精品教案平面解析幾何

1、2010屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品教案平面解析幾何（附高考預(yù)測）一、本章知識結(jié)構(gòu)：二、重點(diǎn)知識回顧1直線(1).直線的傾斜角和斜率 直線的的斜率為k，傾斜角為，它們的關(guān)系為：ktan；若（x1,y1），（x,y），則。(2) .直線的方程a.點(diǎn)斜式：； b.斜截式：；c.兩點(diǎn)式：； d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同時為0. (3).兩直線的位置關(guān)系兩條直線，有三種位置關(guān)系：平行（沒有公共點(diǎn)）；相交（有且只有一個公共點(diǎn)）；重合（有無數(shù)個公共點(diǎn)）.在這三種位置關(guān)系中，我們重點(diǎn)研究平行與相交。若直線、的斜率分別為、，則，·。（4）點(diǎn)、直線之間的距離點(diǎn)A（x0，y0）到直線的距離為：d

2、=。兩點(diǎn)之間的距離：|AB|=2. 圓（1）圓方程的三種形式標(biāo)準(zhǔn)式：，其中點(diǎn)（a，b）為圓心，r>0，r為半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中有三個待定系數(shù)，使用該方程的最大優(yōu)點(diǎn)是可以方便地看出圓的圓心坐標(biāo)與半徑的大小一般式：，其中為圓心為半徑，圓的一般方程中也有三個待定系數(shù)，即D、E、F若已知條件中沒有直接給出圓心的坐標(biāo)（如題目為：已知一個圓經(jīng)過三個點(diǎn)，求圓的方程），則往往使用圓的一般方程求圓方程參數(shù)式：以原點(diǎn)為圓心、r為半徑的圓的參數(shù)方程是（其中為參數(shù)）以（a，b）為圓心、r為半徑的圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），的幾何意義是：以垂直于y軸的直線與圓的右交點(diǎn)A與圓心C的連線為始邊、以C與動點(diǎn)P的連線為終邊

3、的旋轉(zhuǎn)角，如圖所示三種形式的方程可以相互轉(zhuǎn)化，其流程圖為：2二元二次方程是圓方程的充要條件“A=C0且B=0”是一個一般的二元二次方程表示圓的必要條件二元二次方程表示圓的充要條件為“A=C0、B=0且”，它可根據(jù)圓的一般方程推導(dǎo)而得3參數(shù)方程與普通方程我們現(xiàn)在所學(xué)的曲線方程有兩大類，其一是普通方程，它直接給出了曲線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系；其二是參數(shù)方程，它是通過參數(shù)建立了曲線上的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之間的（間接）關(guān)系，參數(shù)方程中的參數(shù)，可以明顯的物理、幾何意義，也可以無明顯意義要搞清楚參數(shù)方程與含有參數(shù)的方程的區(qū)別，前者是利用參數(shù)將橫、縱坐標(biāo)間接地連結(jié)起來，3.圓錐曲線(1).橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其

4、性質(zhì) 橢圓的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）。(2)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)雙曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）。 (3).拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)平面內(nèi)，到一個定點(diǎn)F和一條直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，叫做拋物線。定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。四種標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系與區(qū)別：由于選取坐標(biāo)系時，該坐標(biāo)軸有四種不同的方向，因此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種不同的形式。拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式為：，其中： 參數(shù)的幾何意義：焦參數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，所以恒為正值；值越大，張口越大；等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離。標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)：方程的左邊是某變量的平方項(xiàng)，右邊是另一變量的一次項(xiàng)，方程右邊一次項(xiàng)的變量與焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸的名稱

5、相同，一次項(xiàng)系數(shù)的符號決定拋物線的開口方向，即對稱軸為軸時，方程中的一次項(xiàng)變量就是， 若的一次項(xiàng)前符號為正，則開口向右，若的一次項(xiàng)前符號為負(fù)，則開口向左；若對稱軸為軸時，方程中的一次項(xiàng)變量就是， 當(dāng)?shù)囊淮雾?xiàng)前符號為正，則開口向上，若的一次項(xiàng)前符號為負(fù)，則開口向下。 拋物線的簡單幾何性質(zhì)方程設(shè)拋物線性質(zhì)焦點(diǎn)范圍對稱性頂點(diǎn)離心率準(zhǔn)線通徑關(guān)于軸對稱原點(diǎn)拋物線的參數(shù)方程為：（t為參數(shù)）。 (4).圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一定義與一定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線，定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線、常數(shù)叫做離心率，用e表示，當(dāng)0e1時，是橢圓，當(dāng)e1時，

