理學電磁學答案

1、第一部分 習題第一章 靜電場基本規(guī)律121在真空中有兩個點電荷，設其中一個所帶電量是另一個的四倍，它們個距米時，相互排斥力為1.6牛頓。問它們相距0.1米時，排斥力是多少？兩點電荷的電量各為多少？解：設兩點電荷中一個所帶電量為q，則另一個為4q：（1） 根據(jù)庫侖定律： 得：(2) =±3.3× （庫侖） 4q=±1.33× （庫侖）122兩個同號點電荷所帶電量之和為Q，問它們帶電量各為多少時，相互作用力最大？解： 設其中一個所帶電量為q，則一個所帶電量為Q-q。 根據(jù)庫侖定律知，相互作用力的大?。?求 F對q的極值 使 即：。123兩個點電荷所帶電量分別

2、為2q和q，相距L，將第三個點電荷放在何處時，它所受合力為零？解：設第三個點電荷放在如圖所示位置是，其受到的合力為零。 圖 123 即： = 即： 解此方程得：（1） 當（2） 當124在直角坐標系中，在（0，0.1），（0，-0.1）的兩個位置上分別放有電量為（庫）的點電荷，在（0.2，0）的位置上放有一電量為（庫）的點電荷，求Q所受力的大小和方向？（坐標的單位是米）解：根據(jù)庫侖定律知： = 如圖所示，其中 同理：×=125在正方形的頂點上各放一電量相等的同性點電荷q。（1）證明放在正方形中心的任意電量的點電荷所受的力為零；（2）若在中心放一點電荷Q，使頂點上每個電荷受到的合力恰為

3、零，求Q與q的關系。證：（1） 如圖（a）,設正方形每邊長為a,中心所放的點電荷的電量Q。由庫侖定律及迭加原理得： =kQq 其中：在證明過程中可看出：放在正方形中心的點電荷不論其電量為何值，它所受的力均為零。（2） 討論B點的電荷所受的力： 設A，O，C，D點的點電荷對B點的電荷q的作用力分別為：如圖所示： =使= 0即使： Q=-126兩電量相等的同性點電荷，在其聯(lián)線的中垂面上放一點電荷，根據(jù)對稱性可知，該點電荷在中垂面上受力的極大值的軌跡是一個圓，求該圓的半徑。解： 如圖（a），設x軸上有兩個點電荷，其電量均為q, 坐標分別為（-a,o,o）、(a,o,o); 中垂面yoz平面上有一點點

4、電荷Q，坐標為（o,y,z） 設 即在中垂面內Q到坐標原點的距離。如圖（b），根據(jù)對稱性點電荷Q所受的合力方向與方向一致，設（q與Q同號）求F對r的極值： = 0 即： 即： 是一個圓的方程。 圓心 (o,o,o) ,半徑為。131在長為50厘米、相距1厘米的兩個帶電平行板間的電場是勻強電場（場強方向垂直向上）。將一速度為（米/秒）的電子從M點（距上下板等距離）水平射入電場（見圖），若電子恰在平行板的邊緣處離開電場，求該勻強電場的大注。（忽略邊緣效應，認為板外場強為零，且略去重力對電子的影響。） 解：根據(jù)場強的定義得，電子所受的力： 電子產生一個向下的加速度：設板長為L，電子在平板間運動的時間

5、： 即： =22.8 （牛/庫）132用細線懸一質量為0.2克的小球，將其置于兩個豎直放置的平行板間（見圖）。設小球帶電量為庫侖，欲使懸掛小球的細線與場強夾然成60°角，求兩板間場強？ 解：帶電小球所受的電場力：，重力為mg,細繩的張力為，根據(jù)力的平衡條件知：圖 1.3 2 即： =133有一電子射入一電場強度是牛頓/庫侖的均勻電場，電場的方向是豎直向上，電子的初速度是107米/秒，與水平線所夾的入射角為30°（見圖），不考慮重力對電子的影響。（1）求該電子上升的最大高度；（2）此電子回到其原來高度時的水平射程是多少？解：其加速度當電子上升到最大高度時： =（2）電子從上升

