等差數(shù)列前n項(xiàng)和教案公開課教案

1、“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”教案教學(xué)環(huán)節(jié)教 師 活 動(dòng) 學(xué) 生 活 動(dòng)活 動(dòng)說 明新課引入創(chuàng)設(shè)情境：首先讓學(xué)生欣賞一幅美麗的圖片泰姬陵。泰姬陵是印度著名的旅游景點(diǎn)，傳說中陵寢中有一個(gè)三角形的圖案嵌有大小相同的寶石，共有100層，同時(shí)提出第一個(gè)問題：你能計(jì)算出這個(gè)圖案一共花了多少顆寶石嗎？也即計(jì)算1+2+3+.+100=？問題2：何老師按揭買房,向銀行貸款25萬元，采取等額本金的還款方式，即每月還款額比上月減少一定的數(shù)額。2007年1月，我第一次向銀行還款2348元，以后每月比上月的還款額減少5元，若以2007年1月銀行貸款利率為基準(zhǔn)利率,那么到2026年12月最后一次還款為止，何老師連本帶利一共還款

2、多少萬元？現(xiàn)實(shí)模型： 圖片欣賞 生活實(shí)例模 型直 觀用實(shí)際生活引入新課。探 索 公 式探 索 公 式議練活動(dòng)認(rèn)識(shí)公式認(rèn)識(shí)公式議練活動(dòng)課 堂總結(jié)首先認(rèn)識(shí)一位偉大的數(shù)學(xué)家高斯，然后提出問題：高斯是如何快速計(jì)算1+2+3+4+.+100？設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為 ,則 問題1老師：利用高斯算法如何求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？老師：但是否剛好配對(duì)成功呢？（1） n為偶數(shù)時(shí)： （2） n為奇數(shù)時(shí)：老師：那么該如何解決落單的呢？同過對(duì)n取值的討論，得到了前n項(xiàng)和求和公式：但是對(duì)n討論麻煩了，能否有更好的方法求前n項(xiàng)和公式呢？接下來給出實(shí)際問題：伐木工人是如何快速計(jì)算堆放在木場的木頭根數(shù)呢？ 問題2：如何用倒置的

3、思想求等差數(shù)列前n項(xiàng)和呢？方法一：兩式相加得：方法二同樣利用倒序相加求和法，教材做了如下處理：兩式相加得：引導(dǎo)學(xué)生帶入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，換掉 整理得到公式2。例1：計(jì)算（1）1+2+3+n（2）1+3+5+(2n-1)（3）2+4+6+2n （4）1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n 教師通過動(dòng)畫演示給(1),(2)問一個(gè)直觀的解釋。變式練習(xí)：課前提出的房貸問題。解:由已知每月還款數(shù)成等差數(shù)列,設(shè)為：問題3：能否給求和公式一個(gè)幾何解釋呢？ 教師提示將求和公式與梯形建立聯(lián)系。 n剖析公式： 教師提示，從方程中量的關(guān)系入手。例2 等差數(shù)列-10，-6，-2，2， 前多少項(xiàng)的和為54？ 解：

4、設(shè)題中的等差數(shù)列是，前n項(xiàng)和為： 則10，d6（10）4 令54，由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，得： 解得 9，3（舍去）因此,等差數(shù)列的前9項(xiàng)和是 54 例3： 解：（1） （2） 本小題主要考察了對(duì)公式一的整體應(yīng)用。根據(jù)課堂剩余時(shí)間，本題作為機(jī)動(dòng)練習(xí)，（2）小問留給學(xué)生課后完成。1、教師引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容2、課后作業(yè)：教材118頁：1、2、3、5、6、7 課后思考： 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求和方法除了倒序相加法還有沒有其它方法呢?3、對(duì)求和史的了解 我國數(shù)列求和的概念起源很早，在北朝時(shí)，張丘建始創(chuàng)等差數(shù)列求和解法。他在張丘建算經(jīng)中給出等差數(shù)列求和問題：例如：今有女子不善織布，每

5、天所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，共織三十日，問共織幾何？原書的解法是：“并初、末日織布數(shù)，半之再乘以織日數(shù)，即得?！睂W(xué)生：1+100=101，2+99=101，.50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050學(xué)生：將首末兩項(xiàng)配對(duì)，第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)配對(duì)，以此類推，每一對(duì)的和都相等，并且都等于 。學(xué)生：不一定，需要對(duì)n取值的奇偶進(jìn)行討論。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)剛好配對(duì)成功。 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)落單了。（可能部分學(xué)生在此會(huì)遇到困難，老師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。）學(xué)生：觀察的腳標(biāo)與 腳標(biāo)的關(guān)系，即： 學(xué)生觀察動(dòng)畫演示，不難發(fā)現(xiàn)用倒置的思想來解決此問題。 （由上一問題的解決，學(xué)生容易想到