6、是雙曲線，當(dāng)e1時，是拋物線4. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：（在這里我們把圓包括進(jìn)來）(1).首先會判斷直線與圓錐曲線是相交、相切、還是相離的 a.直線與圓：一般用點(diǎn)到直線的距離跟圓的半徑相比(幾何法)，也可以利用方程實(shí)根的個數(shù)來判斷(解析法).b.直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯(lián)立方程，判斷相交、相切、相離c.直線與雙曲線、拋物線有自己的特殊性(2).a.求弦所在的直線方程;b.根據(jù)其它條件求圓錐曲線方程(3).已知一點(diǎn)A坐標(biāo)，一直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn)P、Q，且中點(diǎn)為A，求P、Q所在的直線方程(4).已知一直線方程，某圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，求某個值的取值范圍（或者是圓錐曲線上否存在

7、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱）5.二次曲線在高考中的應(yīng)用二次曲線在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)和難點(diǎn)。通過以二次曲線為載體，與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識進(jìn)行綜合，結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，并與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，其設(shè)問形式新穎、有趣、綜合性很強(qiáng)。本文關(guān)注近年部分省的高考二次曲線問題，給予較深入的剖析，這對形成高三復(fù)習(xí)的新的教學(xué)理念將有著積極的促進(jìn)作用。(1).重視二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。(2).重視二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的有機(jī)聯(lián)系。(3).重視二次曲線性質(zhì)與數(shù)列的有機(jī)結(jié)合。(4).重視解析幾何與立體

8、幾何的有機(jī)結(jié)合。三、考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一 點(diǎn)、直線、圓的位置關(guān)系問題【內(nèi)容解讀】點(diǎn)與直線的位置關(guān)系有：點(diǎn)在直線上、直線外兩種位置關(guān)系，點(diǎn)在直線外時，經(jīng)?？疾辄c(diǎn)到直線的距離問題；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有：點(diǎn)在圓外、圓上、圓外三種；直線與圓的位置關(guān)系有：直線與圓相離、相切、相交三點(diǎn)，經(jīng)常用圓心到直線之間的距離與圓的半徑比較來確定位置位置關(guān)系；圓與圓的位置關(guān)系有：兩圓外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含五種，一般用兩點(diǎn)之間的距離公式求兩圓之間的距離，再與兩圓的半徑之和或差比較?！久}規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容一般以選擇題或填空題為主，難度不大，屬容易題。例、(2008全國卷文)原點(diǎn)到直線的距離為（ ）A1B C2 D解：原點(diǎn)為(0

9、，0)，由公式，得：，故選（）。點(diǎn)評：本題直接應(yīng)用點(diǎn)到直線的公式可求解，屬容易題。例、（湖南理）圓心為且與直線相切的圓的方程是 解：圓與直線相切，圓心到直線的距離為半徑，所以，所以，所求方程為：點(diǎn)評：直線與圓的位置關(guān)系問題是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，對于相切問題，經(jīng)常采用點(diǎn)到直線的距離公式求解。例、 (2008重慶理)圓O1：x2y22x0和圓O2：x2y24y0的位置關(guān)系是 ( )(A)相離(B)相交 (C)外切(D)內(nèi)切解：配方，得：圓O1：（x）2y2和圓O2：x2（y）2，圓心為（，），（，），半徑為r，圓心之間距離為：，因?yàn)?，所以，兩圓相交選（）點(diǎn)評：兩圓的位置關(guān)系有五種，通常是求兩圓心之間的

10、距離，再與兩圓的半徑之和或之差來比較，確定位置關(guān)系考點(diǎn)二 直線、圓的方程問題【內(nèi)容解讀】直線方程的解析式有點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、.截距式、一般式五種形式，各有特點(diǎn)，根據(jù)具體問題，選擇不同的解析式來方便求解。圓的方程有標(biāo)準(zhǔn)式一般式兩種；直線與圓的方程問題，經(jīng)常與其它知識相結(jié)合，如直線與圓相切，直線與直線平行、垂直等問題?！久}規(guī)律】直線與圓的方程問題多以選擇題與填空題形式出現(xiàn)，屬容易題。例、(2008廣東文)經(jīng)過圓的圓心C，且與直線x+y0垂直的直線方程是（ ）A B. C. D. 解：易知點(diǎn)C為，而直線與垂直，我們設(shè)待求的直線的方程為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方