6、到返回到原來高度時共用時間： 水平射程：134電子所帶的電量（基本電荷e）最先是由密立根通過油滴實驗測出的。密立根設計的實驗裝置如附圖所示，一個很小的帶電油滴在電場E內，調節(jié)E，使作用在油滴上的電場力與油滴的重量平衡。如果油滴的半徑為厘米。若平衡時，牛頓/庫侖。求油滴上的電荷（已知油的密度為0.851克/厘米3）。 解：設油滴的電量為Q，體密度為 ，半徑為R（設油滴所帶電量為體分布），它受的電場力和重力分別為F和P， 由F=P得：EQ=mg= Q= =135兩個電荷，（微庫），（微庫），其相距為10厘米，求離它們都是10厘米處的電場強度E。解： 如圖所示，在直角坐標系o x y中， 將， 分解

7、：136如圖，一半徑為R的均勻帶電圓環(huán)，電荷總量為q。（1）求軸線上離環(huán)中心O為x處的場強E；（2）畫出E-x曲線；（3）軸線上什么地方的場強最大？其值是多少？ 解：（1）如圖所示，圓環(huán)上任一電荷元dq在p點產生的場強為：根據(jù)對稱性分析，整個圓環(huán)在距圓心x處P點產生的場強： （2）Ex曲線如圖所示。 （3）求的極值： 由 = 0 得： 既：，在距圓心左右兩側處的場強最大。其值為：137電荷以線密度均勻分布在長為L的直線段上。（1）求帶電線的中垂線上與帶電線相距為R的點的場強；（2）證明當時，該點的場強；（3）試證當R>>L時，所得結果與點電荷場強公式一致。 解：（1）如圖建立坐標，

8、帶電線上任一電荷元在P點產生的場強為： 根據(jù)對稱性分析，的方向是y軸方向。 （2）當時： 當時， （3）當R>>L時： 其中 ，與點電荷公式一致。138線電荷密度為的無限長均勻帶電線，分別彎成附圖中（a），（b）兩種形狀，若圓弧半徑為R，試求：（a），（b）圖中O點的場強。解：（a）在O點建立坐標系，如圖所示：半無限長直導線在O點產生的場強：同理：半無限長直導線在O點產生的場強：弧在O點產生的場強為： （b）建立如圖所示的坐標系，與圖（a）討論相同得：139一無限長帶電圓柱面，其面電荷密度由下式所決定：，角為與x軸間夾角，見附圖，求圓柱軸線z上的場強。解：設該圓柱面的截面半徑為R，

9、根據(jù)1。3。7題中時的結論：無限長直帶電線在空間一點產生的場強得出：帶電圓柱面上寬度為d (=Rd的無限長帶電線在軸線一點產生的場強為：141如圖所求，勻強電場的場強E半徑為R的半球面的軸線平行，試計算通過此半球面的電通量，若以半球面的邊線為邊，另作一個任意形狀的曲面，此面的通量為多少？解：的通量：如圖設與場強垂直的圓平面為，和組成一個閉和曲面，其包圍電荷利用高斯定理得： 同理： 142圖中電場強度分別為，其中b=800（牛頓/庫侖）。試求：（1）通過正立方體的電通量；（2）正立方體內的總電荷是多少？設（厘米）。 解：（1）通過立方體的左側面的電通量： 通過立方體的右側面的電通量： 其余各面的

10、電通量為零。 通過正立方體的電通量：（2）根據(jù)高斯定理得：1.4.3 求線電荷密度為的無限長均勻帶電直線在空間任意一點產生的場強。解：根據(jù)對稱性分析，無限長均勻帶電直線在空間任意一點產生的場強與棒垂直，呈輻射狀。如圖所示以帶電直線為軸過點作一封閉的圓柱面。長度是任意的。由高斯定理：上下底面上側面上場強夾角1.4.4 求面電荷密度為的無限長均勻帶電圓柱面的場強分布，并畫出曲線。解：設帶電圓柱面的半徑為，根據(jù)對稱性分析，在以圓柱的軸線為軸的任意一圓柱面上場強大小相等，而且場強方向垂直于圓柱面。在柱面內，過任一，以為軸作一封閉圓柱面為高斯面，其半徑為，（），長為，如圖所示。由高斯定理：上下底與場強夾

