矩陣分析在通信中的應用

1、矩陣論在通信領域中的應用基于多輸入多輸出技術（MIMO）信道容量的分析1 背景分析頻譜資源的匱乏己經(jīng)成為實現(xiàn)高速可靠傳輸通信系統(tǒng)的瓶頸。一方面，是可用的頻譜有限;另一方面，是所使用的頻譜利用率低下。因此，提高頻譜利用率就成為解決實際問題的重要手段。多進多出(MIMO)技術即利用多副發(fā)射天線和多副接收天線進行無線傳輸?shù)募夹g的提出很好地解決了這個問題。多輸入多輸出(MIMO)技術能極大增加系統(tǒng)容量與改善無線鏈路質量的優(yōu)點。通信信道容量是信道進行無失真?zhèn)鬏斔俾实纳辖纾虼搜芯縈IMO的信道容量具有巨大的指導意義。但是對信道容量的推導分析是一個很復雜的過程，但是應用矩陣的知識進行分析能很好的解決這個問

2、題，本文把矩陣理論知識與MIMO技術信道容量中的應用緊密結合，首先建立了MIMO信道模型，利用信息論理論和矩陣理論建立系統(tǒng)模型詳細推導出MIMO信道容量,通過程序仿真反應實際情況，可以更直觀正確的得出重要結論，這些結論的得出沒有矩陣的知識是很難實現(xiàn)的。2 問題的提出基于MIMO的無線通信理論和傳輸技術顯示了巨大的潛力和發(fā)展前景。MIMO技術的核心是空時信號處理，利用在空間中分布的多個天線將時間域和空間域結合起來進行信號處理，有效地利用了信道的隨機衰落和多徑傳播來成倍的提高傳輸速率，改善傳輸質量和提高系統(tǒng)容量，能在不額外增加信號帶寬的前提下帶來無線通信性能上幾個數(shù)量級的提高。目前對MIMO技術的

3、應用主要集中在以空時編碼(STC,Space-Time Codes)為典型的空間分集(diversity)和以BLAST(Bell LAyered Space-Time architecture)為典型的空間復用(multiplexing)兩個方面。MIMO作為未來一代寬帶無線通信系統(tǒng)的框架技術，是實現(xiàn)充分利用空間資源以提高頻譜利用率的一個必然途徑?？蓡栴}是，MIMO系統(tǒng)大容量的實現(xiàn)和系統(tǒng)其它性能的提高以及MIMO系統(tǒng)中使用的各種信號處理算法的性能優(yōu)劣都極大地依賴于MIMO信道的特性，特別是各個天線之間的相關性。最初對MIMO系統(tǒng)性能的研究與仿真通常都是在獨立信道的假設下進行的，這與實際的MI

4、MO信道大多數(shù)情況下具有一定的空間相關性是不太符合的。MIMO系統(tǒng)的性能在很大程度上會受到信道相關性的影響。因此，建立有效的能反映MIMO信道空間相關特性的MIMO信道模型以選擇合適的處理算法并評估系統(tǒng)性能就變得相當重要。其中矩陣知識的應用，極大地簡化的問題的分析難度，更加直觀的反映出系統(tǒng)的特性。3 模型的建立與分析3.1 探討選擇模型過去的研究一般局限于用數(shù)學模型描述無線信道的時域衰落特征，重點在于建立存在于無線衰落信道中的散射體、折射體和繞射體的統(tǒng)計模型或幾何模型，從而用于無線信道衰落分布的預測、估計和測量。針對大尺度衰落現(xiàn)象，研究學者們分別建立了相應的路徑損耗模型、基于對數(shù)正態(tài)分布的陰影

