第六章積分學SECTION12

1、四、定積分的求法定積分的性質(zhì)分部積分法式中變量替換法 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，同時函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，并且從單調(diào)地變到，則利用函數(shù)奇偶性求積法若為偶函數(shù)，則若為奇函數(shù)，則利用積分對參數(shù)求導(dǎo)法設(shè)f(x,t)在有界區(qū)域上連續(xù)，并且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則當時，有例計算積分解設(shè)則.因所以.定積分表定 積 分定 積 分 值定 積 分定 積 分 值表中定 積 分定 積 分 值為正整數(shù),a>0)定 積 分定 積 分 值 (n為正整數(shù)) (歐拉常數(shù)，下同)定 積 分定 積 分 值五、廣義積分. 廣義積分的概念無窮限廣義積分設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上可積，u>a,<b,u>,當下列各式右邊的

2、極限存在時，這時稱無窮限廣義積分收斂，否則稱為發(fā)散.無界函數(shù)的廣義積分 設(shè)函數(shù)f(x)在給定區(qū)間a,b上只有一個瑕點x=c,即函數(shù)f(x)在x=c點的鄰域內(nèi)無界，而在a,c-及c+',b上可積，'為任意小的正數(shù)，當和'獨立地趨于零，極限 (1)存在時，則用上式定義無界函數(shù)f(x)從a到b的瑕積分，記作柯西主值 有時極限（1）不存在，但如果設(shè)'=0，這個極限（1）存在，就稱它為瑕積分的主值，記作這時稱無界函數(shù)廣義積分在主值意義下收斂，否則稱為發(fā)散.絕對收斂與條件收斂 如果f(x)的廣義積分與|f(x)|的廣義積分同時收斂，那末稱f(x)的廣義積分是絕對收斂, f(

3、x)稱為絕對可積；如果僅前者收斂，后者不收斂，那末稱f(x)的廣義積分是條件收斂.2. 廣義積分收斂判別法1°收斂的充分必要條件是：對任意給定的>0,都存在N=N()>0,只要,就有|<.2°設(shè)f(x)是非負的，則收斂的充分必要條件是：F(u)=是有界函數(shù).3°設(shè)當x時，f(x)=.若p>1,則收斂；若p1,則發(fā)散.4°若收斂，g(x)單調(diào)有界(xa),則收斂.5°設(shè)f(x)0,g(x)0,且f(x)cg(x)(xa,c是一個大于零的常數(shù)）.若收斂，則也收斂；若發(fā)散，則也發(fā)散.6°無窮級數(shù)與廣義積分的關(guān)系：設(shè)f

4、(x)是定義在區(qū)間a,)上的一個正的非增連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)f(a)+f(a+1)+··+f(a+k)+··與積分同時收斂或同時發(fā)散.7°廣義積分（以a為瑕點）收斂的充分必要條件是：對任意給定的>0,都存在(a<<b),使當a<u'<u''<時|<.8°設(shè)g(x）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，并是恒正的、單調(diào)下降的函數(shù)，且.若有常數(shù)M,使對一切u>a,都有|<M,則廣義積分收斂.六、含參數(shù)積分1. 含參數(shù)常義積分連續(xù)性 若二元函數(shù)f(x,y)在有界區(qū)域R(axA,byB)上有定

5、義且連續(xù)，則是閉區(qū)間b,B上的連續(xù)函數(shù).積分號下的微分法 若f(x,y)在有界區(qū)域R(axA,byB)上連續(xù)，并且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(x,y)，則當b<y<B時，一般情況下，當積分限為參數(shù)y的可微函數(shù)和, 且當byB， aA,aA時， (1)積分的求導(dǎo)運算 以下公式為(1)的特殊情況.積分號下的積分法若函數(shù)在有界區(qū)域axA,byB上連續(xù)，則2 . 含參數(shù)廣義積分一致收斂性 設(shè)函數(shù)f(x,y)是定義在區(qū)域R(ax<, y1<y<y2)上的連續(xù)函數(shù)，若對任意給定的>0，都存在只與有關(guān)的正數(shù)B=B(),使得當bB時，對區(qū)間(y1，y2)內(nèi)一切y不等式都成立，則稱廣義積

6、分在區(qū)間(y1，y2)內(nèi)一致收斂，并且在該區(qū)間內(nèi)是參數(shù)y的連續(xù)函數(shù).一致收斂判別法1°柯西判別積分在區(qū)間(y1，y2)內(nèi)一致收斂的充分必要條件是：對任意>0，都存在正數(shù)B=B(),使得當b'>B,b''>B時，對區(qū)間(y1，y2)內(nèi)的一切y,都有2°外爾斯特拉斯判別法 設(shè)函數(shù)f(x,y)(x的函數(shù))在任一有限區(qū)間a,A上可積，若存在與參數(shù)y無關(guān)的函數(shù)F(x)，它在區(qū)間a,)上可積，并且對于區(qū)間(y1，y2)內(nèi)的一切y |f(x,y)|F(x)(xa)則積分在區(qū)間(y1，y2)內(nèi)一致收斂.對參數(shù)的微分法 若(i)函數(shù)f(x,y)在區(qū)域

