電動(dòng)力學(xué)靜電場(chǎng)答案

1、編號(hào)： 班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 成績(jī)： 第1章 靜電場(chǎng)1. 證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的極化電荷體密度，總等于自由電荷體密度的（1）倍。2. 有一內(nèi)外半徑分別為的空心介質(zhì)球，介質(zhì)的介電常數(shù)為，使介質(zhì)內(nèi)均勻帶靜止自由電荷，求（1）空間各點(diǎn)的電場(chǎng)；（2）極化體電荷和極化面電荷分布。解 1）由電荷分布的對(duì)稱(chēng)性可知：電場(chǎng)分布也是對(duì)稱(chēng)的。電場(chǎng)方向沿徑向故：時(shí) 或 時(shí) 球殼體內(nèi)： 在的球形外：式中 寫(xiě)在一起2） （與第一題相符）內(nèi)表面：外表面：3. 證明：當(dāng)兩種絕緣介質(zhì)的分界面上不帶面自由電荷時(shí)，電場(chǎng)線的偏折滿足： 式中和分別為兩介質(zhì)的介電常數(shù)，和分別為界面兩側(cè)電場(chǎng)線與法線的夾角。證明：絕緣介質(zhì)分界面上自由電荷密度

2、，故邊值關(guān)系為：, （,）若兩種介質(zhì)都是線性均勻的，即， ；上邊兩式為:，于是得： 4. 試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面。1 導(dǎo)體2 絕緣體證明：設(shè)介質(zhì)1為導(dǎo)體，介質(zhì)2為絕緣體。靜電情況下：,由邊值關(guān)系：,可得：,即，對(duì)于各向同性線性介質(zhì)所以，即導(dǎo)體外的電場(chǎng)線垂直于導(dǎo)體表面2aO圖1 5. 如圖1，有一厚度為，電荷密度為的均勻帶電無(wú)限大平板，試用分離變量法求空間電勢(shì)的分布。解：以O(shè)原點(diǎn)建立如圖坐標(biāo)系，為根據(jù)問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性，電勢(shì)分布僅與x有關(guān)，x即一維問(wèn)題。容易寫(xiě)出定解問(wèn)題：時(shí) 時(shí) 直接求解得6. 內(nèi)半徑，外半徑為的兩個(gè)同心導(dǎo)體球殼，令

3、內(nèi)球接地，外球帶電量，試用分離變量法求空間電勢(shì)分布。解.根據(jù)球?qū)ΨQ(chēng)性，空間電勢(shì)分布僅與r有關(guān)，定結(jié)問(wèn)題為： r=b時(shí) 求解得 7. 均勻外電場(chǎng)中，置入半徑為的導(dǎo)體球。求以下兩種情況的電勢(shì)分布。（1）導(dǎo)體球上接有電池，使球保持電勢(shì)為；（2）導(dǎo)體球上帶有總電荷。解 建立球坐標(biāo)系 極軸方向?yàn)榫鶆螂妶?chǎng)方向，可知電勢(shì)分布具有軸對(duì)稱(chēng)性，即電勢(shì)僅與r有關(guān)1）的定解問(wèn)題為此時(shí)是導(dǎo)體球放入前，通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的等勢(shì)面的電勢(shì)，用分離變量法解為2）的定解問(wèn)題為類(lèi)似解為z8. 介電常數(shù)為的無(wú)限均勻介質(zhì)中，挖一個(gè)半徑為的空球，球心處置一電矩為的自由偶極子，試求空間電勢(shì)分布。解 如圖建立球坐標(biāo)系，的方向?yàn)闃O軸方向,的定解問(wèn)題