5、衰落模型；針對小尺度衰落現(xiàn)象，已經(jīng)提出了Rayleigh、Ricean等分布來進行描述。研究中發(fā)現(xiàn)，存在于衰落信道中的散射體不僅影響信道衰落的時域特征，而且由于散射體的分布和位置的不同，導致在不同天線上的接收信號之間的空時相關特性，還反映出信道的空時衰落特征。從而基于散射體幾何分布的建模方法、參數(shù)化統(tǒng)計建模和基于相關特征的建模方法被相繼提出，大量的信道測量數(shù)據(jù)也被公布。人們逐漸發(fā)現(xiàn)在實際移動無線衰落信道中，最早用于描述散射體均勻分布的Clarke模型不再有效，圍繞無線收發(fā)信機的散射體更多地呈現(xiàn)非均勻分布。已有的多數(shù)建模方法均假設了到達接收端的來波方向(AOA)、或離去發(fā)送端的去波方向(AOD)

6、為均勻分布情形。實際上，在蜂窩移動無線通信環(huán)境中，存在大量的非均勻來波情形，比如狹窄的街道、地鐵和室內情形。這些現(xiàn)象將會導致非均勻來波方向分布，從而影響不同天線上衰落的相關性。此外，在現(xiàn)有的蜂窩無線系統(tǒng)中，由于蜂窩微型化和小區(qū)扇形化，基站發(fā)送端的天線已由最初的全向輻射轉為定向輻射，到達接收端的來波方向一般也呈非均勻分布。這些新特征急迫要求提出新的模型進行分析。目前，在MIMO信道建模中多采用的是基于空時統(tǒng)計特性的建模方法。而其中的基于散射體地理特征的建模方法和空時相關統(tǒng)計特性的建模方法又是統(tǒng)計建模中較多采用的兩種方法。這兩種方法都有各自的優(yōu)缺點：(1)若基于散射體幾何分布對MIMO衰落信道建模

7、，則必須對散射體的分布進行合理的假設，并給出收發(fā)兩端之間的距離、散射體的數(shù)目和尺寸以及散射體與收發(fā)兩端的距離等一些可描述MIMO信道的二維幾何參數(shù)。而過多的參數(shù)約束會增加建模的復雜度，同時，不同的環(huán)境下這些參數(shù)的值也不盡相同，因此，這種建模方法限制了具體的應用場合。(2)若基于統(tǒng)計特性對MIMO無線衰落信道進行建模，需要給出描述離開角(AOD)、到達角(AOA)、水平方向角度功率譜(PAS)，電波的角度擴展(AS)等一系列參數(shù)的數(shù)學統(tǒng)計模型。這種方法能夠較為全面的反映MIMO信道的衰落特性，特別是信道的空間衰落特性；而且目前已經(jīng)有了對AOA、AOD、PAS、AS等參數(shù)在各種環(huán)境下的大量的測量值

8、及其分布的數(shù)學描述。根據(jù)上面的模型對比可發(fā)現(xiàn)，采用基于空時相關統(tǒng)計特性的建模方法建立MIMO無線衰落信道模型可以更好地進行MIMO信道容量的分析。3.2模型的主要參數(shù)和數(shù)學描述基于空時相關特性的統(tǒng)計MIMO信道模型的主要參數(shù)包括：(1)信道的功率與時延的分布、多普勒功率譜等表征信道時域和頻域衰落特征的參數(shù)。(2)每一可分辨徑的空間特性參數(shù)：發(fā)射端信號的離開角(AOD)、接收端信號的到達角(AOA)、信號的水平方向角度功率譜(PAS)、角度擴展(AS)等。(3)發(fā)射端和接收端天線的數(shù)目和天線陣列結構以及天線元之間的間距。在上述的參數(shù)中，發(fā)射端信號的AOD是指發(fā)送信號與發(fā)射天線元之間的夾角。接收端

9、信號的AOA是指接收信號與接收天線元之間的夾角。它們的取值范圍在區(qū)間，AOD和AOA在通常情況下服從均勻分布，在某些情況下并不服從均勻分布。角度功率譜PAS是指信號的功率譜密度在角度上的分布。研究表明，PAS主要服從3種分布：均勻分布、截斷高斯分布和截斷拉普拉斯分布。此外，PAS也可能是一個升余弦函數(shù)甚至為一個整數(shù)。角度擴展AS是角度功率譜PAS的二階中心矩的平方根，在之間分布。它反映了信號功率譜在角度上的色散程度。角度擴展越大，信道的空間相關性就越小，反之則相關性越大。天線的陣列結構是指天線的擺放方式，較普遍的陣列結構就是均勻線性陣列(ULA,Uniform Linear Array)，另外

