直線與橢圓位置關(guān)系專題講義

1、直線與橢圓的位置關(guān)系專題講義知識點1：直線與橢圓位置關(guān)系、弦長問題：將直線方程（或）代入橢圓方程：，整理得到關(guān)于x（或y）的一個一元二次方程（或）當直線與橢圓相交；當直線與橢圓相切；當直線與橢圓相離。若直線：與橢圓相交于A，B兩點，弦長公式：或焦點弦：若弦過圓錐曲線的焦點叫焦點弦；通徑：若焦點弦垂直于焦點所在的圓錐曲線的對稱軸，此時焦點弦叫通徑。通徑公式為：_ .例1.當m為何值時，直線y=x+m與橢圓相交？相切？相離？練習、直線y=mx+1與橢圓x2+4y2=1有且只有一個交點，則m2=（ ）(A) (B) (C) (D) 例2、直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓x2/9+y2/m=1總有

2、公共點，求實數(shù)m的取值范圍是（ ） A、1/2m9 B、9m10 C、1m9 D、1m9練習、若直線與橢圓恒有公共點，求實數(shù)的取值范圍 例3、求直線xy1=0被橢圓截得的弦長練習、已知橢圓：，右頂點為A，過左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，求弦的長及的面積。知識點2：中點弦問題（點差法）例4 橢圓內(nèi)有一點P（2，1），求經(jīng)過P并且以P為中點的弦所在直線方程。練習、如果橢圓的弦被點平分，則這條弦所在的直線方程是（ ）A. B. C. D.例5、求直線y=x+1被橢圓x2+2y2=4截得的弦的中點坐標。練習、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點恰為這條弦的中點，求點的坐標。例6.已知橢圓的

3、右焦點為，過點的直線交橢圓于兩點。若的中點坐標為，則的方程為 ( )A.B.C.D.練習、已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標為，求橢圓的方程。知識點3：橢圓中的最值問題 例7. （1）求x+y的最大值（2）求點P到直線x-y+10=0的距離的最小值。練習：求橢圓上的點到直線的最小距離知識點4.直線橢圓綜合問題例8（12北京）已知橢圓C：+=1（ab0）的一個頂點為A （2,0），離心率為， 直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的兩點M,N（）求橢圓C的方程（）當AMN的面積為時，求k的值 練習【12陜西】已知橢圓，橢圓以的長軸為短軸，且與有相同的離心率。（1）求橢圓的方

4、程；（2）設(shè)O為坐標原點，點A，B分別在橢圓和上，求直線的方程。例9(2013課標全國2)平面直角坐標系xOy中，過橢圓M：(ab0)右焦點的直線交M于A，B兩點，P為AB的中點，且OP的斜率為.(1)求M的方程；(2)C，D為M上兩點，若四邊形ACBD的對角線CDAB，求四邊形ACBD面積的最大值例10（2014新課標2）設(shè)F1 ，F(xiàn)2分別是橢圓C：（ab0）的左，右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N。（I）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（II）若直線MN在y軸上的截距為2且|MN|=5|F1N|，求a，b直線與橢圓的位置關(guān)系專題基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1.已

5、知橢圓C:,過點與橢圓C只有一個交點的直線方程是 （ ）（A） x+2=0 （B）x-2=0 （C）y+2=0 （D） y-2=02直線與橢圓的位置關(guān)系為 （ ） （A）相切 （B）相交 （C）相離 （D）不確定3橢圓上的點到直線的最大距離是 （ ） （A）3 （B） （C） （D）4.直線被橢圓所截的弦的中點坐標是 （ ）（A） (, ) （B）(, ) （C）(, ) （D）(, )5.已知橢圓，橢圓內(nèi)一點,則以為中點的弦所在的直線的斜率是 （ ） （A） （B） （C）2 （D）26設(shè)定點F1（0，3）、F2（0，3），動點P滿足條件，則點P的軌跡是 （ ）A橢圓 B線段 C不存在D橢圓

6、或線段二、填空題7.方程表示橢圓，則m的取值范圍為 8. 橢圓的焦點、，為橢圓上的一點，已知，則的面積為 _ 9稱焦距與短軸長相等的橢圓為“黃金橢圓”，則黃金橢圓的離心率為 10.（浙江卷13）已知為橢圓的兩個焦點，過的直線交橢圓于A、B兩點 若，則= 。11.（海南卷15）過橢圓的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點，則OAB的面積為_12.經(jīng)過橢圓的一個右焦點作傾斜角為的直線，交橢圓于、兩點設(shè)O為坐標原點，則等于 。三、簡答題13、已知橢圓的左右焦點分別為F1,F2，若過點P（0，-2）及F1的直線交橢圓于A,B兩點，求|AB|及的面積14. 已知橢圓及直線（1）當

7、為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程15.已知橢圓方程為，內(nèi)有一條以點為中點的弦，求所在的直線的方程及的弦長。16、已知中心在原點，長軸在x軸上的橢圓,，若橢圓被直線x+y+1=0截得的弦的中點的橫坐標是，求橢圓的方程。17.橢圓C: 的兩個焦點為F1,F2,點P在橢圓C上，且（）求橢圓C的方程；（）若直線過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心，交橢圓C于A、B兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線的方程.18.已知圓及點，為圓上任一點，線段的垂直平分線與線段的交點為，設(shè)點的軌跡為曲線。（1）求曲線的軌跡方程；（2）過點且傾斜角為的直線與曲線交于兩點，為原點，求

8、的面積；（3）過點的直線與曲線交于兩點，且線段被點平分，求直線的方程。直線與橢圓的位置關(guān)系專題能力提高1.設(shè),分別是橢圓E：+=1（0b1）的左、右焦點，過的直線L與E相交于A、B兩點，且，成等差數(shù)列。求 若直線L的斜率為1，求b的值。2.橢圓的離心率為，且過點。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若直角三角形，求的值。3.（2013年高考陜西卷（文）已知動點M(x,y)到直線l:x = 4的距離是它到點N(1,0)的距離的2倍. () 求動點M的軌跡C的方程; () 過點P(0,3)的直線m與軌跡C交于A, B兩點. 若A是PB的中點, 求直線m的斜率.

9、4橢圓的對稱中心為原點O，焦點在軸上，離心率為， 且點（1，）在該橢圓上.（I）求橢圓的方程；（II）過橢圓的左焦點的直線與橢圓相交于兩點，若的面積為，求圓心在原點O且與直線相切的圓的方程. 5（2013年高考天津卷（文）設(shè)橢圓的左焦點為F, 離心率為, 過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為. () 求橢圓的方程; () 設(shè)A, B分別為橢圓的左右頂點, 過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C, D兩點. 若, 求k的值. 6.設(shè)直線與橢圓C：相交于，兩點，且過橢圓C的右焦點，若以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的左焦點，求該橢圓C的方程。7.2014全國新課標卷 已知點P(2，2)，圓C：x2y28y0，過點P的動直線l