生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例教學(xué)設(shè)計(jì)含答案

1、3.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例（教學(xué)設(shè)計(jì)）（1）（2）（2課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能目標(biāo)：會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。過(guò)程與方法目標(biāo)：在利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)化問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步鞏固導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，學(xué)生通過(guò)自主探究，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的歷程，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的自覺(jué)性，以及科學(xué)認(rèn)真的生活態(tài)度，并以此激發(fā)他們學(xué)習(xí)知識(shí)的積極性。教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際利

2、用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題教學(xué)過(guò)程：一創(chuàng)設(shè)情景、新課引入生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ哌@一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題二師生互動(dòng)，新課講解導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面：1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題；2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題；3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題；4、效率最值問(wèn)題。例1（課本P101例1）海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳。現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面

3、積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最??？ 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時(shí)四周空白面積為 。 求導(dǎo)數(shù)，得。令，解得舍去）。于是寬為。當(dāng)時(shí)，<0；當(dāng)時(shí)，>0.因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，

4、提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案例2（課本P102例2）飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響（1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？【背景知識(shí)】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm問(wèn)題：（）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？ （）

5、瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是 令 解得 （舍去）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高；當(dāng)半徑時(shí)， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低（1）半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值（2）半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？有圖像知：當(dāng)時(shí)，即瓶子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)才為正值當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小例3（

6、課本P102例3）磁盤的最大存儲(chǔ)量問(wèn)題計(jì)算機(jī)把數(shù)據(jù)存儲(chǔ)在磁盤上。磁盤是帶有磁性介質(zhì)的圓盤，并有操作系統(tǒng)將其格式化成磁道和扇區(qū)。磁道是指不同半徑所構(gòu)成的同心軌道，扇區(qū)是指被同心角分割所成的扇形區(qū)域。磁道上的定長(zhǎng)弧段可作為基本存儲(chǔ)單元，根據(jù)其磁化與否可分別記錄數(shù)據(jù)0或1，這個(gè)基本單元通常被稱為比特（bit）。為了保障磁盤的分辨率，磁道之間的寬度必需大于，每比特所占用的磁道長(zhǎng)度不得小于。為了數(shù)據(jù)檢索便利，磁盤格式化時(shí)要求所有磁道要具有相同的比特?cái)?shù)。問(wèn)題：現(xiàn)有一張半徑為的磁盤，它的存儲(chǔ)區(qū)是半徑介于與之間的環(huán)形區(qū)域（1） 是不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大？（2） 為多少時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量（最外面的磁道不

7、存儲(chǔ)任何信息）？解：由題意知：存儲(chǔ)量=磁道數(shù)×每磁道的比特?cái)?shù)。 設(shè)存儲(chǔ)區(qū)的半徑介于與R之間，由于磁道之間的寬度必需大于，且最外面的磁道不存儲(chǔ)任何信息，故磁道數(shù)最多可達(dá)。由于每條磁道上的比特?cái)?shù)相同，為獲得最大存儲(chǔ)量，最內(nèi)一條磁道必須裝滿，即每條磁道上的比特?cái)?shù)可達(dá)。所以，磁盤總存儲(chǔ)量× （1）它是一個(gè)關(guān)于的二次函數(shù)，從函數(shù)解析式上可以判斷，不是越小，磁盤的存儲(chǔ)量越大（2）為求的最大值，計(jì)算令，解得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此時(shí)，磁盤具有最大存儲(chǔ)量。此時(shí)最大存儲(chǔ)量為例4汽油的使用效率何時(shí)最高 我們知道，汽油的消耗量（單位：L）與汽車的速度（單位：km/h）之間有一定的關(guān)系，汽油的消耗量是汽

8、車速度的函數(shù)根據(jù)你的生活經(jīng)驗(yàn)，思考下面兩個(gè)問(wèn)題：（1）是不是汽車的速度越快，汽車的消耗量越大？（2）“汽油的使用率最高”的含義是什么？分析：研究汽油的使用效率（單位：L/m）就是研究秋游消耗量與汽車行駛路程的比值如果用表示每千米平均的汽油消耗量，那么，其中，表示汽油消耗量（單位：L），表示汽油行駛的路程（單位：km）這樣，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的問(wèn)題 通過(guò)大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、研究，人們發(fā)現(xiàn)，汽車在行駛過(guò)程中，汽油平均消耗率（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間有如圖所示的函數(shù)關(guān)系從圖中不能直接解決汽油使用效率最高