10、還有均勻圓形陣列(UCA,Uniform Circular Array)等其它陣列結構。天線元間距是指兩個相鄰天線元之間的距離，天線間距通常用載波的波長進行歸一化。天線元間距越小則空間相關性就越大，反之則相關性越小。如圖1所示，考慮發(fā)射端天線數(shù)為N，接收端天線數(shù)為M的兩個均勻線性天線陣列(ULA)，假定天線為全向輻射天線。發(fā)射端天線陣列上的發(fā)射信號記為： （3.1）)表示第n個發(fā)射天線元上的發(fā)射信號，符號表示矢量(或矩陣)的轉置。同樣地，接收端天線陣列上的接收信號可以表示為： （3.2）描述連接發(fā)射端和接收端的寬帶MIMO無線信道矩陣可以表示為： （3.3）其中，并且為描述收發(fā)兩端天線陣列在時

11、延下的復信道傳輸系數(shù)矩陣，表示從第n個發(fā)射天線到第m個接收天線之間的復傳輸系數(shù)。L表示可分辯徑的數(shù)目。圖1 MIMO信道的數(shù)據(jù)模型發(fā)射信號矢量和接收信號矢量之間的關系可以表示為(不包括噪聲) （3.4）或者 （3.5）假定在遠場區(qū)有很少的空間獨立的主要反射體，一個主要反射體有一個主要路徑，此路徑含有大量的引入波，這些波是由接收機和發(fā)射機附近的本地散射體的結構引起的，它們相對時延很小，接收機不能分離出來，即為不可分辨徑。由于角度擴展不為零，所以將導致空時衰落。由于發(fā)射機和接收機附近的散射體的作用，將產生許多具有微小時延的不可分辨徑，使得角度擴展不為零。假設第p個可分辨徑的AOA和AOD分別為和，

12、是反映關于天線陣列和主要反射體位置的量；把發(fā)送陣列、接收陣列視線方位角定義成和，則接收端第個可分辨徑的角度擴展為 （3.6）式中，表示第p個可分辨徑中的第l個不可分辨徑對應的到達角度；L標示不可分辨徑的數(shù)目。對于發(fā)端的角度擴展同理可得。設接收天線在發(fā)送天線的遠場區(qū)內，可以假設接收天線的信號是平面波。第r根接收天線的接收信號相對于第1根接收天線的附加時延為 （3.7）式中，是相鄰天線間的距離。對應第r根接收天線的接收信號相對于第1根接收天線的附加相移為 （3.8）接收端均勻線性陣列的傳播響應向量可以表示為 （3.9）同樣的可得發(fā)送端均勻線性陣列的傳播響應向量可以表示為 （3.10）第m根發(fā)送天線

13、的發(fā)送信號相對于第1根發(fā)送天線的附加時延為 （3.11）因此，相對應的附加相移就是 （3.12）考慮到判決時間有限，不是所有信號的到達反射波都能分離開來。假設移動臺或散射體發(fā)生運動，每一個本地散射體的路徑長度發(fā)生變化，產生時變復衰落，對于給定速率v，最大頻率偏移為。第p個可分辨徑的第m個發(fā)送天線和第r個接收天線之間的空時衰落系數(shù)為： （3.13）每一個到達路徑經(jīng)歷的衰減為，假定是由隨機過程產生，且。通常在仿真時認為AOD均勻分布在0，這樣可以得到經(jīng)典功率譜。在固定m和r的情況下，和表征著時間域的衰落特性；而在固定時間t時，不同的m和r對應的和則反映陣列的空間特性，其相關性由兩個陣列傳播響應矢量

