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文檔簡介
1、第一章極限與連續(xù)第一節(jié)函數(shù)函數(shù)是微積分研究的對象,中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用“集合”與“對應(yīng)”已經(jīng)給出了函數(shù)概念,并在此基礎(chǔ)上討論了函數(shù)的一些簡單性質(zhì).在這里除對中學(xué)數(shù)學(xué)的函數(shù)及其性質(zhì)重點復(fù)習(xí)外,根據(jù)需要將對函數(shù)作進一步討論.一、函數(shù)的概念在日常生活、生產(chǎn)活動、經(jīng)濟活動中,經(jīng)常遇到各種不同的量.這些量可分為兩類.一類是常量,一類是變量.而在某個變化過程中往往會出現(xiàn)多個變量,這些變量之間不是彼此孤立的,而是相互聯(lián)系和制約的,一個量的變化會引起另一個量的變化,如:球的半徑與該球的體積的關(guān)系可用式子給出,當半徑在內(nèi)任取一個值時,體積有確定的值與之對應(yīng),我們稱體積是半徑的函數(shù).1.函數(shù)的概念定義1設(shè)有兩個變量、,如
2、果變量在一個非空數(shù)集內(nèi)每取一個數(shù)值時,變量按照某個對應(yīng)法則都有唯一一個確定的數(shù)值與之對應(yīng),則稱變量是變量的函數(shù),記作.其中稱為自變量,稱為因變量或函數(shù),是函數(shù)符號,表示與的對應(yīng)規(guī)則,有時函數(shù)符號也可用其他字母表示,如,等.數(shù)集稱為函數(shù)的定義域.當自變量在其定義域內(nèi)取定某確定值時,因變量按照所給函數(shù)關(guān)系求出的對應(yīng)值稱為當時的函數(shù)值,記作或.函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域.例1已知,求,.解:例2求下列函數(shù)的定義域(1)(2)(3)(4)(5)(6)解:(1)函數(shù)的定義域為(2)要使函數(shù)有意義,須滿足.即:且,即定義域為(3) 要使函數(shù)有意義,須滿足0,解得22,即定義域為(4) 要使函數(shù)有意義,須滿
3、足,解得,即定義域為(5) 要使函數(shù)有意義,須滿足11,解得0,即定義域為(6) 要使函數(shù)有意義,須滿足0且,解得33且,即定義域為需要注意的是,在實際應(yīng)用問題中,除了要根據(jù)解析式本身來確定自變量的取值范圍以外,還要考慮變量的實際意義.如半徑為的球的體積這個函數(shù),從函數(shù)本身來說,可取任意實數(shù),從它的實際意義來說,半徑不能取負數(shù),因此它的定義域是區(qū)間.2.函數(shù)的兩個要素函數(shù)的定義反映了自變量與因變量之間的依賴關(guān)系.它涉及到定義域,對應(yīng)法則和值域.顯然,只要定義域和對應(yīng)法則確定,則值域也就確定了.因此,函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則是確定函數(shù)的兩個要素.兩個函數(shù),只要它們的定義域和對應(yīng)法則相同,就是相同的
4、函數(shù).例3判定下列各對函數(shù)是否相同(1)與(2)與(3)與解:(1)的定義域是,的定義域是,它們的定義域不同,所以這兩個函數(shù)不是相同的函數(shù).(2)這兩個函數(shù)的定義域都是,但是它們的對應(yīng)法則不同,所以它們不是相同的函數(shù).(3)這兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則均相同,所以它們是相同的函數(shù).3.函數(shù)的表示法常見的函數(shù)表示法有三種:解析法、表格法和圖像法.現(xiàn)舉例如下:(1)這是用解析法表示的函數(shù),它的定義域.(2)我國近幾年出口額(單位:億元)如表1.1所示:表1.1年份198519901995199820002002出口額2746211488183724923256這是用表格法表示的函數(shù),定義域1985
5、,1990,1995,1998,2000,2002.(3)小紅以200米/分的速度起跑后,先勻加速跑5分,每分提高速度20米/分,又勻速跑10分,這段時間內(nèi)她跑步的速度(單位:米/分)與跑步時間(單位:分)變化的函數(shù)關(guān)系如圖1-1所示.圖1-14.分段函數(shù)上例中,與之間的函數(shù)關(guān)系可由解析式表示為:像這樣,由兩個或兩個以上的式子表示的一個函數(shù)叫分段函數(shù).需要注意的是:分段函數(shù)是用幾個解析式合起來表示的一個函數(shù),而不是幾個函數(shù);畫它的圖像時,要在同一個坐標系內(nèi)分段來畫;它的定義域是各段自變量取值范圍的并集;求函數(shù)值時要根據(jù)自變量的不同的取值范圍,選用不同的對應(yīng)規(guī)則進行計算.例4設(shè)函數(shù),求,及函數(shù)的