9、的問(wèn)題因此，我們首先需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為汽油平均消耗率（即每小時(shí)的汽油消耗量，單位：L/h）與汽車行駛的平均速度（單位：km/h）之間關(guān)系的問(wèn)題，然后利用圖像中的數(shù)據(jù)信息，解決汽油使用效率最高的問(wèn)題 解：因?yàn)?這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求的最小值從圖象上看，表示經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的直線的斜率進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，其斜率最小在此切點(diǎn)處速度約為90因此，當(dāng)汽車行駛距離一定時(shí)，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此時(shí)的車速約為90從數(shù)值上看，每千米的耗油量就是圖中切線的斜率，即，約為 L_x_x_60_60xx例5在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起

10、(如圖)，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱底的容積最大？最大容積是多少？解法一：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱高cm，得箱子容積 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由題意可知，當(dāng)x過(guò)?。ń咏?）或過(guò)大（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因此，16 000是最大值答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長(zhǎng)為(60-2x)cm，則得箱子容積（后面同解法一，略）由題意可知，當(dāng)x過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，

11、是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮端點(diǎn)的函數(shù)值例6圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最省？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2Rh+2R2由V=R2h，得，則S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，從而h=2即h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最??？ 提示：S=2+h=V(R)=R= )=0 例7已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)

12、系式為求產(chǎn)量q為何值時(shí)，利潤(rùn)L最大？分析：利潤(rùn)L等于收入R減去成本C，而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格由此可得出利潤(rùn)L與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式，再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)解：收入，利潤(rùn)令，即，求得唯一的極值點(diǎn)答：產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大例8一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，希望在斷面ABCD的面積為定值S時(shí)，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時(shí)的高h(yuǎn)和下底邊長(zhǎng)b. 解：由梯形面積公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=bAD=h+b, S= CD=,AB=CD.l=×2+b由得b=h,代入,l=l=0,h=, 當(dāng)h<

13、時(shí)，l<0,h>時(shí)，l>0.h=時(shí)，l取最小值，此時(shí)b=例9已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y 4x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為（x，y），且x 0，y 0，則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為（x，y），在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為（x，0）、（x，0），其中0 x 2設(shè)矩形的面積為S，則S 2 x（4x2），0 x 2由S（x）86 x20，得x ，易知x 是S在（0，2）上的極值點(diǎn)，即是最大值點(diǎn)，所以這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)為和【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用題求解，要正確寫出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件應(yīng)用題的分析中如

14、確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值例10：一書(shū)店預(yù)計(jì)一年內(nèi)要銷售某種書(shū)15萬(wàn)冊(cè)，欲分幾次訂貨，如果每次訂貨要付手續(xù)費(fèi)30元，每千冊(cè)書(shū)存放一年要耗庫(kù)費(fèi)40元，并假設(shè)該書(shū)均勻投放市場(chǎng)，問(wèn)此書(shū)店分幾次進(jìn)貨、每次進(jìn)多少冊(cè)，可使所付的手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少？【解】假設(shè)每次進(jìn)書(shū)x千冊(cè)，手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和為y元，由于該書(shū)均勻投放市場(chǎng)，則平均庫(kù)存量為批量之半，即，故有y ×30×40，y20，令y0，得x 15，且y，f(15)0，所以當(dāng)x 15時(shí)，y取得極小值，且極小值唯一，故 當(dāng)x 15時(shí)，y取得最小值，此時(shí)進(jìn)貨次數(shù)為10（次）即該書(shū)店分10次進(jìn)貨，每次進(jìn)15000冊(cè)