7、R(ax<, y1<y<y2)內(nèi)連續(xù)，并對參數(shù)y可微，(ii)積分收斂，(iii)積分在區(qū)間(y1，y2)內(nèi)一致收斂,則當y1<y<y2時，對參數(shù)的積分法 若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域R(ax<, y1<y<y2)內(nèi)連續(xù)，并且在區(qū)間(y1，y2)內(nèi)一致收斂，則七、斯蒂爾吉斯積分定義 設(shè)在區(qū)間a,b上給定兩個有界函數(shù)f(x)和g(x).用任意方法把區(qū)間a,b分成若干部分，其分點為a=x0<x1<x2<< xi<xi+1<<xn=b并設(shè)是xi=xi+1-xi(t=0,1,n1)中最大的.在每個小區(qū)間上任取一點,作

8、和=當0時，如果極限存在，那末這個極限稱為函數(shù)f(x)對函數(shù)g(x)的斯蒂爾吉斯積分，記作特別是，當函數(shù)g(x)在區(qū)間上連續(xù)可微時，函數(shù)f(x)對g(x)的斯蒂爾吉斯積分就是通常的黎曼積分可積性1°若函數(shù)f(x)連續(xù)，函數(shù)g(x)有有界變差，則積分（1）存在.2°若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上黎曼可積，函數(shù)g(x)滿足李普希茨條件：|g(x')-g(x'')|L(x'x'')(L為常數(shù)，ax''<x'b)則積分(1)存在.3°若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上黎曼可積，函數(shù)g(x)可表示成g(x

9、)=C+式中C為常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間a,b上絕對可積，則積分(1)存在.積分法則與不等式1°積分法則(k,l為常數(shù))(a<c<b,三個積分都存在，當上式右邊兩個積分存在時，一 般不能推出積分存在）(分部積分公式)2°若g(x)在區(qū)間a,b上為一非減函數(shù)，則3°若g(x)在區(qū)間a,b上為一非減函數(shù)，則f(x)F(x),則八、積分的近似計算1.內(nèi)插求積公式等距內(nèi)插求積一般公式（柯斯特公式）(ba)式中為等距節(jié)點：=a+khk=0,1,2,n為柯特斯系數(shù)（見下表）.柯特斯系數(shù)表kn01234567891012345678910當區(qū)間a,b愈小，柯特斯公式所給出的

10、結(jié)果愈精確.因此，當區(qū)間a,b較大時，為了避免采用n值較大的柯特斯公式，常把a,bN等分，對其中各個等份應(yīng)用n值較小的柯特斯公式求積，然后再把各個等份的積分值相加，即得到區(qū)間a,b上的積分值，如下述的梯形公式(n=1)和辛卜生公式(n=2).梯形公式=a+kh, k=1,2,N1 若M2,則截斷誤差為辛卜生公式=a+k, 若,則截斷誤差為龍貝公式 設(shè) =則一般地，可適當選取m,使之固定，再增大k,使近似截斷誤差在允許誤差范圍內(nèi)即可，這時具體計算過程可按下表自左而右，自上而下進行（表中箭頭方向表示計算順序）.k區(qū)間等分數(shù)01122438416532664例用龍貝公式計算積分誤差不超過0.0000

11、001.解這里,a=0,b=1.可按五步進行計算，結(jié)果如下：(1) (2) (3)(4)(5) 可以繼續(xù)算出3.140941614 3.1415926553.141592665 3.141592643因為 |-|=|3.1415926433.141592665|<0.0000001所以3.14159264而準確值為在等距內(nèi)插求積公式中，以辛卜生公式和龍貝公式為好，計算簡單，便于在電子計算機上實現(xiàn)(都有標準程序)，精確度也相當高.特別龍貝公式是采用區(qū)間逐次分半的方法,前一次分割得到的函數(shù)值在區(qū)間分半后仍可利用，具有計算有規(guī)律，不需存儲柯特斯系數(shù)和節(jié)點等優(yōu)點.但等距內(nèi)插求積公式不能計算廣義積

12、分.廣義積分只能用下面的高斯型求積公式來計算.不等距內(nèi)插求積公式（高斯型求積公式）高斯型求積公式為n=1,2,式中(a,b)區(qū)間可以是有限或無限，w(x)為(a,b)區(qū)間內(nèi)的非負權(quán)函數(shù).a<<<<b為求積節(jié)點（相應(yīng)的正交多項式的根），(k=1,2,n)為求積系數(shù).f(x)為不超過2n1次的多項式時，上述求積公式(1)成為等式.下面列出幾種特例.1°(1<<1)式中為勒讓德多項式(見第十二章，§2，一）的根.2°(1<<1)式中為第一類契貝謝夫多項式(見第十二章，§2，二）的根.它也可表為3°(1&

