第四節(jié)正態(tài)總體的置信區(qū)間

1、第四節(jié) 正態(tài)總體的置信區(qū)間與其他總體相比, 正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間是最完善的,應(yīng)用也最廣泛。在構(gòu)造正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間的過程中，t分布、分布、F分布以及標準正態(tài)分布扮演了重要角色.本節(jié)介紹正態(tài)總體的置信區(qū)間,討論下列情形:1. 單正態(tài)總體均值(方差已知)的置信區(qū)間;2. 單正態(tài)總體均值(方差未知)的置信區(qū)間;3. 單正態(tài)總體方差的置信區(qū)間;4. 雙正態(tài)總體均值差(方差已知)的置信區(qū)間;5. 雙正態(tài)總體均值差(方差未知但相等)的置信區(qū)間;6. 雙正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間. 注: 由于正態(tài)分布具有對稱性, 利用雙側(cè)分位數(shù)來計算未知參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間, 其區(qū)間長度在所有這類區(qū)間中是最短的.分

2、布圖示 引言 單正態(tài)總體均值（方差已知）的置信區(qū)間 例1 例2 單正態(tài)總體均值（方差未知）的置信區(qū)間 例3 例4 單正態(tài)總體方差的置信區(qū)間 例5 雙正態(tài)總體均值差（方差已知）的置信區(qū)間 例6 雙正態(tài)總體均值差（方差未知）的置信區(qū)間 例7 例8 雙正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間 例9 內(nèi)容小結(jié) 課堂練習 習題6-4 內(nèi)容要點一、單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間(1)設(shè)總體 其中已知, 而為未知參數(shù), 是取自總體X的一個樣本. 對給定的置信水平, 由上節(jié)例1已經(jīng)得到的置信區(qū)間 二、單正態(tài)總體均值的置信區(qū)間(2)設(shè)總體其中,未知, 是取自總體X的一個樣本.此時可用的無偏估計代替, 構(gòu)造統(tǒng)計量,從第五章第三節(jié)的定理

3、知對給定的置信水平, 由,即 因此, 均值的置信區(qū)間為 三、單正態(tài)總體方差的置信區(qū)間 上面給出了總體的區(qū)間估計，在實際問題中要考慮精度或穩(wěn)定性時，需要對正態(tài)總體的方差進行區(qū)間估計.設(shè)總體其中,未知,是取自總體X的一個樣本. 求方差的置信度為的置信區(qū)間. 的無偏估計為, 從第五章第三節(jié)的定理知,對給定的置信水平, 由于是方差的置信區(qū)間為而方差的置信區(qū)間四、雙正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間(1)在實際問題中，往往要知道兩個正態(tài)總體均值之間或方差之間是否有差異，從而要研究兩個正態(tài)總體的均值差或者方差比的置信區(qū)間。設(shè)是總體的容量為的樣本均值, 是總體的容量為的樣本均值, 且兩總體相互獨立, 其中已知.因與分

4、別是與的無偏估計, 從第五章第三節(jié)的定理知 對給定的置信水平, 由可導出的置信度為的置信區(qū)間為五、雙正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間(2)設(shè)是總體的容量為的樣本均值, 是總體的容量為的樣本均值, 且兩總體相互獨立, 其中,及未知.從第五章第三節(jié)的定理知其中對給定的置信水平, 根據(jù)t分布的對稱性, 由可導出的置信區(qū)間為六、雙正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間設(shè)是總體的容量為的樣本方差, 是總體的容量為的樣本方差, 且兩總體相互獨立, 其中未知. 與分別是與的無偏估計, 從第五章第三節(jié)的定理知對給定的置信水平, 由可導出方差比的置信區(qū)間為例題選講單正態(tài)總體均值（方差已知）的置信區(qū)間例1(E01) 某旅行社為調(diào)查當?shù)?/p>

5、一旅游者的平均消費額, 隨機訪問了100名旅游者, 得知平均消費額元. 根據(jù)經(jīng)驗, 已知旅游者消費服從正態(tài)分布, 且標準差元, 求該地旅游者平均消費額的置信度為95%的置信區(qū)間.解對于給定的置信度 查標準正態(tài)分布表 將數(shù)據(jù) 代入計算得的置信度為95%的置信區(qū)間為 即在已知情形下, 可以95%的置信度認為每個旅游者的平均消費額在77.6元至82.4元之間. 例2 設(shè)總體 其中未知, 為其樣本.(1) 當時, 試求置信度分別為0.9及0.95的的置信區(qū)間的長度.(2) n多大方能使的90%置信區(qū)間的長度不超過1?(3) n多大方能使的95%置信區(qū)間的長度不超過1?解(1) 記的置信區(qū)間長度為A,

