空洞探測論文VIP

1、題 目 空洞探測問題摘要本文的主要目的是研究如何利用彈性波測量物體內(nèi)部的空洞。在此我們通過問題中的具體的數(shù)據(jù)，主要利用幾何排除法，對問題進行了分析與討論。本題空洞探測，通過計算得出方程為：用求得在此波上空洞的長度，通過幾何作圖畫出不通過空洞的所有的邊，那么沒有邊通過的方格即為空洞的所在。最后得出空洞在這8個區(qū)域中。第二問中，我們對縱向的波源和接收器組合進行分析，通過作圖，發(fā)現(xiàn)存在大量的、不可避免的“死區(qū)”存在，從而導致探測結(jié)果的不精確，所以只根據(jù)由發(fā)出的彈性波到達的時間，不能確定空洞的位置。然后在第一問的基礎上，單獨使用縱向和橫向的波源和接收器的組合，適當?shù)臏p少、改變發(fā)射器和接收器的個數(shù)與位置

2、，盡量使所發(fā)出的波能覆蓋更大的面積，避免“死區(qū)”的存在。合理放置波源和接收器的位置，最后使得平板的被覆蓋率盡可能的大，“死區(qū)”的面積，盡可能的小，不影響探測。關鍵詞：幾何排除法，避免盲區(qū)。一、問題重述山體、隧洞、壩體等的某些內(nèi)部結(jié)構(gòu)可用彈性波測量來確定。一個簡化問題可描述為，一塊均勻介質(zhì)構(gòu)成的矩形平板內(nèi)有一些充滿空氣的空洞，在平板的兩個鄰邊分別等距地設置若干波源，在它們的對邊對等地安放同樣多的接收器，記錄彈性波由每個波源到達對邊上每個接收器的時間，根據(jù)彈性波在介質(zhì)中和在空氣中不同的傳播速度，來確定板內(nèi)空洞的位置。現(xiàn)考察如下的具體問題：一塊240（米）×240（米）的平板（如圖），在

3、AB邊等距地設置7個波源Pi (i=1,7)，CD邊對等地安放7個接收器Qj (j=1,7)，記錄由Pi發(fā)出的彈性波到達Qj的時間tij(秒); 在 AD邊等距地設置7個波源Ri (i=1,7)，BC邊對等地安放7個接收器Sj (j=1,7)，記錄由Ri發(fā)出的彈性波到達Sj的時間ij (秒)（數(shù)據(jù)表見附錄I）。已知彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為2880（米/秒）和320（米/秒），且彈性波沿板邊緣的傳播速度與在介質(zhì)中的傳播速度相同。1）確定該平板內(nèi)空洞的位置。2）只根據(jù)由發(fā)出的彈性波到達的時間，能確定空洞的位置嗎？討論在同樣能夠確定空洞位置的前提下，減少波源和接受器的方法。QjABCDP

4、iRiSj二、模型假設1、假設題中給出的數(shù)據(jù)除了誤差以外均為準確數(shù)據(jù)。2、假設彈性波傳播時間的測量值存在測量誤差。3、假設任意路徑上的彈性波傳播時間的實際測量值與路徑上無空洞時的傳播時間理論計算值的差值在誤差范圍內(nèi)，則該路徑上無空洞存在。4、假設彈性波的傳播方向為直線，不發(fā)生衍射現(xiàn)象和折射現(xiàn)象。5、假設彈性波在傳播的過程中互不干擾。三、符號說明從的彈性波的傳播距離從的彈性波的傳播距離從的彈性波在空洞中傳播的距離從的彈性波在空洞中傳播的距離從的彈性波的實際傳播時間從的彈性波的實際傳播時間理論值與實際值的最大誤差36個劃分區(qū)域中的區(qū)“死區(qū)”的大概面積四、問題分析4.1對于問題一的分析已知均勻平板的