4、為r=a時(shí)，；注意到泊松方程解的性質(zhì)及電勢(shì)分布具有軸對(duì)稱(chēng)性，可寫(xiě)為：第二項(xiàng)為極化電荷激發(fā)的勢(shì)，該項(xiàng)在球心應(yīng)為有限值，故Bn=0解的電勢(shì)分布9半徑為R的均勻介質(zhì)球中心置一自由偶極子，球外充滿另一種介質(zhì)，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和極化電荷分布（介質(zhì)球介電常數(shù)為，球外為）。解：求解與上題類(lèi)似，只需得，極化電荷分布，在介質(zhì)球內(nèi)因此在球心處有一極化電偶極矩，在的界面上，由，可得，10. 兩個(gè)接地的無(wú)限大導(dǎo)電平面，其夾角為，點(diǎn)電荷位于這個(gè)兩面角的平面上，并與棱邊（兩面角之交線）相距為。試用電像法求真空中的電勢(shì)。解：考慮到兩個(gè)無(wú)限大導(dǎo)電平面是接地的，且點(diǎn)電荷Q位于雙面角的平分線上，可按下面的方法求得像電荷的位置和大

5、?。篈+QNNCDFEB-Q+Q-Q+Q-QA（1）首先考慮半面，為了滿足平面的電勢(shì)為零，應(yīng)在Q關(guān)于對(duì)稱(chēng)的位置B處有一像電荷-Q,（2）考慮半面，同樣為了滿足電勢(shì)為零的要求，對(duì)于A、B處兩個(gè)點(diǎn)電荷+Q和-Q，應(yīng)在A、B關(guān)于對(duì)稱(chēng)的位置C、D處有兩個(gè)-Q、+Q，（3）再考慮半平面，對(duì)于C、D處的-Q和+Q，應(yīng)在E、F處有兩個(gè)像電荷+Q和-Q才能使導(dǎo)體的電勢(shì)為零?？梢宰C明E、F處的兩個(gè)點(diǎn)電荷+Q和-Q關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)，因而可滿足平面的電勢(shì)為零，這樣找出了5個(gè)像電荷，加上原來(lái)給定的點(diǎn)電荷，能夠使角域內(nèi)的場(chǎng)方程和邊界條件得到滿足，所以角域內(nèi)任一點(diǎn)P處的電勢(shì)可表為，其中分別為給定電荷Q及其像電荷到P點(diǎn)的距離。

6、在其余空間的電勢(shì)為。11. 接地空心導(dǎo)體球，內(nèi)外半徑為和，球內(nèi)離球心處（）置一點(diǎn)電荷，試用電像法求空間電勢(shì)分布。導(dǎo)體上感應(yīng)電荷分布在內(nèi)表面還是外表面？其量為多少？若導(dǎo)體球殼不接地而是帶電量，則電勢(shì)分布又如何？若導(dǎo)體球殼具有確定的電勢(shì)，電勢(shì)分布如何？解：根據(jù)題意設(shè)球內(nèi)區(qū)域電勢(shì)為，球外區(qū)域電勢(shì)為，RR1R2abrBQrQ設(shè)像電荷位置如圖所示，其中由邊界條件要使上式對(duì)任意成立，必有（*）解得，（舍去）代入（*），得由上可知，若使有確定，且兩種情況有相同解，由邊界條件所以，外表面感應(yīng)電荷面密度，內(nèi)表面感應(yīng)電荷面密度，總感應(yīng)電荷，（可見(jiàn)全部在內(nèi)表面上）12. 四個(gè)點(diǎn)電荷，兩個(gè)，兩個(gè)，分別處于邊長(zhǎng)為的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，相鄰的符號(hào)相反，求此電荷體系遠(yuǎn)處的電勢(shì)。-q-q+q+q解：該系統(tǒng)電荷分布為分立分布，在如圖坐標(biāo)系中位置為q(0,0,0)，-q(a,0,0)，-q(0,a,0)，q(0,0,a)的精確到四極矩情況下，可求得遠(yuǎn)處的電勢(shì)分布為。13. 求面電荷密度按分布，半徑為的球的電矩。問(wèn)該系統(tǒng)是否存在電四極矩？解：，所以，14. 設(shè)真空中電場(chǎng)的勢(shì)為 式中是離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，和是常數(shù)，求相應(yīng)的電荷分布。解：，時(shí)，時(shí)， 15. 在一點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中，距離它為的地方有一偶極子，其電矩，求在下列兩種情況下，此電矩所