14、和決定。記第p個空間主散射體產生的可分辨多徑的時延，且一般假設它們之間的獨立過程互相獨立。不同的傳播環(huán)境對應不同的分布。有上述分析可以知道：當本地散射體較少時，由于發(fā)射機周圍本地散射體的作用，在主反射體和接收機之間的距離相對較大時，接收天線到達角的角度擴展較小，此時接收端僅僅引起時間衰落，而無空間衰落；而當接收天線周圍的本地散射體較多時，造成較大的角度擴展，此時接收端產生空時衰落。3.3 相關性矩陣MIMO信道中發(fā)射端和接收端天線之間的相關的程度就是相關性,相關系數(shù)在數(shù)學上定義為： （3.14）其中，符號表示求相關系數(shù)，符號表示復數(shù)共軛。根據(jù)a和b的性質的不同，可以定義3種不同的相關系數(shù)：復數(shù)

15、相關系數(shù)、包絡相關系數(shù)和功率相關系數(shù)?？紤]兩個復數(shù)變量x和y：復數(shù)相關系數(shù)，此時： （3.15）包絡相關系數(shù)，此時： （3.16）功率相關系數(shù)，此時： （3.17）限于測量設備等因素，以前對信道相關系數(shù)的探討更多的集中于包絡相關系數(shù)和功率相關系數(shù)。然而，對于MIMO信道建模來說，復數(shù)相關系數(shù)包含了能反映信道特性的較全面的信息幅度和相位，具有更好的性能。對于Rayleigh衰落信道，復數(shù)相關系數(shù)定義式和功率相關系數(shù)的定義式有如下關系： （3.18）為了保持信道模型的簡單性，假設信道的傳輸系數(shù)服從零均值的復高斯分布，即的模服從Rayleigh分布。并對該統(tǒng)計MIMO信道模型進一步作出如下假設：（1

16、）同一多徑下傳輸系數(shù)的平均功率相等 所有 （3.19）（2）信道為廣義平穩(wěn)非相關散射信道,不同的多徑下(或者不同的時延下)的信道傳輸系數(shù)不相關 當 （3.20）上式中的符號表示求a和b之間的相關系數(shù)；（3）接收天線衰落的兩個系數(shù)的相關性與發(fā)射天線是哪一個無關；同樣，兩個發(fā)射天線之間的相關性與接收天線是哪一個也沒有關系。定義接收端第根天線和第根天線之間的相關系數(shù)為： （3.21）上式間接地使用了上述的第3個假設，即接收端天線的相關系數(shù)與發(fā)射端的天線無關。只要發(fā)射端的天線間距并不太大，而且每根天線具有相同的輻射模式，這個假設就是合理的。因為從這些天線上發(fā)射出去的電磁波照射到接收端周圍相同的散射體上

17、，在接收端會產生相同的PAS，也會產生相同的空間相關函數(shù)。同理，定義發(fā)射端第根天線和第根天線之間的相關系數(shù)為： （3.22）由（3.21）和式（3.22），分別定義接收端和發(fā)射端的兩個對稱相關矩陣和為： （3.23） (3.24) 但是，僅有發(fā)射端的空間相關矩陣和接收端的空間相關矩陣并不能為產生矩陣提供足夠的信息。因此，需要確定連接兩組不同天線之間的任意兩個傳輸系數(shù)的空間相關性。為此，定義 （3.25）在上述第3個假設的條件下，從理論上可以證明，式（3.20）與下式等價： （3.26）根據(jù)式（3.26），MIMO信道的整體相關矩陣可以表示為發(fā)射端相關矩陣與接收端相關矩陣的Kronecker乘積

18、17： (3.27)上式中，符號表示矩陣的Kronecker乘積運算。在對信道的空間相關性進行建模時，按照式（3.27）對和作矩陣的Kronecker乘積，得到MIMO信道的整體相關矩陣，然后對作相應的矩陣分解，從而得到MIMO信道的空間相關矩陣。角度功率譜PAS主要有3種分布：均勻分布、高斯分布和拉普拉斯分布。討論將基于上述3種分布的PAS，給出天線元之間的相關系數(shù)與天線的歸一化間距之間的函數(shù)關系。在討論中，仍然假設天線為全向天線，天線陣列結構為ULA，并且電波以波簇(cluster)的形式傳播，每一波簇都具有相同的PAS譜。(1)均勻分布PAS多簇的均勻分布PAS的表達式為： （3.28）

