【高考數(shù)學(xué)沖刺解題技巧】導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)范圍的求法

1、2導(dǎo)數(shù)中的參數(shù)范圍的求法一、與單調(diào)性有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題此時(shí)參數(shù)可以位于函數(shù)中也可以位于區(qū)間內(nèi)，常見(jiàn)的提問(wèn)方式是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間 單調(diào)遞減、單調(diào)遞增、單調(diào)、不單調(diào)，研究這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是把握原函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的 關(guān)系，這里需要注意的一個(gè)問(wèn)題：若函數(shù)f(x)單調(diào)，則f(x)恒為非正或非負(fù)，函數(shù) 的極值點(diǎn)并不等同于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)和導(dǎo)函數(shù)的根的個(gè)數(shù)也不能直接劃 等號(hào)。例1.已知函數(shù)f (x) =x3-3X?-9x在區(qū)間(a,2a-1)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍。解析：先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性作出函數(shù)的趨勢(shì)圖像，再安排存在參數(shù)的區(qū)間位置即可。 2f (x) =3x -6x -9 =3(x 1)(x -3)令f(

2、x)0,則x - 3或x：-1;令f(x)：0,則-1：x：3，作出趨勢(shì)圖像如下:a -1函數(shù)在區(qū)間(a,2a-1)上單調(diào)遞減，需滿足2a-仁3=1ca2Na-Ia22例2已知函數(shù)f(x)=x a lnx在1,4上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍xa2解析：轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性的關(guān)系即可，f (x) =2x2x x22在1,4上是減函數(shù)，即f (x)乞0= a乞-2x2在1,4上恒成立x令g(x) = -2x2，因?yàn)間(x)在1,4上遞減，則g(x)min= g=-一x22所以a豈-63(1)xf(x)2、例 3.3.已知函數(shù)f (x)二ax, g(x) = Inx,aR，若函數(shù)G(x

3、)ag(x)在區(qū)間ax1,：)上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍。解析：題目只是說(shuō)明函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，并未說(shuō)明是單增還是單減，因此需要分兩種情 況討論，將單調(diào)性轉(zhuǎn)化為參數(shù)恒成立問(wèn)題即可。3xf (x)2a 2 2x +ax2G(x)ag(x)，G(x)=2x22axx xx若G(x)在區(qū)間1,=)上單調(diào)遞增，則G(x)_O在1,：)上恒成立，即22一22a3-2x在1,丘)上恒成立，令h(x) =-2x，因?yàn)閔(x)在1,畑)遞減，則xxh(x)max二h(1)=0，此時(shí)aO若G(x)在區(qū)間1,=)上單調(diào)遞減，則G(X)乞0在1,：)上恒成立，即2222a 2x在1,=)上恒成立，令h(x) 2x，因

4、為h(x)無(wú)最小值，則不存xx在這樣的a綜上，a-0例 4.4.已知函數(shù)f (x) = x3 (k -1)x2(k 5)x，其中kR，若函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,3)上不是單調(diào)函數(shù)，求k的取值范圍。解析：這個(gè)問(wèn)題相對(duì)復(fù)雜些，但是思路還算清晰，函數(shù)在(0,3)上不是單調(diào)函數(shù)，意味著原函數(shù)在(0,3)上存在極值點(diǎn)，因?yàn)槿魏瘮?shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能是兩個(gè)也可能沒(méi) 有，原題目中排出沒(méi)有的情況，因此題目存在兩個(gè)極值點(diǎn)，但是這兩個(gè)極值點(diǎn)有 幾個(gè)落在區(qū)間(0,3)內(nèi)這是個(gè)問(wèn)題，可能只有一個(gè)極值點(diǎn)在，也可能兩個(gè)都在，此 外極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的根，題目即可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)根的分布問(wèn)題。 2f (x) =3x 2(

5、k -1)x k 5，函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,3)上不是單調(diào)函數(shù)，則f(x)在(0,3)內(nèi)必定存在極值點(diǎn)，此時(shí)f(x)不能單調(diào)遞增，只能是保持一種增減增的狀態(tài)，因此f (x)在(0,3)內(nèi)的極值點(diǎn)可能是一個(gè)也可能是兩個(gè)。(1)若極值點(diǎn)在(0,3)內(nèi)只有一個(gè)，情況如下：5 3:1/-4-2134!i 6r e o io-11o(2)If (0) o26此時(shí)f (x)只需要滿足gn a J(3) 0 f0 A 0二、與極值有關(guān)的參數(shù)范圍問(wèn)題此時(shí)f (x)只需要滿足常見(jiàn)的問(wèn)法是函數(shù)有無(wú)極值點(diǎn)， 有幾個(gè)極值點(diǎn)的問(wèn)題，極值點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性發(fā)生 改變的點(diǎn)，因此有極值點(diǎn)意味著函數(shù)不單調(diào)，沒(méi)有極值點(diǎn)則意味著函