5、尺寸為240（米）×240（米），而彈性波在介質(zhì)和空氣中的傳播速度分別為2880（米/秒）和320（米/秒），當彈性波的通過路徑中不存在空洞時，從或從的彈性波的傳播時間應該是：然而，對于表格中的數(shù)據(jù)進行研究后發(fā)現(xiàn)，從或從的彈性波的傳播時間從（秒）到（秒）不等，與理論計算得出的0.0833（秒）有一定的出入，其中最大的偏差為：顯然，實際測量值在理論上是不會低于理論測量值的，然而題目中給出的數(shù)據(jù)低于理論值只有可能是誤差所致，所以我們把視為彈性波測量值的最大誤差。因為存在測量誤差，所以對于測量精度也會存在一些限制，以乘以彈性波在空氣中的傳播速度，得到：所以通過彈性波的測量，只能測得沿傳播方

6、向上洞徑大于8米的空洞。然后根據(jù)假設3的觀點可知，在的連線上均無空洞，所以空洞僅可能分布在由的連線所劃分的36個區(qū)域內(nèi)。4.2對于問題二的分析在問題二中，假設如果只由發(fā)出的彈性波到達的時間，那么彈性波的傳播路徑圖如下圖所示：圖1：的彈性波傳播路徑圖從圖中，我們發(fā)現(xiàn)，如果存在平行于的空洞時，不能計算出空洞的寬度。而且，在平板的周邊區(qū)域，還是有很大的空隙，并沒有被路徑覆蓋，不能探測出在周邊是否有空洞存在。對于這部分空隙，我們稱為“死區(qū)”。而“死區(qū)”無法測量，所以必須通過計算來彌補。五、模型的建立與求解5.1問題一的模型建立與求解時間計算公式的建立根據(jù)題目中的所給的關系，彈性波在從或從的傳播路徑中會

7、通過均勻介質(zhì)和空氣兩種不同的介質(zhì)，而且因為在介質(zhì)和空氣中的傳播速度不同，以及經(jīng)過的路程也不同，可以寫出下列計算彈性波傳播時間的方程：其中，（1）式為從的彈性波傳播方程，（2）式為從的彈性波傳播方程。式中，5.1.2無空洞的區(qū)域篩選根據(jù)上述的公式，我們將題中的數(shù)據(jù)代入公式中進行計算，運用軟件進行編程（程序見附錄II），計算出每一條傳播路徑中的空洞洞徑，如下表所示：表1：的空洞洞徑表XijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P1-8.0041.80618740.2332239.61098114.4605138.1768160.8296P25.190187-8.688128.4542123.8252138.

8、179152.656597.92875P378.24922118.3022-8.472119.0942117.993294.7269833.02849P482.41498128.6852115.0262-3.43233.99019-4.9827842.85098P589.58449129.50349.8452238.598190.20433.2341933.53722P698.0007578.3164951.5629878.6812249.398193.8046.702187P7112.769683.2407592.3204936.80298-4.26278-5.645817.512表2：的空

9、洞洞徑表xijS1S2S3S4S5S6S7R1-6.78-8.74181-2.3547893.03498103.1565116.2528163.5296R2-3.30581-4.872.25819124.653292.13498136.7445140.2288R392.7932284.966195.064116.9342121.0172129.89975.97649R498.0389886.78122122.47826.25286.5501945.201223.07098R577.8844953.1829884.0812286.802192.54437.0501945.05722R659.91

10、275104.0205178.67976.9532243.674190.276-4.99781R7117.1976138.0328104.4885-5.24502-6.098782.490187-9.012因為存在測量誤差而引起的測量精度問題，而通過計算得知測量精度為8米，在理論上空洞洞徑超過8米的空洞是無法測出的。所以可以認為，在上述洞徑表中，理論洞徑數(shù)值不超過8米的傳播路徑上都無空洞存在。我們將上表中無空洞路徑提取出來，在平板上將此類路徑所對應的收發(fā)點用直線連接起來，如下圖所示：圖2：無空洞路徑5.1.3空洞位置的確定我們根據(jù)和的連線將平板劃分成36塊方格區(qū)域，如圖所示，除了這8個區(qū)域以外

