示范教案123空間幾何體的直觀圖

1、 空間幾何體的直觀圖整體設計教學分析 “空間幾何體的直觀圖”只介紹了最常用的、直觀性好的斜二測畫法.用斜二測畫法畫直觀圖，關鍵是掌握水平放置的平面圖形直觀圖的畫法，這是畫空間幾何體直觀圖的基礎.因此，教科書安排了兩個例題，用以說明畫水平放置的平面圖形直觀圖的方法和步驟.在教學中，要引導學生體會畫水平放置的多邊形的直觀圖的關鍵是確定多邊形頂點的位置.因為多邊形頂點的位置一旦確定，依次連接這些頂點就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結為確定點的位置的畫法.而在平面上確定點的位置，可以借助于平面直角坐標系，確定了點的坐標就可以確定點的位置.因此，畫水平放置的平面直角坐標系應

2、當是學生首先要掌握的方法. 值得注意的是直觀圖的教學應注意引導學生正確把握圖形尺寸大小之間的關系；另外，教學中還可以借助于信息技術向學生多展示一些圖片，讓學生辨析它們是平行投影下的圖形還是中心投影下的圖形.三維目標 通過用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形和空間幾何體的直觀圖，提高學生識圖和畫圖的能力，培養(yǎng)探究精神和意識，以及轉化與化歸的數(shù)學思想方法.重點難點教學重點：用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖.教學難點：直觀圖和三視圖的互化.課時安排1課時教學過程導入新課思路1.畫幾何體時，畫得既富有立體感，又能表達出圖形各主要部分的位置關系和度量關系，怎樣畫呢？教師指出課題：直觀圖.思路2.正投影主要用

3、于繪制三視圖，在工程制圖中被廣泛采用，但三視圖的直觀性較差，因此繪制物體的直觀圖一般采用斜投影或中心投影.中心投影雖然可以顯示空間圖形的直觀形象，但作圖方法比較復雜，又不易度量，因此在立體幾何中通常采用斜投影的方法來畫空間圖形的直觀圖.把空間圖形畫在紙上，是用一個平面圖形來表示空間圖形，這樣表達的不是空間圖形的真實形狀，而是它的直觀圖.推進新課新知探究提出問題 如何用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖？ 上述畫直觀圖的方法稱為斜二測畫法，請總結其步驟. 探求空間幾何體的直觀圖的畫法.用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4 cm、3 cm、2 cm的長方體ABCDABCD的直觀圖. 用斜二測畫法畫

4、水平放置的平面圖形和幾何體的直觀圖有什么不同？并總結畫幾何體的直觀圖的步驟.活動：和教師首先示范畫法，并讓學生思考斜二測畫法的關鍵步驟,讓學生發(fā)表自己的見解，教師及時給予點評.根據(jù)上述畫法來歸納.讓學生比較兩種畫法的步驟.討論結果：畫法：1°如圖1（1），在正六邊形ABCDEF中，取AD所在直線為x軸，對稱軸MN所在直線為y軸，兩軸相交于點O.在圖1(2)中，畫相應的x軸與y軸，兩軸相交于點O，使xOy=45°. 2°在圖1(2)中，以O為中點，在x軸上取AD=AD，在y軸上取MN=MN.以點N為中點畫BC平行于x軸，并且等于BC；再以M為中點畫EF平行于x軸，并

5、且等于EF. 3°連接AB，CD，DE，F(xiàn)A，并擦去輔助線x軸和y軸，便獲得正六邊形ABCDEF水平放置的直觀圖ABCDEF圖1(3).圖1步驟是：1°在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點O.畫直觀圖時，把它們畫成對應的x軸與y軸，兩軸交于點O，且使xOy=45°(或135°)，它們確定的平面表示水平面.2°已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x軸或y軸的線段.3°已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.畫法：1°畫軸.如圖2，畫x軸、y軸、

6、z軸，三軸相交于點O，使xOy=45°，xOz=90°.圖22°畫底面.以點O為中點，在x軸上取線段MN，使MN=4 cm;在y軸上取線段PQ，使PQ=cm.分別過點M和N作y軸的平行線，過點P和Q作x軸的平行線，設它們的交點分別為A、B、C、D，四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD.3°畫側棱.過A、B、C、D各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2 cm長的線段AA、BB、CC、DD.4°成圖.順次連接A、B、C、D，并加以整理（去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線），就得到長方體的直觀圖.點評：畫幾何體的直觀圖時，如果不作嚴格要