6、定義域,并畫出函數(shù)的圖像.解:,定義域為,其圖像如圖1-2所示.圖1-2二、函數(shù)的性質(zhì)1.有界性設(shè)函數(shù)在集合上有定義,如果存在一個正數(shù),對于所有的,恒有,則稱在上有界.否則稱在上無界.函數(shù)在區(qū)間上有界的幾何意義是:函數(shù)在區(qū)間上的圖像位于二直線與之間.如圖1-3.圖1-3如,在上有界,因為1,1,而在內(nèi)無界.2.單調(diào)性設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義,若對任意的,當時,有,則稱在內(nèi)單調(diào)增加,如果對任意的,當時,有,則稱在內(nèi)單調(diào)減少.如:,當時,在內(nèi)單調(diào)增加;當時,在內(nèi)單調(diào)減少.3.奇偶性設(shè)函數(shù)在集合上有定義,若對于任意的,恒有,則稱為偶函數(shù);若,則稱為奇函數(shù).如:在內(nèi)為奇函數(shù),在內(nèi)為偶函數(shù),既不是奇函數(shù),也
7、不是偶函數(shù).4.周期性設(shè)在集合上有定義,若存在不為零的數(shù),使得對于任意的,有恒成立,則稱此函數(shù)為周期函數(shù).滿足這個等式的最小正數(shù),稱為函數(shù)的最小正周期,簡稱周期.如:,是以為周期的周期函數(shù).三、反函數(shù)在函數(shù)關(guān)系中,自變量與因變量的確定并不是一成不變的,二者是相對的,于是就有了反函數(shù)的概念.定義1.2已知函數(shù),其值域設(shè)為,如果對于中的每一個確定的值,由關(guān)系式能唯一確定一個值與之相對應(yīng),那么就得到了一個定義在上的以為自變量,為因變量的函數(shù),稱它為的反函數(shù),記作.習(xí)慣上總是用表示自變量,表示函數(shù),通常把改寫為.與互為反函數(shù).已知函數(shù),求它的反函數(shù),只須將解出來,并交換字母、即可.例5求函數(shù)的反函數(shù).
8、解:由得,交換與,得,即是的反函數(shù).可以證明,在同一坐標系內(nèi),函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)于對稱.需要注意的是:函數(shù)在定義域上不一定存在反函數(shù).但是,將函數(shù)限定在定義域的某個子集上,就可能存在反函數(shù).如,三角函數(shù)、在各自定義域上都不存在反函數(shù).為了討論它們的反函數(shù),限定自變量的取值范圍.例如,在上存在反函數(shù),它的反函數(shù)就是反正弦函數(shù);在上存在反函數(shù),它的反函數(shù)就是反余弦函數(shù);在上存在反函數(shù),它的反函數(shù)就是反正切函數(shù);在上存在反函數(shù),它的反函數(shù)就是反余切函數(shù).第二節(jié)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)微積分學(xué)中通常將常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù),這六類函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).1.常數(shù)函
9、數(shù)它的定義域是,它的圖像是一條平行于軸的直線,如圖1-4.圖142.冪函數(shù)它的定義域隨的不同而異,但在內(nèi)總是有定義的,且圖像都過點.當時,在內(nèi)單調(diào)遞增;當時,在內(nèi)單調(diào)遞減.如圖1-5.圖1-53.指數(shù)函數(shù)(,且)它的定義域是,值域是.當時,函數(shù)單調(diào)增加;當時,函數(shù)單調(diào)減少.如圖1-6.圖1-64.對數(shù)函數(shù)()它的定義域是,值域是.當時,函數(shù)單調(diào)增加;當時,函數(shù)單調(diào)減少.如圖1-7.圖1-75.三角函數(shù),.(1)正弦函數(shù)的定義域是,值域為,奇函數(shù),以為周期,有界,如圖1-8.(2)余弦函數(shù)的定義域是,值域為,偶函數(shù),以為周期,有界,如圖1-9.(3)正切函數(shù)的定義域是,值域為,奇函數(shù),以為周期,
10、無界,如圖1-10.(4)余切函數(shù)的定義域是,值域為,奇函數(shù),以為周期,無界,如圖1-11.圖1-8圖1-9圖1-10圖1-116.反三角函數(shù),.(1)反正弦函數(shù)的定義域是,值域為,是單調(diào)增加的奇函數(shù),有界,如圖1-12.(2)反余弦函數(shù)的定義域是,值域為,是單調(diào)減少的函數(shù),有界,如圖1-13.(3)反正切函數(shù)的定義域是,值域為,是單調(diào)增加的奇函數(shù),有界,如圖1-14.(4)反余切函數(shù)的定義域是,值域為,是單調(diào)減少的函數(shù),有界,如圖1-15.圖1-12圖1-13圖1-14圖1-15二、復(fù)合函數(shù)定義設(shè)是的函數(shù),是的函數(shù),如果的值域與的定義域的交集非空,那么通過成為的函數(shù),稱這個函數(shù)是由與復(fù)合而成的函數(shù),簡稱為復(fù)合函數(shù),記作,其中稱為中間變量.值得注意的是:(1)并非任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù).如,就不能復(fù)
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