6、數(shù)單調(diào)，有幾個(gè) 極值點(diǎn)意味著導(dǎo)函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，但是導(dǎo)函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)不等同于函數(shù)有幾個(gè)極值點(diǎn)(導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)不一定為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)一定為導(dǎo)函數(shù)為零的點(diǎn)) 例 5.5.已知函數(shù)f (x)n(X，設(shè)h(x) =xf (x)-x-ax3在(0,2)上有極值，求a的取x值范圍。解析：h(x)二ln(x 1)xax3(x *1且x = 0),2h(x)二-3ax2-1二(),h(x)在(0,2)上有極值，則h (x)x+1x + 12在(0, 2)上有零點(diǎn)，即-3ax -3ax-1=0在(0,2)有根C11從13a =一，故a -x2+x618例 6.6.若函數(shù)f (x ex(x2ax a 1)沒(méi)有極值點(diǎn)

7、，求a的取值范圍解析：f (x) = exx2(a 2)x 2a 1)，令f (x) = 0，即x2(a 2)x 2a 1 = 0函勺數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，貝V厶=(a，2)24(2a *1)0= 0乞a乞43例7.7.已知函數(shù)f (x) = a In x - ax - 3，函數(shù)f (x)的圖像在x = 4處的切線的斜率為，且g(x)=-x3x2 f (x)在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍。3213m22解析：由已知得a = -2，g(x)x3(2)x2- 2x，g (x x2(m 4)x - 2，函32數(shù)在區(qū)間(1,3)上不是單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)根的I g：0

8、 19分布列不等式，：一：:m：-3lg( 3)=03二、與雙參數(shù)有關(guān)的參數(shù)冋題在參數(shù)問(wèn)題中參數(shù)的個(gè)數(shù)可能不止一個(gè)，另外在此類(lèi)問(wèn)題中變量的個(gè)數(shù)也可能不 止一個(gè)，也可能會(huì)出現(xiàn)雙變量的問(wèn)題。題目中若含有雙參數(shù)m,n，其中一個(gè)一般是給出了區(qū)間，而讓求另一個(gè)未給出的 參數(shù)的取值范圍，除了這個(gè)之外一般還會(huì)給出未知量x的區(qū)間，一個(gè)參數(shù)一個(gè)未知量是以任意性和存在性方式給出，其實(shí)這種題目大多是參數(shù)恒成立或存在性問(wèn)題的延伸， 只不過(guò)需要求兩次最值，因?yàn)槎嗔艘粋€(gè)參數(shù)，所以在難度上會(huì)適當(dāng)?shù)慕档汀＝忸}的思路是將所求的參數(shù)m單獨(dú)分離，另一邊包括另外一個(gè)參數(shù)n和變量x,此時(shí)可以將參數(shù)n或變量x中的一個(gè)當(dāng)成自變量，另外一個(gè)

9、當(dāng)做常量即可，求出最值 后可消去參數(shù)n或自變量x，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)恒成立問(wèn)題即可，但是如果所求的 參數(shù)m不能分離，可分離的是另一個(gè)參數(shù)n，這樣反而簡(jiǎn)單，直接利用任意性或存在性消去參數(shù)n。例 8.8.已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3，若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(2, f(2)處的切線 的傾 斜角為45，對(duì)于任意的r 1,2，函數(shù)g(xx3x2 f (x) 在區(qū)間(t,3)上總不 是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍。、.3rm2解析：由題意知a =-2，g(x)=x (2)x -2x2g (x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，即g (x)在(t,3)上存在零點(diǎn)g (x) =3x2 (m 4)x -2

10、，根據(jù)二次函數(shù)根的分布列不等式37m *-3Jm+4)t c2_3t22成立，則m 4 3tt2_ 2因?yàn)?t在t 1,2上單調(diào)遞減，及(7 - 3t)min- 5，綜上所述，m：-932例 9.9.設(shè)函數(shù)f (x) = a ln x - bx，當(dāng)b= 0時(shí)，若不等式f (x)一m x對(duì)所有的32a 0, , x 1,e 都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2解析：當(dāng)b=0時(shí)，f (x) =aln x，f (x)亠m x= a ln x亠m x對(duì)所有的3232a 0,-, x，1,e2都成立，即m空alnx-x對(duì)所有的a 0,x 1,e2都成立2 22令h(a)二alnx-x，h(a)為一次函數(shù)，當(dāng)x 1,e 時(shí)