11、角側面與場強夾角在柱面外，同理過任一點作半徑（r>R）的封閉圓柱體形高斯面。由高斯定理：= 在一厚度為d 的無限大的平板層內電荷均勻分布，起體密度，求 在平板層，外的電場強度。 解：如圖（a）所示的是平板的俯視圖，OO是與板面平行的對稱面，根據(jù)對稱性分析，在對稱面兩側等距離x出的場強大小相等，方向垂直該對稱面指向兩側。在板內過任一點，被對稱面平分的封閉圓柱面為高斯面，其底面積為，底面與對稱面的距離為x: 由高斯面定理： =2E 即=2=Ex的分布曲線如圖（b） 一 半徑為 R的 帶電球，起體電荷密度，為一常數(shù)，r為空間某帶至球心的距離。 試求：（1）球內，外的強度分布。（2） 為多大時，

12、場強最大，該點的解：（1），與r 是線性關系。在球內 做一個半徑為r的與帶電球同心的 球面斯面如圖，根據(jù)對稱性分析，此球面上的場強大小相等，方向與 的一致。由高斯面定理： 如圖所示，兩條平行的無線長均勻帶電直線，相距為2a，電荷線密度分別為+a，求這兩條直線在空間任一點的場強。解：利用高斯定理分別求出兩條均勻帶電直線在點p的電場強度： 其中：1.4.8 兩無限大的平行平面均勻帶電，面電荷密度都是，求各處的場強分布。 解：設（對解題方法相同，只是圖中的方向不同），由高斯定理可求得無限大均勻帶電平板的場強的大小為： 規(guī)定場強方向向右為正，向左為負。如圖所示，兩無限大平行的均勻帶電平面，相

13、距為L ，其面密度分別為與，以z為軸分別在兩平面上挖去兩個半徑為的圓，且有，試求，軸上一點的場強分布（子軸原點在處）.解：利用迭加原理，先求兩個沒有挖去圓的無限大帶電平面在I（兩平面的區(qū)域），（兩平面外的區(qū)域）區(qū)域內的場強，再減去兩個圓產生的場強。利用高斯定理求兩帶相反電荷的無限大平面產生的場強：在I區(qū)內：在區(qū)內：兩個半徑為R的帶異號電荷的圓板在軸上產生的場強：在I區(qū)內：，兩帶電圓板產生的場強：在區(qū)內：帶正電荷的圓板在Z軸上一點產生的場強帶負電荷的圓板在z軸同一點產生的場強I區(qū)的總場強：區(qū)的總場強：很小，用臺勞級數(shù)將上式在=0處展開，取前兩項：(l)(0)=0=1.1.10 如圖所示，在半徑為

14、，電荷體密度為的均勻帶電球體內點放一個點電荷。試求:點的場強（在一條直線上）。解：利用高斯定理分別求出均勻帶電球體分別在O，P，N，M，點的場強為（其中O為球心）：點電荷分別在O，N，P，M點產生的場強為利用迭加原理：1411 在半徑為，電荷體密度為的均勻帶電體內，挖去一個半徑為的小球，如圖所示，試求：O, , P, M各點的場強。（在一直線上）。解：將挖去的小球用電荷體密度為的球補起來。先求均勻帶電球體O產生的場強，再求填補的帶電球體產生的場強，兩者相減即是所要求的場強。 利用高斯定理求帶電球體O分別在產生的場強為：（方向如圖所示，原點在O點）帶電球體分別在各點產生的場強為：圖中各點的場強分

15、別為：1.4.12 半徑為R的無限長直圓柱體內均勻帶電，電荷的體密度，求場強分布，并畫E-曲線。 解：分別過圓柱體內，外一點,P作如圖（a）所示高斯面，由高斯定理可得： rr場強的方向為徑向E-r曲線如圖（b）。一對無限長的共軸直圓筒，半徑分別為,筒面上都均勻帶電。沿軸線單位長度的電量分別為。（1）求各區(qū)域內的場強分布；（2）若，情況如何？并畫出此情形的E-r曲線解：如圖（a）所示，將空間分成 三個區(qū)域，應用題的結果可得：（1）區(qū)域內（r<）:區(qū)域內(當當 時， 的方向與 方向相反。 區(qū)域內：（當 時， 方向與 方向一致。當 時， 方向與 方向相反。（2）若Er曲線如圖（b） 設有一個電

