等差數(shù)列綜合復(fù)習(xí)教案例題習(xí)題

1、一、等差數(shù)列1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*（或它的有限子集1,2，3，n）的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。例1根據(jù)數(shù)列前4項(xiàng)，寫出它的通項(xiàng)公式：（1）1，3，5，7；（2），；（3），。解析：（1）=2； （2）= ； （3）= 。點(diǎn)評：每一項(xiàng)序號與這一項(xiàng)的對應(yīng)關(guān)系可看成是一個(gè)序號到另一個(gè)數(shù)集的對應(yīng)關(guān)系，這對考生的歸納推理能力有較高的要求。如（1）已知，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為_ ；（2）數(shù)列的通項(xiàng)為，其中均為正數(shù)，則與的大小關(guān)系為_；（3）已知數(shù)列中，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；2、等差數(shù)列的判斷方法：定義法或。例2設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則

2、an是（ ）A.等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列B.等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列D.既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列答案：B；解法一：an=an=2n1（nN）又an+1an=2為常數(shù)，常數(shù)an是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列.解法二：如果一個(gè)數(shù)列的和是一個(gè)沒有常數(shù)項(xiàng)的關(guān)于n的二次函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列。點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和基本知識(shí)，以及靈活運(yùn)用遞推式an=SnSn1的推理能力.但不要忽略a1，解法一緊扣定義，解法二較為靈活。練一練：設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn= 為通項(xiàng)公式的數(shù)列為等差數(shù)列。3、等差數(shù)列的通項(xiàng)：或。4、等差數(shù)列的前和：，。例3：等差數(shù)列an的

3、前n項(xiàng)和記為Sn，若a2a4a15的值是一個(gè)確定的常數(shù)，則數(shù)列an中也為常數(shù)的項(xiàng)是()AS7BS8CS13 DS15解析：設(shè)a2a4a15p(常數(shù))，3a118dp，解a7p.S1313a7p.答案：C例4等差數(shù)列an中，已知a1，a2a54，an33，則n為()A48 B49 C50 D51解析：a2a52a15d4，則由a1得d，令an33(n1)×，可解得n50.故選C.答案：C如(1)等差數(shù)列中，則通項(xiàng)；（2）首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是_ ；例5：設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a128，S99，則S16_.解析：S99a59，a51，

4、S168(a5a12)72.答案：72例6：已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若<1，且它們的前n項(xiàng)和Sn有最大值，則使Sn>0的n的最大值為()A11 B19C20 D21解析：<1，且Sn有最大值，a10>0，a11<0，且a10a11<0，S1919·a10>0，S2010(a10a11)<0.所以使得Sn>0的n的最大值為19，故選B.答案：B如（1）數(shù)列 中，前n項(xiàng)和，則， ；（2）已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.5、等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且。提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素

5、：、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，（公差為）；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為，,（公差為2）6.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；前和是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.（2）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為常數(shù)列。（3）當(dāng)時(shí),則有，特別地，當(dāng)時(shí)，則有.（4）若、是等差數(shù)列，則、 (、是非零常數(shù))、 ，也成等差數(shù)列，而成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且，則是等差數(shù)列. 練一練：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為

6、100，則它的前3n和為 。（5）在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，（這里即）；。練一練：項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù).（6）若等差數(shù)列、的前和分別為、，且，則.練一練：設(shè)與是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和，若，那么_；(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)（或非正）；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？（函數(shù)思想），由此你能

7、求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？練一練：等差數(shù)列中，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值；例7（1）設(shè)an（nN*）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5S6，S6S7S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）A.d0B.a70C.S9S5D.S6與S7均為Sn的最大值（2）等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）A.130 B.170 C.210 D.260解析：（1）答案：C；由S5<S6得a1+a2+a3+a5<a1+a2+a5+a6，a6>0，又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0，由S7>S8，得a8<0，而