11、，其他區(qū)域都有1條或多條無空洞路徑通過，所以我們認為在這些區(qū)域中沒有空洞的存在。而空洞的位置就在這8個區(qū)域中。5.2問題二的模型建立和求解因為存在“死區(qū)”的問題，所以我們對“死區(qū)”的面積進行了大概的計算：圖3：“死區(qū)”面積示意圖1過，分別作,的垂線，高分別為，如上圖所示。因為，所以。所以，死區(qū)的大概面積為：由此可知，在每一個波源附近存在面積大概為空間區(qū)域為死區(qū)，而這些空間區(qū)域是儀器的精度可以探測到但因為減少波源和接收器的個數(shù)而使波束線無法到達的死區(qū)，若在這些區(qū)域中有空洞存在，則將無法測出影響準確性。圖4：“死區(qū)”面積示意圖2在的中點處也有面積大約為也是儀器測量的死區(qū)，若存在空洞也無法測量。所以

12、，為了確定空洞的位置，則可在的中點，點和的中點各設置1個波源，邊的對稱點處安放3個接收器，如下圖所示：圖5：波源與接收器的補充圖1這么做能夠可消除附近的死區(qū)，則按照此方法波源和接收器可減少4對。增加后的效果，如下圖所示：圖6：效果圖1同理，當我們只由發(fā)出的彈性波到達的時間，那么彈性波的傳播路徑圖如下圖所示：圖7：的彈性波傳播路徑圖同樣存在面積很大的“死區(qū)”，然而為了能夠消除“死區(qū)”，確定空洞的位置，則可在的中點，點和的中點各設置1個波源，邊的對稱點處安放3個接收器，如下圖所示：圖8：波源與接收器的補充圖2這么做能夠可消除附近的死區(qū)，則按照此方法波源和接收器可減少4對。增加后的效果，如下圖所示：

13、圖9：效果圖2然后，我們把新得到的波源和接收器組合進行分析和結(jié)合，結(jié)果如下圖所示：圖10：改良后的效果圖發(fā)現(xiàn)，對于平板的覆蓋率達到的百分之百，未被彈性波傳播路徑覆蓋的“死區(qū)”面積非常小。而且，無論去掉任意一組波源和接收器都會產(chǎn)生較大的“死區(qū)”面積。所以，最優(yōu)的波源和接收器組合為每邊個5對。六、模型的評價與改進6.1模型的優(yōu)點1、使用連線的方法，方便容易，計算簡單。2、多用圖形表示，更加直觀，便于觀察和研究。3、結(jié)果合理，可信度高，清晰明確，有說服力。6.2模型的缺點1、結(jié)果依賴于分區(qū)，有偏差，不能更精細的指出空洞的具體位置。2、精度過低，不能適用于復雜的空洞探測。七、模型的推廣該模型可以適用于

14、精度較低的空洞探測，在精度不高的空洞探測問題中，能夠很好的降低成本，達到探測出空洞的目的。合理安排波源和接收器的位置，不僅能夠使平板被完全覆蓋，同時也能夠減少機器的使用，降低能耗，降低成本，減少探測使用的時間，達到最好的效果。但此模型不適用于精度較高的空洞探測，因為考慮到存在誤差的問題，以及在連線處也可能存在空洞的問題，應該尋找更精細，也更合理的模型進行求解。八、參考文獻1鄒建光，劉丹娟，曾德剛，空洞探測，數(shù)學的實踐與知識，31：1，20012王一清，黃惟一，宋愛國，基于隨機搜索策略確定介質(zhì)間邊界的非線性規(guī)劃方法，電子測量與儀器學報，1，20053杜秀麗，朱群生，王建鋒，探測空洞的方法，數(shù)學的

15、實踐與認識，3，2001附錄I表：的時間表tijQ1Q2Q3Q4Q5Q6Q7P10.06110.08950.19960.20320.41810.49230.5646P20.09890.05920.44130.43180.47700.52420.3805P30.30520.41310.05980.41530.41560.35630.1919P40.32210.44530.40400.07380.17890.07400.2122P50.34900.45290.22630.19170.08390.17680.1810P60.38070.31770.23640.30640.22170.09390.1031P70.43110.33970.35660.19540.07600.06880.1042表：的時間表ijS1S2S3S4S5S6S7R10.06450.06020.08130.35160.38670.43140.5721R20.07530.07000.28520.43410.34910.48000.4980R30.34560.32050.09740.40930.42400.45400.3112R40.36550.32890.42470.10070.32490.21340.1017R50.31650.24090.32140.