7、求，圖形尺寸可以適當選取，用斜二測畫法畫圖的角度也可以自定，但是要求圖形具有一定的立體感. 畫幾何體的直觀圖時還要建立三條軸，實際是建立了空間直角坐標系，而畫水平放置平面圖形的直觀圖實際上建立的是平面直角坐標系.畫幾何體的直觀圖的步驟是： 1°在已知圖形所在的空間中取水平平面，作互相垂直的軸Ox、Oy，再作Oz軸，使xOy=90°,yOz=90°. 2°畫出與Ox、Oy、Oz對應的軸Ox、Oy、Oz，使xOy=45°，yOz=90°,xOy所確定的平面表示水平平面. 3°已知圖形中，平行于x軸、y軸和z軸的線段，在直觀圖中分

8、別畫成平行于x軸、y軸和z軸的線段，并使它們在所畫坐標軸中的位置關系與已知圖形中相應線段和原坐標軸的位置關系相同. 4°已知圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半. 5°擦除作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖. 斜二測畫法的作圖技巧: 1°在已知圖中建立直角坐標系，理論上在任何位置建立坐標系都行，但實際作圖時，一般建立特殊的直角坐標系，盡量運用原有直線為坐標軸或圖形的對稱直線為坐標軸或圖形的對稱點為原點或利用原有垂直正交的直線為坐標軸等. 2°在原圖中與x軸或y軸平行的線段在直觀圖中依然與x軸或

9、y軸平行，原圖中不與坐標軸平行的線段可以先畫出線段的端點再連線，畫端點時作坐標軸的平行線為輔助線.原圖中的曲線段可以通過取一些關鍵點，利用上述方法作出直觀圖中的相應點后，用平滑的曲線連接而畫出. 3°在畫一個水平放置的平面時，由于平面是無限延展的，通常我們只畫出它的一部分表示平面，一般地，用平行四邊形表示空間一個水平平面的直觀圖.應用示例思路1例1 用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖.活動：學生回顧討論斜二測畫法的步驟，自己畫出來后再互相交流.教師適當點評.解：（1）如圖3(1)，在O上取互相垂直的直徑AB、CD，分別以它們所在的直線為x軸與y軸，將線段AB n等分.過各分點分別作y

10、軸的平行線，交O于E，F(xiàn)，G，H，畫對應的x軸和y軸，使xOy=45°.圖3(2)如圖3(2)，以O為中點，在x軸上取AB=AB，在y軸上取CD=CD，將AB n等分，分別以這些分點為中點，畫與y軸平行的線段EF，GH，使EF=,GH=，.（3）用光滑曲線順次連接A，D，F(xiàn)，H，B，G，E，C，A并擦去輔助線，得到圓的水平放置的直觀圖圖3(3).點評：本題主要考查用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖.變式訓練1.畫水平放置的等邊三角形的直觀圖.答案：略.2.關于“斜二測畫法”，下列說法不正確的是（ ）A.原圖形中平行于x軸的線段，其對應線段平行于x軸，長度不變B.原圖形中平行于y

11、軸的線段，其對應線段平行于y軸，長度變?yōu)樵瓉淼腃.在畫與直角坐標系xOy對應的xOy時，xOy必須是45°D.在畫直觀圖時，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同分析：在畫與直角坐標系xOy對應的xOy時，xOy也可以是135°，所以C不正確.答案：C例2 如圖4，已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.圖4活動：讓學生由三視圖還原為實物圖，并判斷該幾何體的結構特征.教師分析： 由幾何體的三視圖知道，這個幾何體是一個簡單組合體，它的下部是一個圓柱，上部是一個圓錐，并且圓錐的底面與圓柱的上底面重合.我們可以先畫出下部的圓柱，再畫出上部的圓錐.解：畫法：（1）畫軸.如圖5

12、（1），畫x軸、y軸、z軸，使xOy=45°,xOz=90°. (1) (2)圖5（2）畫圓柱的兩底面，仿照例2畫法，畫出底面O.在z軸上截取O，使OO等于三視圖中相應高度，過O作Ox的平行線Ox,Oy的平行線Oy,利用Ox與Oy畫出底面O（與畫O一樣）.（3）畫圓錐的頂點.在Oz上截取點P，使PO等于三視圖中相應的高度.（4）成圖.連接PA，PB，AA，BB，整理得到三視圖表示的幾何體的直觀圖圖5(2).點評： 空間幾何體的三視圖與直觀圖有著密切的聯(lián)系，我們能夠由空間幾何體的三視圖得到它的直觀圖.同時，也能夠由空間幾何體的直觀圖得到它的三視圖.變式訓練 圖6所示是一個獎杯