6、倒序相加求和法。） 學(xué)生：利用倒序相加求和法。將中的每一項(xiàng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行巧妙的改寫，在倒序相加求和時(shí)，每一組中的d都被正負(fù)抵消了。學(xué)生類比方法一與方法二的聯(lián)系與區(qū)別。學(xué)生自己閱讀教材，體會(huì)教材的解法是如何運(yùn)用求和公式。 觀察多媒體課件演示。學(xué)生：要求總還款額實(shí)際就是對(duì)一個(gè)等差數(shù)列求和。學(xué)生：將求和公式與梯形面積公式建立聯(lián)系，而梯形面積公式的推導(dǎo)也正是利用了倒置的思想。學(xué)生：同樣將公式2與梯形面積公式建立聯(lián)系。用“割”的思想將梯形分做一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形，而梯形面積就是這兩部分面積之和。學(xué)生討論：公式中一共含有五個(gè)量，根據(jù)三個(gè)公式之間的聯(lián)系，由方程的思想，知三可求二。 學(xué)生討論分

7、析題目所含的已知量，選取了公式2進(jìn)行運(yùn)算，利用了方程的思想。需要注意的是學(xué)生可能會(huì)把公差認(rèn)為是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去。學(xué)生進(jìn)行了分組討論，然后每組派學(xué)生代表進(jìn)行分析。不少小組首先對(duì)已知條件作轉(zhuǎn)化，希望能通過解方程求出首項(xiàng)和公差，但發(fā)現(xiàn)條件不夠，不能解出這些基本量，教師做適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)。 本環(huán)節(jié)由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說明（1）回顧從特殊到一般，一般到特殊的研究方法.（2）體會(huì)等差數(shù)列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.（3）掌握等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式及簡單應(yīng)用。 了解我國古代研究等差數(shù)列求和的情況。高斯求和眾所周知，學(xué)生能快速解答

8、。 這里用到了等差數(shù)列腳標(biāo)和性質(zhì) 從高斯算法出發(fā)，對(duì)n進(jìn)行討論尋找求和公式思路自然，學(xué)生容易想到。對(duì)中間項(xiàng)的解決辦法的過程中，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)研究數(shù)列就是對(duì)腳標(biāo)數(shù)學(xué)的研究。倒序相加求和法是重要的數(shù)學(xué)思想，為以后數(shù)列求和的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。在等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中，通過問題獲得知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題提出問題解決問題”的過程通過對(duì)實(shí)際問題的解決讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)來源于生活，同時(shí)又服務(wù)于生活利用數(shù)形結(jié)合的思想，使學(xué)生對(duì)兩個(gè)公式有直觀的認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的圖形語言。例2在解決了例1的基礎(chǔ)上，由淺入深，深化了對(duì)公式的理解，體現(xiàn)了方程的思想。緊扣教材，讓學(xué)生體會(huì)整體應(yīng)用公式，類比化歸的思想方法，同時(shí)

9、，為以后綜合問題的解答設(shè)下伏筆。通過對(duì)等差數(shù)列求和歷史的了解，滲透數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)文化。二、教學(xué)反思根據(jù)教學(xué)經(jīng)歷和學(xué)生的反饋信息，筆者對(duì)本課有如下五點(diǎn)反思：（1）根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，學(xué)生比較容易掌握本課知識(shí)。在教學(xué)過程中，我重點(diǎn)突出了學(xué)生活動(dòng)，設(shè)計(jì)了四個(gè)活動(dòng)環(huán)節(jié)：(1)公式的探究活動(dòng)；(2)公式的認(rèn)識(shí)(3)公式的應(yīng)用(4)學(xué)生課后的拓展學(xué)習(xí)。（2）本課特別強(qiáng)調(diào)了幾何直觀，我不僅對(duì)求和公式給出了幾何解釋，也對(duì)部分習(xí)題給出了幾何解釋，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。（3）由于高斯求和法眾所周知，于是我補(bǔ)充了我國古代研究數(shù)列求和的情況，但由于時(shí)間關(guān)系不能展開講解，所以如何在課后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了解是一個(gè)值得研究的問題。（4）本節(jié)課充分利用了多媒體技術(shù)的強(qiáng)大功能，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題