11、程為,因此，選（.）。點(diǎn)評：兩直線垂直，斜率之積為，利用待定系數(shù)法求直線方程，簡單、方便。例、(2008山東文)若圓的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線和軸相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）ABCD解：設(shè)圓心為由已知得故選B.點(diǎn)評：圓與x軸相切，則圓心的縱坐標(biāo)與半徑的值相等，注意用數(shù)形結(jié)合，畫出草圖來幫助理解?？键c(diǎn)三 曲線（軌跡）方程的求法【內(nèi)容解讀】軌跡問題是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，常見的求軌跡方程的方法：（1）單動點(diǎn)的軌跡問題直接法 待定系數(shù)法；（2）雙動點(diǎn)的軌跡問題代入法；（3）多動點(diǎn)的軌跡問題參數(shù)法 交軌法。【命題規(guī)律】軌跡問題在高考中多以解答題出現(xiàn)，屬中檔題。例、（2008深圳福田模擬）已知

12、動圓過定點(diǎn)，且與直線相切.(1) 求動圓的圓心軌跡的方程；(2) 是否存在直線，使過點(diǎn)（0，1），并與軌跡交于兩點(diǎn)，且滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由.解：（1）如圖，設(shè)為動圓圓心， ，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，由題意知： 即動點(diǎn)到定點(diǎn)與到定直線的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)的軌跡為拋物線，其中為焦點(diǎn)， 為準(zhǔn)線， 動圓圓心的軌跡方程為 （2）由題可設(shè)直線的方程為由得 ， 設(shè)，則， 由，即 ，于是， 即， ，解得或（舍去）， 又， 直線存在，其方程為 點(diǎn)評：本題的軌跡問題采用拋物線的定義來求解，用圓錐曲線的定義求軌跡問題是經(jīng)常采用的方法，要求充分掌握圓錐曲線的定義，靈活應(yīng)用。例

13、、（2008廣州模擬）已知曲線上任意一點(diǎn)到兩個定點(diǎn)和的距離之和為4（1）求曲線的方程；（2）設(shè)過的直線與曲線交于、兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可知動點(diǎn)的軌跡為橢圓， 其中，則 所以動點(diǎn)M的軌跡方程為 （2）當(dāng)直線的斜率不存在時，不滿足題意 當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)， ， 由方程組得 則，代入，得即，解得，或所以，直線的方程是或點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，橢圓與向量結(jié)合的綜合題的解法。例、（2008廣東吳川模擬）已知點(diǎn)和圓C：，（1）求經(jīng)過點(diǎn)P被圓C截得的線段最長的直線的方程；（2）過P點(diǎn)向圓C引割線，求被此圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡。解：（1）化圓的方

14、程為： 圓心坐標(biāo)： 由題意可得直線經(jīng)過圓C的圓心，由兩點(diǎn)式方程得：化簡得：直線的方程是： PAxyCBM（2）解：設(shè)中點(diǎn) CMPM 是 有： 即： 化簡得： 故中點(diǎn)M的軌跡是圓在圓C內(nèi)部的一段弧。點(diǎn)評：合理應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的關(guān)鍵所在。要求掌握好平面幾何的知識，如勾股定理，垂徑定理等初中學(xué)過的知識要能充分應(yīng)用?？键c(diǎn)四 有關(guān)圓錐曲線的定義的問題【內(nèi)容解讀】圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義是經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容，除了在大題中考查軌跡時用到外，經(jīng)常在選擇題、填空題中也有出現(xiàn)?！久}規(guī)律】填空題、選擇題中出現(xiàn)，屬中等偏易題。例9、(2008上海文)設(shè)是橢圓上的點(diǎn)若是橢圓的兩個焦點(diǎn)，則等于（）A

15、4B5C8D10 解：由橢圓的定義知：故選（D）。點(diǎn)評：本題很簡單，直接利用橢圓的定義即可求解，屬容易題。例0、（2008北京理）若點(diǎn)到直線的距離比它到點(diǎn)的距離小1，則點(diǎn)的軌跡為（ ） A圓B橢圓C雙曲線D拋物線解: 把到直線向左平移一個單位，兩個距離就相等了，它就是拋物線的定義。故選（D）。點(diǎn)評： 本題考查拋物線的定義，將點(diǎn)P到x=-1的距離，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到x2的距離，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化與化歸的思想。例12、(2008海南、寧夏理)已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）A. （，1） B. （，1）C. （1，