13、的三視圖，你能想象出它的幾何結構，并畫出它的直觀圖嗎？圖6答案：獎杯的幾何結構是最上面是一個球，中間是一個四棱柱，最下面是一個棱臺拼接成的簡單組合體.其直觀圖略.思路2例1 如圖7所示，梯形ABCD中，ABCD，AB=4 cm，CD=2 cm，DAB=30°，AD=3 cm，試畫出它的直觀圖.圖7活動：利用斜二測畫法作該梯形的直觀圖，要注意在斜二測畫法中，要有一些平行于原坐標軸的線段才好按部就班地作圖，所以先在原坐標系中過作出該點在x軸的垂足，則對應地可以作出線段的直觀圖，進而作出整個梯形的直觀圖.解：步驟是：（1）如圖8所示，在梯形ABCD中，以邊AB所在的直線為x軸，點A為原點，

14、建立平面直角坐標系xOy.如圖9所示，畫出對應的x軸，y軸，使xAy=45°.（2）如圖8所示，過D點作DEx軸，垂足為E.在x軸上取AB=AB=4 cm，AE=AE=cm 2.598 cm；過E作EDy軸，使ED=，再過點D作DCx軸，且使DC=CD=2 cm. 圖8 圖9 圖10（3）連接AD、BC、CD，并擦去x軸與y軸及其他一些輔助線，如圖10所示，則四邊形ABCD就是所求作的直觀圖.點評：本題考查利用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖.在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當?shù)闹苯亲鴺讼凳顷P鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂點在坐標軸上，便于畫點；原圖中的共線點，在直觀圖中仍

15、是共線點；原圖中的共點線，在直觀圖中仍是共點線；原圖中的平行線，在直觀圖中仍是平行線.本題中，關鍵在于點D位置的確定，這里我們采用作垂線的方法，先找到垂足E，再去確定D的位置.變式訓練1.如圖11所示，直角梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，該梯形繞邊AD所在直線EF旋轉一周得一幾何體，畫出該幾何體的直觀圖和三視圖.圖11答案：該幾何體是由一個圓錐和一個圓柱拼接而成的簡單組合體，其直觀圖如圖12所示，三視圖如圖13所示. 圖12 圖132.已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積是（ ）A.16 B.64 C.16或64 D.都不對分析：根據(jù)直觀圖的畫法，平

16、行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段變?yōu)樵瓉淼囊话耄谑情L為4的邊如果平行于x軸，則正方形邊長為4，面積為16，邊長為4的邊如果平行于y軸，則正方形邊長為8，面積是64.答案：C知能訓練1.利用斜二測畫法畫直觀圖時：三角形的直觀圖是三角形；平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；正方形的直觀圖是正方形；菱形的直觀圖是菱形.以上結論中，正確的是_.分析：斜二測畫法保持平行性和相交性不變，即平行直線的直觀圖還是平行直線，相交直線的直觀圖還是相交直線，故正確；但是斜二測畫法中平行于y軸的線段，在直觀圖中長度為原來的一半，則正方形的直觀圖不是正方形，菱形的直觀圖不是菱形，所以錯.答案：2.一個三角形用斜二

17、測畫法畫出來的直觀圖是邊長為2的正三角形，則原三角形的面積是（ ）A. B. C. D.都不對分析：根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，正三角形的邊長是原三角形的底邊長，原三角形的高是正三角形高的倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高為，于是其面積為×2×=.答案：A3.一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（ ）A. B. C. D.分析：平面圖形是上底長為1，下底長為，高為2的直角梯形.計算得面積為.答案：D4.斜二測畫法中，位于平面直角坐標系中的點M(4,4)在直觀圖中對應點是M,則點M的找法是_.分析：在x軸

18、的正方向上取點M1，使OM1=4，在y軸上取點M2，使OM2=2，過M1和M2分別作平行于y軸和x軸的直線的交點就是M.答案：在xOy中，過點（4，0）和y軸平行的直線與過（0，2）和x軸平行的直線的交點即是.5.根據(jù)圖14所示物體的三視圖（陰影部分為空洞）描繪出物體的大致形狀.圖14分析：根據(jù)該物體的三視圖可以判斷該物體的外輪廓是一個正方體，從正面和左面看是一個正方形中間有一個圓形的孔.從而知這兩個面應該都有一個圓柱形的孔.解：由此可以推測該物體大致形狀如圖15所示.圖15拓展提升問題：如圖16所示,已知幾何體的三視圖，用斜二測畫法畫出它的直觀圖.圖16探究：由這個三視圖可以看出，該幾何體是由一個長方體和一個以直四棱柱的上底面為底面的四棱錐拼接而成.圖17解：步驟是：（1）作出長方體的直觀圖ABCDA1B1C1D1，如圖17(1)所示.（2）再以上底面A1B1C1D1的對角線交點為原點建立空間直角坐標系，如圖17(2)所示，在z上取點V，使得VO的長度為棱錐的高，連接VA1、VB1、VC1、VD1得到四棱錐的直觀圖，如圖17（2）.（3）擦去輔助線和坐標軸，遮住部分用虛線表示，得到幾何體的直觀圖，如