13、lt;<1)式中為第二類契貝謝夫多項式(見第十二章，§2，三）的根.4°(1<<1)5°2.高斯型求積公式的求積節(jié)點和求積系數(shù)表高斯求積公式式中為勒讓德多項式的根.n求積節(jié)點求積系數(shù)20.57735 026921300.77459666920.88888888890.555555555640.33998104360.86113631160.65214515490.3478548451500.53846931010.90617984590.56888888890.47862867050.236926885160.23861918610.661209

14、38650.93246951420.46791393460.36076157310.1713244924700.40584515140.74153118560.94910791230.41795918370.38183005050.27970539150.12948496628052553240990.79666647740.96028985650.36268378340.31370664590.22238103450.1012285363n求積節(jié)點求積系數(shù)900.32425342340.61337143270.83603110730.96816023950.3302

15、3935500.31234707700.26061069640081274388410043339539410.67940956830.86506336670.97390652850.29552422470.26926671930.219086362500666713443勒貝陶求積公式式中為的根.n求積節(jié)點求積系數(shù)3100.33333 3331.33333 333410.44721 3600.166666670.83333333510.6546536700.100000000.544444440.711111116

16、10.765055320.285231520.066666670.378474960.55485838710.830223900.4688487900.047619040.276826040.431745380.48761904810.871740150.591700180.209299220.035714280.21070 4220.34112 2700.41245 880910.871740150.67718627950.363117463800.02777777780.16549536160.27453871260.34642851100.37151927441010.919533908

17、20.73877386510.47792494980.16527895770.0222222222022488934200.29204268360.3275397612拉蓋爾求積公式式中為拉蓋爾多項式（見第十二章，§2，四）的根.n求積節(jié)點求積系數(shù)20.58578643763.4142135624(-1)8.5355339059*(-1)1.46446609411.53332603314.450957335130.41577455682.29428036036.2899450829(-1)7.1109300993(-1)2.7851773357(-1)1.0

18、3892565021.07769285932.76214296195.601094625440.32254768961.74576110124.53662029699.3950709123(-1)6.0315410434(-1)3.5741869244(-2)3.8887908515(-4)5.39294705560.83273912382.04810243853.63114630586.487145084450.26356031971.41340305913.59642 577107.085810005912.6408008443(-1)5.2175561058(-1)3.986668110

19、8(-2)7.5942449582(-3)3.6117586799(-5)2.33699723860.67909404221.63848787362.76944324244.31565690097.219186354460.2228466042199273632615.77514356919.837467418415.9828739806(-1) 4.5896467395(-1)4.1700083077(-1)1.1337338207(-2)1.0399197453(-4)2.6101720282(-7)8.98547906430.57353550741.369252

20、59072.26068459343.35052458244.88682680027.849015945670.19304367661.02666489532.56787674504.90035308458.182153444612.734180291819.3957278623(-1)4.0931895170(-1)4.2183127786(-1)1.4712634866(-2)2.0633514469(-3)1.0740101433(-5)1.5865464349(-8)34964775975191824978172.77184863623

21、.84124912255.38067820798.40543248688090370177682.25108662994.26670017037.045605402410.758516010215.740678641322.8631317369(-1)3.6918858934(-1)4.1878678081(-1)1.7579498664(-2)3.3343492261(-3)2.7945362352(-5)9.0765087734(-7)8.4857467163(-9)1.04800117490.43772341051.03386934771.66970976572

22、.37692470183.20854091344.26857551085.81808336878.90622621539080722002272.00513515563.78347397336.20495677799.372985251713.466236911118.833597789026.3740718909(-1)3.3612642180(-1)4.1121398042(-1)1.9928752537(-2)4.7460562766(-3)5.5996266108(-4)3.0524976709(-6)6.5921230261(-8)4.1107693304(

23、-11)3.29087403040.39143112430.92180502851.48012790992.08677080762.77292138973.59162606814.64876600216.21227541989.3632182377*表示數(shù)，其他類同，.埃爾米特求積公式式中為埃爾米特多項式（見第十二章，§2，五）的根.n求積節(jié)點求積系數(shù)20.70710 67812(-1)8.8622692545*1.46114118273 01.22474 48714(0)1.1816359006(-1)2.95408975151323931175240.52464762331.6506801239(-1)8.0491409001(-2)805996448291.2402258177500.95857246462.0201828705(-1)9.4530872048(-1)3.9361932315(-2)1.99532420590.94530 872050.98658 099681.18148 8625560.43607741191.33584907402.3506049737(-1)7