19、其中，為單位階躍函數(shù)，為波簇的數(shù)目，為平均到達角AOA，為AOA的變化范圍?？紤]到潛在的功率不平衡波簇，可以推出歸一化常數(shù)使得滿足概率分布函數(shù)的要求： （3.29）由上式可得 （3.30）令，其中，d為天線元之間的間距，為載波波長，為天線元之間的歸一化間距?？梢酝瞥鰞筛蛱炀€接收到的復基帶信號的實部與虛部之間的互相關系函數(shù)： （3.31）虛部與虛部之間的互相關函數(shù)與上式相同。另一方面，實部與虛部之間的互相關函數(shù)定義為： (3.32)將均勻分布PAS的表達式代入的表達式（2.31），得到： （3.33）其中，為階第一類貝塞爾函數(shù)。同樣地，將PAS的表達式代入到式（3.32），得到： （3.34

20、）(2)高斯分布PAS高斯分布PAS的表達式為：（3.35）同樣可以推出其歸一化常數(shù)應該滿足： （3.36）其中，為復數(shù)的誤差函數(shù)。將的表達式代入（3.31）和（3.32），可以得到高斯分布PAS下的復基帶信號的實部與虛部的兩個互相關函數(shù)分別為： （3.37）和 （3.38）其中，表示取x的實部。(3)拉普拉斯分布PAS拉普拉斯分布的PAS譜被認為是與城區(qū)和農村地區(qū)的信道測量結果吻合得最好的一種分布。其表達式為： （3.39）其歸一化條件由下式給出： （3.40）拉普拉斯分布PAS下的復基帶信號的兩個互相關函數(shù)分別為： （3.41）和 (3.42)由表達式，可以定義復數(shù)相關系數(shù)和功率相關系數(shù)的

21、表達式如下： (3.43) (3.44)可見一般復數(shù)相關系數(shù)的性能要優(yōu)于功率相關系數(shù)，因為后者失去了前者的相位信息。4 軟件計算MIMO信道模型的描述以及上一小節(jié)對仿真思路與方法的討論，可知MIMO信道矩陣產生的方法是：按照上一章所描述的方法產生MIMO信道接收和發(fā)送端的相關矩陣和，再按照式產生的MIMO信道的整體相關矩陣。由進行相應的矩陣分解得到一個對稱映射矩陣C，C就是MIMO信道的空間相關形成矩陣即： (4.1)如果使用的是復數(shù)相關矩陣，則應該對作矩陣的平方根分解。再按照仿真單入單出信道的方法產生信道的衰落系數(shù)，即為經(jīng)過相應的多普勒功率譜成形后的零均值、單位方差的I.I.D復高斯變量，反

22、映了MIMO信道的時頻衰落特性。最后，按照下式計算MIMO信道抽頭的系數(shù)矩陣： (4.2)其中，表示把一個的矩陣排成一個的矢量；即為MIMO信道的衰落系數(shù)；為第個可分辨徑的功率；。綜合上面的討論，MIMO相關衰落的產生過程如圖4.2所示。圖2 MIMO信道中相關衰落的產生4.1 信道矩陣的matlab計算為了產生帶有相關性MIMO信道的信道沖激響應。設置：輸入?yún)?shù)：Nr接收天線陣元的個數(shù)；Nt發(fā)送天線陣元的個數(shù)；t時間變量。輸出參數(shù)：Mimo_channel MIMO信道的信道沖激響應矩陣。function f=mimo_channel(Nr, Nt,t)s=35; % mm=O;fd=5.5

23、6; rand('state',0);for i=1 :Nt*Nr for l=1:1 h1=0; h2=0; for k=l:s-1 sita(k)=2*pi*rand; h1 = h1+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*sin(pi*k/(s-1)*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1)*t+sita(k); h2 = h2+sqrt(2)/sqrt(s-1/2)*cos(pi*k/(s-1)*cos(2*pi*fd*cos(pi*k/(2*s-1)*t+sita(k); end sita(s)=rand; h1=h1+1/(sqrt(2)*sqrt