15、書(shū)，所付手續(xù)費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和最少例11：有甲、乙兩城，甲城位于一直線形河岸，乙城離岸40千米，乙城到岸的垂足與甲城相距50千米，兩城在此河邊合設(shè)一水廠取水，從水廠到甲城和乙城的水管費(fèi)用分別為每千米500元和700元，問(wèn)水廠應(yīng)設(shè)在河邊的何處，才能使水管費(fèi)用最??？【解】設(shè)水廠D點(diǎn)與乙城到岸的垂足B點(diǎn)之間的距離為x千米，總費(fèi)用為y元，則CD y 500（50x）70025000500 x 700，y500700 · (x 21600)· 2 x500，令y0，解得x 答：水廠距甲距離為50千米時(shí)，總費(fèi)用最省【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)要求的最大（?。┲档淖兞縴與幾個(gè)變量相關(guān)時(shí)，我們總是先設(shè)幾個(gè)變量中

16、的一個(gè)為x，然后再根據(jù)條件x來(lái)表示其他變量，并寫出y的函數(shù)表達(dá)式f（x）三、課堂小結(jié)，鞏固反思：建立數(shù)學(xué)模型1利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路：解決數(shù)學(xué)模型作答用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題優(yōu)化問(wèn)題的答案2解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：通過(guò)搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得到解決在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有利的工具。四布置作業(yè)A組：1、（課本P104習(xí)題3.4 A組NO：1）2、（課本P104習(xí)題3.4 A組NO：2）3、（課本P104習(xí)題3.4 A組NO：3）4、（課本P104習(xí)題3.4 A組NO：4）5、（課本P104習(xí)題3.

17、4 A組NO：5）6、（課本P104習(xí)題3.4 A組NO：6）7、某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月產(chǎn)量（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格P（元/噸）之間的關(guān)系為，且生產(chǎn)噸的成本為R=50000+200x元。問(wèn)該產(chǎn)品每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=收入成本）。解析：每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤(rùn)為由，解得（舍去）因在內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使，故它就是最大值點(diǎn)，且最大值為：（元）答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大，最大利潤(rùn)為315萬(wàn)元。8、有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一

18、個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，問(wèn)供水站C建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最?。拷馕觯焊鶕?jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm，則 BD=40，AC=50x 又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意有：，令，解得在（0，50）上，y只有一個(gè)極值點(diǎn)，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義，函數(shù)在x=30（km）處取得最小值，此時(shí)AC=50x=20（km） 供水站建在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最省。9、一艘漁艇停泊在距岸9km處，今需派人送信給距漁艇處的海岸漁站，如果送信人步行每小時(shí)5km，船速每小時(shí)4km，問(wèn)應(yīng)在何處登岸再步行可以使抵達(dá)漁

19、站的時(shí)間最省？分析：如圖，設(shè)BC為海岸線，A為漁艇停泊處，設(shè)D為海岸線上一點(diǎn)，CD=x，只需將時(shí)間T表示為x的函數(shù)，即可確定登岸的位置。解析： 設(shè)，由A到C所需時(shí)間為T，則令，解得x=3，在x=3附近，由負(fù)到正，因此在x=3處取得極小值。又，比較可知T（3）最小。答：在距漁站3km處登岸可使抵達(dá)漁站的時(shí)間最省。10如圖，一矩形鐵皮的長(zhǎng)為8cm，寬為5cm，在四個(gè)角上截去四個(gè)相同的小正方形，制成一個(gè)無(wú)蓋的小盒子，問(wèn)小正方形的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，盒子容積最大？解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為厘米，則盒子底面長(zhǎng)為，寬為 ，（舍去） ，在定義域內(nèi)僅有一個(gè)極大值， 11某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)，存款量與利率的平方成正比，比例系數(shù)為，且知當(dāng)利率為0.012時(shí)，存款量為1.44億；又貸款的利率為時(shí)，銀行吸收的存款能全部放貸出去；若設(shè)存款的利率為，則當(dāng)為多少時(shí)，銀行可獲得最大收益？解：由題意，存款量，又當(dāng)利率為0.012時(shí)，存款量為1.44億，即時(shí)，；由，得，那么，銀行應(yīng)支付的利息，設(shè)銀行可獲收益為，則，由于，則，即，得或因?yàn)?，時(shí)，此時(shí)，函數(shù)遞增；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)遞減；故當(dāng)時(shí)，有最大值，其值約