16、2） D. （1，2）解：點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離等于點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離，如圖,故最小值在三點(diǎn)共線時取得，此時的縱坐標(biāo)都是，點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選A。點(diǎn)評：點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，利用拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線之間的距離，體現(xiàn)數(shù)學(xué)上的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，在數(shù)學(xué)問題中，經(jīng)常考查這種數(shù)學(xué)思想方法?？键c(diǎn)五 圓錐曲線的幾何性質(zhì)【內(nèi)容解讀】圓錐曲線的幾何性質(zhì)包括橢圓的對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率，雙曲線的對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和近近線，拋物線的對稱性、頂點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和準(zhǔn)線方程等內(nèi)容，離心率公式一樣：e，范圍不一樣，橢圓的離心率在（0,1）之間，雙曲線的離心率在（1，）之間，拋物線的離心率為1，【命題規(guī)律】例13、(

17、2008海南、寧夏文)雙曲線的焦距為（ ）A. 3B. 4C. 3D. 4解：因?yàn)閍，b，所以c2，2c4，故選（D）。點(diǎn)評：本題考查雙曲線中a、b、c之間的關(guān)系，焦距的定義，屬容易題。例14、(2008福建文、理)雙曲線的兩個焦點(diǎn)為，若P為其上的一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為（）解：如圖，設(shè)，當(dāng)P在右頂點(diǎn)處，點(diǎn)評：本題考查離心率的公式及其意義，另外也可用三角形的兩邊和大于第三邊,及兩邊差小于第三邊來求解,但要注意前者可以取到等號成立,因?yàn)榭梢匀c(diǎn)一線. 例15、(2008遼寧文) 已知雙曲線的一個頂點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則( ) A1B2C3D4解：取頂點(diǎn),一條漸近線為故選（D）

18、。點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線的漸近線方程，點(diǎn)到直線的距離公式問題?？键c(diǎn)六 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題【內(nèi)容解讀】能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實(shí)際問題；能夠把研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為研究方程組的解的問題；會利用直線與圓錐曲線方程所組成的方程組消去一個變量后，將交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及判別式解決問題；能夠利用數(shù)形結(jié)合法，迅速判斷某直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，但要注意曲線上的點(diǎn)的純粹性；涉及弦長問題時，利用弦長公式及韋達(dá)定理求解，涉及弦的中點(diǎn)及中點(diǎn)弦的問題，利用點(diǎn)差法較為簡便?！久}規(guī)律】直線與圓錐曲線位置關(guān)系涉及函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合，分

19、類討論、化歸等數(shù)學(xué)思想方法，因此這部分經(jīng)常作為高考試題的壓軸題，命題主要意圖是考查運(yùn)算能力，邏輯揄能力。例6、(2007年重慶)已知以，為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為（ ）（A）（B）（C）（D）解：設(shè)橢圓方程為，聯(lián)立方程組：消x得：10，192m24(16m1)（3mn)0，整理，得：即： ，又c2，由焦點(diǎn)在x軸上信，所以，4，聯(lián)立解得：，故長軸長為點(diǎn)評：直線與圓錐曲線只有一個交點(diǎn)時，經(jīng)常采用聯(lián)立方程組，消去一個未知數(shù)后，變成一元二次方程，由判別式來求解，但要注意，有時要考慮二次項(xiàng)的系數(shù)為0的特殊情況。例7、(2007年浙江)如圖，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記圖1的面積為（I

20、）求在，的條件下，的最大值；（II）當(dāng)，時，求直線的方程解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為由，解得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到最大值1（）解：由，得，1，AB2設(shè)到的距離為，則，又因?yàn)?，所以，代入式并整理，得，解得，代入式檢驗(yàn)，故直線的方程是，或，或，或點(diǎn)評:求圓錐曲線的弦長時，可利用弦長公式：AB來求解。例8、(2006上海卷)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；解：(1)由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1. 又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上, 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)線段PA的中點(diǎn)為M(x,y) ,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x0,y0)，由，得由,點(diǎn)P在橢圓上,得, 線段PA中點(diǎn)M的軌跡方程是.點(diǎn)評:涉及弦的中點(diǎn)問題，除用上述方法外，有時也聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用韋達(dá)定理，或運(yùn)用平方差法求解，但必須是以直線與圓錐曲線相交為前提。四、方法總結(jié)與2010年高考預(yù)測（一）方法總結(jié)1求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的a，b，p等.要充分認(rèn)識橢圓中參數(shù)a，b，c，e的意義及相互關(guān)系，在求標(biāo)準(zhǔn)方程時，已知條件常與這些