1OA+MOC=90°A1OOMOMDB=O,A1O平面MBD9在三棱錐SABC中,N是S在底面ABC上的射影,且N在ABC的AB邊的高CD上,點(diǎn)MSC,截面MAB和底面ABC所成的二面角MABC等于NSC,求證:SC截面MAB證明:CD是SC在底面ABC上的射影,ABCD,ABSC連結(jié)MDMDC=NSC,DMSCABDM=D,SC截面MAB10如下圖,在ABC中,ACB=90°,AB=8,BAC=60°,PC平

14、面ABC,PC=4,M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PM的最小值解:P是定點(diǎn),要使PM的值最小,只需使PMAB即可要使PMAB,由于PC平面ABC,只需使CMAB即可 BAC=60°,AB=8,AC=AB·cos60°=4CM=AC·sin60°=4·=2PM=211在四棱錐PABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,又側(cè)棱PA底面ABCD(1)當(dāng)a為何值時(shí),BD平面PAC?試證明你的結(jié)論(2)當(dāng)a=4時(shí),求證:BC邊上存在一點(diǎn)M,使得PMDM(3)若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M,使PMDM,求a的取值范圍分析:本題第(1)問(wèn)是尋求BD平面PAC的條件,即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線,易知BDPA,問(wèn)題歸結(jié)為a為何值時(shí),BDAC,從而知ABCD為正方形(1)解:當(dāng)a=2時(shí),ABCD為正方形,則BDAC又PA底面ABCD,BD平面ABCD,BDPABD平面PAC故當(dāng)a=2時(shí),BD平面PAC(2)證明:當(dāng)a=4時(shí),取BC邊的中點(diǎn)M,AD邊的中點(diǎn)N,連結(jié)AM、DM、MNABMN和DCMN都是正方形,AMD=AMN+D

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