16、量q=（庫侖）的電電荷。試求：（1）電位為30伏特的等位面的半徑有多大？（2）電位差為1.0伏特的任意兩個等位面，其半徑之差是否相同？解：（1）選無限遠為電位參考點，根據(jù)電電荷電位公式得： （2）設半徑差為 根據(jù)電位差公式得： 從上式看出，當取不同值時，1.5.2 如圖所示，兩個點電荷的電量分別為q與-3q,，其間距離為d，求：（1）在它們連線中間U=0的點和（2）在連線上解：建立如圖所示坐標，設其原點在q所在出。（1） 設電位U=0的點的坐標是x, 點電荷q在該點的電位為： 點電荷-3q在該點的電位為： 根據(jù)電位迭加原理得：（2）設0的點的坐標為 點電荷q在該點產生的場強： 點電荷-3q在該

17、點產生的場強： 由場強迭加原理得： = =0即：2 符合題意。不符合題意應舍去。 153如圖所示，假如在電場中某一部分的電力線的形狀是以O點為中心的通信圓弧。試證明：該部分上各點的電場強度都與該點離O點的距離成反比。 證：利用環(huán)路定理，如果過1，2兩點做一閉和環(huán)路： 說明每點的電場強度都與該點離O的距離成反比。證明：在靜電場中凡是電力線都是平行直線的地方，電場強度的大小必定處處相等：或者換句話說，凡是電場強度的方向處處相同的地方，電場強度的大小必定處處相等。（提示：利用高斯定理和環(huán)路定理，分別證明沿同一電力線和不同電力線上任意兩點的場強相等。）證：先證明同一條電力線上任意兩點A,B場強相等。過

18、A,B兩點以該條電力線為軸做以閉合的圓柱面，如圖所示，底面積，即認為上場強相同，由高斯定理得：點C,D場強相等。過C,D兩點做如圖所示的矩形積分環(huán)路，由環(huán)路定理得：（注：此處L不一定趨于無限小，為已證明電力線上各點都相等。）證畢如圖所示，AB=2L, 是以B為中心，L為半徑的半圓。A點有正點電荷+q,B點有負點電荷-q.(1)把單位正電荷從O點沿移到D點，電場力對它做了多少功？（2）把單位負電荷從D點沿AB的延長線移到無窮遠處，電場力對它作了多少功？解：根據(jù)點位疊加原理：（1） 電場力把單位正電荷（即）從D點沿移到點D所做的功： =（2） 場力把單位負電荷（即）從D點移到無窮遠處所作的功：=電

19、荷Q均勻分布在半徑為R的球內，證明離球心r處（r<R）的電位為;證明：利用高斯定理求得球內外任一點場強：離球心r處（r<R）的電位： = + = += 證畢。157 求1。4。7 題中兩條平等的無限長均勻帶異號電荷的直線，在空間任一點的電位。選無限遠為電位參考點。解： 利用迭加原理求空間任一點p(x,y)的電位：一條無限長直帶電線在p點的場強：在這種情況下不能選無限遠外為電位參考（指一條無限長直帶電的情況），因為電荷分布不是在有限區(qū)域內，選用與帶電線相距遠的Q點作為參考點，如圖所示。 對帶正電荷的直線：=對帶負電荷的直線：= 利用迭加原理： =當參考點Q趨于無限遠處時，158 如圖

20、所示，電量q均勻分布在長為2L的細直線上。（1） 求空間任一點p(x,y)的電位U（0y<+,-,（2） 討論：當p點在延長線上，距O為x外；當p點在直線中垂直面上離中心O為y外的電位。 解：（1）在圖中： 帶電線元d l在p點 的電位；整個帶電線在p點的電位； = =（2） 當p點在其延長線上，距O為x即p(x,0)外， =當p點在直線中垂面上，離中心O為即p(0,y)處=159 如圖所示，兩個平行放置的均勻電圓環(huán)，它們的半經為R，電量為q及-q，其中相距為l，并有l(wèi)<<R關系。（1） 試求以兩環(huán)的對稱中心O為坐標原點，垂直于環(huán)面的x軸上的電位（2）證明：當x>>R時，解：（1）求在x軸上p點的電位：帶電圓環(huán)上電荷線密度帶正電的圓環(huán)在p點的電位同理，帶負電的圓環(huán)在p點的電位，由迭加原理得：當l<<R時，用臺勞級數(shù)在l=0的地方展開，略去l的二次項（1。4。9題方法同） 得：（2） 當x>>R時，1.5.10 求題中，沿z軸上的電位分布。選無限遠處為電位參考點。解：利用題結論積分求電位：1511 如圖所示，在