相似三角形的性質(zhì)典型例題3--輔助線的作法

1、相似三角形的性質(zhì)-添加輔助線的方法二. 與相似三角形有關(guān)的輔助線（一）主要是掌握如何根據(jù)線段的比例式作平行輔助線（二）其他輔助線的做法舉例例1： 已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D求證： BC22CD·AC分析：欲證 BC22CD·AC，只需證但因為結(jié)論中有“2”，無法直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結(jié)合圖形特點及結(jié)論形式，通過添加輔助線，對其中某一線段進行倍、分變形，構(gòu)造出單一線段后，再證明三角形相似由“2”所放的位置不同，證法也不同 證法一（構(gòu)造2CD）：如圖，在AC截取DEDC，BDAC于D，BD是線段CE的垂直平分線，BC=BE，C=BEC，又 AB

2、AC，C=ABC BCEACB， BC22CD·AC證法二（構(gòu)造2AC）：如圖，在CA的延長線上截取AEAC，連結(jié)BE， ABAC， ABAC=AEEBC=90°，又BDACEBC=BDC=EDB=90°，E=DBC，EBCBDC即BC22CD·AC證法三（構(gòu)造） ：如圖，取BC的中點E，連結(jié)AE，則EC=又AB=AC，AEBC，ACE=CAEC=BDC=90°ACEBCD即BC22CD·AC證法四（構(gòu)造）：如圖，取BC中點E，連結(jié)DE，則CE= BDAC，BE=EC=EB，EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDCJ即BC22

3、CD·AC 說明：此題充分展示了添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧在解題中方法要靈活，思路要開闊例2已知梯形中，是腰上的一點，連結(jié)（1）如果，求的度數(shù)；（2）設(shè)和四邊形的面積分別為和，且，試求的值（1）設(shè)，則解法1如圖，延長、交于點， ，為的中點又 ，又 為等邊三角形 故解法2如圖作分別交、于點、則，得平行四邊形同解法1可證得為等邊三角形故解法3如圖作交于，交的延長線于作，分別交、于點、則，得矩形 ，又 ，故為、的中點以下同解法1可得是等邊三角形故解法4如圖，作，交于，作，交于，得平行四邊形，且讀者可自行證得是等邊三角形，故解法5如圖延長、交于點，作，分別交、于點、，得平行四邊形可證

4、得為的中點，則，故得為等邊三角形，故解法6如圖（補形法），讀者可自行證明是等邊三角形，得（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等）（2）設(shè)，則解法1（補形法）如圖補成平行四邊形，連結(jié)，則設(shè)，則，由得， ， 解法2（補形法）如圖，延長、交于點，又設(shè)，則，解法3（補形法）如圖連結(jié)，作交延長線于點連結(jié)則，故（1），故（2）由（1）、（2）兩式得即解法4（割補法）如圖連結(jié)與的中點并延長交延長線于點，如圖，過、分別作高、，則且，又，故說明 本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形. 例3如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點，

5、連E、F交AC于G求AG：AC的值 解法1： 延長FE交CB的延長線于H， 四邊形ABCD是平行四邊形， ， H=AFE，DAB=HBE又AE=EB， AEFBEH，即AF=BH， ， ，即 ADCH，AGF=CGH，AFG=BHE， AFGCGH AG：GC=AF：CH， AG：GC=1：4， AG：AC=1：5解法2： 如圖42，延長EF與CD的延長線交于M，由平行四邊形ABCD可知，即ABMC， AF：FD=AE：MD，AG：GC=AE：MC ， AF：FD=1：2， AE：MD=1：2 AE：MC=1：4，即AG：GC=1：4， AG：AC=1：5例4、如圖45，B為AC的中

6、點，E為BD的中點，則AF：AE=_.解析：取CF的中點G，連接BG B為AC的中點， BG：AF=1：2，且BGAF，又E為BD的中點， F為DG的中點 EF：BG=1：2故EF：AF=1：4， AF：AE=4：3例5、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O點，E為AB延長線上一點，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長解法1： 過O點作OMCB交AB于M， O是AC中點，OMCB， M是AB的中點，即， OM是ABC的中位線，且OMBC，EFB=EOM，EBF=EMO BEFMOE，即，.解法2： 如圖4-8，延長EO與AD交于點G，則可得AOGC

7、OF，  AG=FC=b-BF， BFAG，即， .解法3： 延長EO與CD的延長線相交于N，則BEF與CNF的對應(yīng)邊成比例，即解得.例6、已知在ABC中，AD是BAC的平分線求證：分析1 比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問題，常應(yīng)注意平行線的作用，在沒有平行線時，可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生此題中AD為ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過定點作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段，再比較所證的比例式與這個比例式的關(guān)系，去探求問題的解決證法1： 如圖49，過C點作CEAD，交BA的延長線于E 在BCE中， DACE， 又 CEAD， 1=3，2=4，且AD平分BAC， 1=2，于是3=4， AC=AE代入式得分析2 由于BD、CD是點D分BC而得，故可過分點D作平行線證法2： 如圖410，過D作DEAC交AB于E，則2=3  1=2， 1=3于是EA=ED又， ， .分析3 欲證式子左邊為AB：AC，而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置證法3： 如圖411，過B作BEAC，交AD的延長線于E，則2=E  1=2， 1=E，A