6、則于是當時, 當時, (2) 欲使 即 必須 于是, 當時, 即 即至少為44時, 的90%置信區(qū)間的長度不超過1.(3) 當時，類似可得注: 由(1)知, 當樣本容量一定時, 置信度越高, 則置信區(qū)間長度越長, 對未知參數(shù)的估計精度越低. 在置信區(qū)間的長度及估計精度不變的條件下, 要提高置信度, 就須加大樣本的容量以獲得總體更多的信息.單正態(tài)總體均值（方差未知）的置信區(qū)間例3(E02) 某旅行社隨機訪問了25名旅游者, 得知平均消費額元, 子樣標準差元, 已知旅游者消費額服從正態(tài)分布, 求旅游者平均消費額的95%置信區(qū)間.解對于給定的置信度將 代入計算得的置信度為95%的置信區(qū)間為 即在未知

7、情況下, 估計每個旅游者的平均消費額在75.05元至84.95元之間, 這個估計的可靠度是95%.注: 與例1相比, 在標準差未知時, 用樣本的標準差給出的置信區(qū)間偏差不太大.例4 (E03) 有一大批袋裝糖果. 現(xiàn)從中隨機地取16袋, 稱得重量(以克計)如下:506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496設(shè)袋裝糖果的重量近似地服從正態(tài)分布, 試求總體均值的置信水平為0.95的置信區(qū)間.解 由給出的數(shù)據(jù)算得 可得到均值的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為 即這就是說, 估計袋裝糖果重量和均值在500.4克與507.1

8、克之間, 這個估計的右信程度為95%. 若以此區(qū)間內(nèi)任一值作為的近似值, 其誤差不大于(克)這個誤差估計的可信程度為95%.單正態(tài)總體方差的置信區(qū)間例5 (E04) 為考察某大學成年男性的膽固醇水平, 現(xiàn)抽取了樣本容量為25的一樣本, 并測得樣本均值 樣本標準差. 假定所論膽固醇水平與均未知. 試分別求出以及的90%置信區(qū)間.解的置信度為的置信區(qū)間為按題設(shè)數(shù)據(jù) 查表得 于是 即的置信度為置信區(qū)間為查表得 于是, 置信下限和置信上限分別為所求的90%置信區(qū)間為雙正態(tài)總體均值差（方差已知）的置信區(qū)間例6 (E05) 2003年在某地區(qū)分行業(yè)調(diào)查職工平均工資情況: 已知體育、衛(wèi)生、社會福利事業(yè)職工工

9、資(單位: 元)文教、藝術(shù)、廣播事業(yè)職工工資(單位: 元)從總體中調(diào)查30人, 平均工資1272元, 求這兩大類行業(yè)職工平均工資之差的99%的置信區(qū)間.解由于 故 查表得又 于是的置信度為99%的置信區(qū)間為 即兩大類行業(yè)職工平均工資相差在之間, 這個估計的置信度為99%.雙正態(tài)總體均值差（方差未知）的置信區(qū)間例7 (E06) A, B兩個地區(qū)種植同一型號的小麥. 現(xiàn)抽取了19塊面積相同的麥田, 其中9塊屬于地區(qū)A, 另外10塊屬于地區(qū)B, 測得它們的小麥產(chǎn)量(以kg計)分別如下:地區(qū)A: 100, 105, 110, 125, 110, 98, 105, 116, 112;地區(qū)B: 101,

10、100, 105, 115, 111, 107, 106, 121, 102, 92.設(shè)地區(qū)A的小麥產(chǎn)量 地區(qū)B的小麥產(chǎn)量, ,均未知. 試求這兩個地區(qū)小麥的平均產(chǎn)量之差的90%置信區(qū)間.解由題意知所求置信區(qū)間的兩個端點分別為由 查表得 按已給數(shù)據(jù)計算得于是置信下限為 置信上限為 故均值差的90%的置信區(qū)間為例8 為比較I, II兩種型號步槍子彈的槍口速度, 隨機地取I型子彈10發(fā), 得到槍口速度的平均值為 , 標準差, 隨機地取II型子彈20發(fā), 得到槍口速度的平均值為 標準差假設(shè)兩總體都可認為近似地服從正態(tài)分布. 且由生產(chǎn)過程可認為方差相等. 求兩總體均值差的一個置信水平為0.95的置信區(qū)

11、間.解按實際情況, 可認為分別來自兩個總體的樣本是相互獨立的, 且兩總體的方差相等, 但數(shù)值未知, 由于 故所求的兩總體均值差的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間是 即注: 本題中得到的置信區(qū)間的下限大于零, 在實際中我們就認為比大，即型子彈的槍口速度大于型子彈的槍口速度.雙正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間例9(E07) 某鋼鐵公司的管理人員為比較新舊兩個電爐的溫度狀況, 他們抽取了新電爐的31個溫度數(shù)據(jù)及舊電爐的25個溫度數(shù)據(jù), 并計算得樣本方差分別為及. 設(shè)新電爐的溫度, 舊電爐的溫度. 試求的95%置信區(qū)間.解的置信區(qū)間的兩個端點分別是與 查表得 于是置信下限為 置信上限為所求置信區(qū)間為注: 在內(nèi)容小結(jié)中分別總結(jié)了有關(guān)單正態(tài)總體參數(shù)和雙正態(tài)總體參數(shù)的置信區(qū)間, 以方便查用.課堂練習1. 已知某地區(qū)農(nóng)戶人均生產(chǎn)蔬菜量為X (單位:kg), 且 現(xiàn)隨機