24、(s-1/2)*cos(2*pi*fd*t+sita(s); h2=h2+l/(sqrt(2)*sqrt(s-1/2)*cos(2*pi*fd*t+sita(s); h(i,1)=h1 +j*h2; endendh corrR=mimo_corr(30,0,0.5,Nr)%;correlation at Rx d-0.51anbudacorrT=mimo_corr(5,0,5,Nt)%; correlation at Tx d-51anbudacorrRT=kron(corrR,corrT)%; hr=transpose(chol(corrRT);h=hr*h;for p=1:Nr for q

25、=1:Nt hh(p,q)=h(Nr*(q-1)+p); endendf=hh;4.2 信道相關性的matlab計算由模型可以知道通過波束到達角、角度擴展、天線之間的間隔和天線個數(shù)，計算出發(fā)送端和接收端的相關矩陣。設置：輸入?yún)?shù)：anglespread 散射體的角度擴展，表示接收端和發(fā)射端散射體的分布情況。angle 平均到達角，每個入射波和離去波的到達角的均值。d 天線間隔與波長的比，假設天線是均勻陣列。M 天線陣元數(shù)，表示接收端和發(fā)射端天線陣元的個數(shù)。輸出參數(shù)：mimo_corr發(fā)送端或接收端任意兩個天線之間的相關系數(shù)矩陣。function f=mimo_corr(anglespread,

26、angle,d,M)L=1000;anglespread1=720;c=0;% clear i;p=zeros(1,L);fai=zeros(1,L);fai1=zeros(1,L);FAI=zeros(1,L);matrix1=zeros(M,1);matrix2=zeros(1,M);correlation1 =zeros(M,M);correlation2=zeros(M,M);correlation=zeros(M,M);for m=1:L fai1(1,m)=angle-anglespread1+2*anglespread1*m/L; fai(1,m)=2*pi*(angle-ang

27、lespread1+2*anglespread1*m/L)/360; FAI(1,m)=d*sin(fai(1,m);endfor m= 1:Lp(1,m)= 1/(anglespread*sqrt(2)*exp(-sqrt(2)*abs(fai1(1,m)-angle)/anglespread)*2*anglespread1/L;endfor m=1:L c=p(1,m)+c;endc;for m= 1:L for n= 1:M matrix1(n,1)=exp(i*FAI(m)*2*pi*(n-1); end matrix2=matrix1' correlation1 =matri

28、x1 *matrix2*p(1,m); correlation2=correlation1+correlation2; endfor m=1:M for n=1:M correlation(m,n)=abs(correlation2(m,n)/c; end end f=correlation;5 結果分析通過對模型進行仿真的設計思路、方法和仿真處理的流程，可以對該信道模型進行了相應的計算機仿真，得出了信道矩陣和和信道的相關相矩陣，并對這些結果進行了分析。我們選擇選擇典型的城區(qū)環(huán)境，天線結構為均勻線性陣列，發(fā)送端的天線數(shù)（）為2根，接收端的天線數(shù)為（）為4根，角度功率譜（PAS）的類型為拉普拉斯

29、分布。當接收端和發(fā)送端的天線間距分別為和，角度擴展分別為5度和30度，AOA和AOD都為0時，得出的信道矩陣為發(fā)送端的相關矩陣為： 接收端的相關矩陣為： 信道的空間相關矩陣為： 維持其它的參數(shù)不變，改變信道的參數(shù)可以看到各參數(shù)對MIMO信道特性的影響，將發(fā)射和接收端的天線間距分別變?yōu)楹停瑥姆抡娴玫降木仃囍锌梢钥吹剑S著天線間距離d的增大，信道的相關性是減小的。發(fā)送端的相關矩陣為：接收端的相關矩陣為：信道的空間相關矩陣為下面的矩陣是其它參數(shù)不變，角度擴展變?yōu)?0度時的信道的相關性矩陣，將這幾個矩陣與本節(jié)中最前面的矩陣比較，可以看到：相關系數(shù)隨著角度擴展的增大而下降。發(fā)送端的相關矩陣為：接收端的相關矩陣為：信道的空間相關矩陣為：圖3直觀地反映了角度擴展和