8、C選項(xiàng)S9>S5，即a6+a7+a8+a9>02（a7+a8）>0，由題設(shè)a7=0，a8<0，顯然C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的。（2）答案：C解法一：由題意得方程組，視m為已知數(shù)，解得，。解法二：設(shè)前m項(xiàng)的和為b1，第m+1到2m項(xiàng)之和為b2，第2m+1到3m項(xiàng)之和為b3，則b1，b2，b3也成等差數(shù)列。于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。b3=b2+d=70+40=110前3m項(xiàng)之和S3m=b1+b2+b3=210.解法三：取m=1，則a1=S1=30，a2=S2S1=70，從而d=a2a1=40。于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2

9、+a3=210。等差數(shù)列課后練習(xí)一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題后的括號內(nèi)。1若ab,數(shù)列a,x1,x 2 ,b和數(shù)列a,y1 ,y2 ,b都是等差數(shù)列，則 （ ） A B C1 D2在等差數(shù)列中，公差1，8，則 （ ）A40B45C50D553等差數(shù)列的前三項(xiàng)為，則這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （ ）A B C D 4在等差數(shù)列，則在Sn中最大的負(fù)數(shù)為 （ ）AS17BS18CS19DS205已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為31,若此數(shù)列從第16項(xiàng)開始小于1，則此數(shù)列的公差d 的取值范圍是 （ ） A(,2) B, 2 C(2, +) D( ,2)6在等差

10、數(shù)列中，若，則n的值為 （ ）A18 B17C16D157等差數(shù)列中，等于（ ）A205B215C1221D208已知某數(shù)列前項(xiàng)之和為，且前個(gè)偶數(shù)項(xiàng)的和為，則前個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為 （ ）ABCD 9一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)的和為34，最后5項(xiàng)的和為146所有項(xiàng)的和為234，則它的第七項(xiàng)等于（ ）A22B21C19D1810等差數(shù)列中，0，若1且，則的值是 （ ）A 10 B 19 C20 D38二、填空題：請把答案填在題中橫線上。11已知是等差數(shù)列，且 則k= .12在ABC中，A，B，C成等差數(shù)列，則 . 13在等差數(shù)列中，若，則 .14是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，(n5，)， =336，

11、則n的值是 .三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15己知為等差數(shù)列，若在每相鄰兩項(xiàng)之間插入三個(gè)數(shù)，使它和原數(shù)列的數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，求： （1）原數(shù)列的第12項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)？ （2）新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第幾項(xiàng)？16數(shù)列是首項(xiàng)為23，公差為整數(shù)的等差數(shù)列，且第六項(xiàng)為正，第七項(xiàng)為負(fù)。 （1）求數(shù)列公差；（2）求前項(xiàng)和的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求的最大值。17設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為S n ,且S 4 =62, S 6 =75,求： （1）的通項(xiàng)公式a n 及前項(xiàng)的和S n ； （2）|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+|a 14 |.18已知數(shù)列，首項(xiàng)a 1 =3且

12、2a n+1=S n ·S n1 (n2). （1）求證：是等差數(shù)列,并求公差；（2）求a n 的通項(xiàng)公式； （3）數(shù)列an 中是否存在自然數(shù)k0,使得當(dāng)自然數(shù)kk 0時(shí)使不等式a k>a k+1對任意大于等于k的自然數(shù)都成立,若存在求出最小的k值,否則請說明理由.一、 選擇題：ABCCB DABDA二、 填空題：118； 12； 1324； 1421.三、 解答題：15分析：應(yīng)找到原數(shù)列的第n項(xiàng)是新數(shù)列的第幾項(xiàng)，即找出新、舊數(shù)列的對應(yīng)關(guān)系。解：設(shè)新數(shù)列為即3=2+4d，即原數(shù)列的第n項(xiàng)為新數(shù)列的第4n3項(xiàng)（1）當(dāng)n=12時(shí)，4n3=4×123=45，故原數(shù)列的第12項(xiàng)為新數(shù)列的第45項(xiàng)；（2）由4n3=29,得n=8，故新數(shù)列的第29項(xiàng)是原數(shù)列的第8項(xiàng)。說明：一般地，在公差為d的等差數(shù)列每相鄰兩項(xiàng)之間插入m個(gè)數(shù),構(gòu)成一個(gè)新的等差數(shù)列，則新數(shù)列的