線性代數(shù)的幾何意義

1、線性代數(shù)的幾何意義注解線性代數(shù)是優(yōu)雅和有趣的一門學科，應(yīng)用也很多，只是目前多數(shù)線性代數(shù)教材似乎都偏重代數(shù)而較少涉及線性一詞包含的幾何意義，所以可能給人印象較抽象，不容易讓同學產(chǎn)生興趣，有幸在以前偶然一次看到一位工程師自編的一本小冊子叫線性代數(shù)的幾何意義，加上后來閱讀matlab作者的書籍，才發(fā)現(xiàn)原來線性代數(shù)的幾何含義真的印證了“數(shù)學之美”，的確很美，所以想借鑒這些零散的閱讀，加上自己后來的理解，把它的部分幾何意義注解一下，希望以前對線代沒有很多興趣的同學能喜歡上它，同時我也會保持更新，不斷完善，一起體會數(shù)學無與倫比的美麗矩陣的幾何意義1、 一個矩陣是由若干向量組成的，矩陣可以看作是這些向量的集

2、合或由這些向量為基張成的空間（在力學分析，向量空間應(yīng)用時常取此幾何含義，后文把此類幾何含義稱作矩陣的向量空間）如矩陣按照行向量可表示為如下形式2、 一個矩陣是由若干向量組成的，矩陣可以看作是這些向量終點組成的圖形（在計算機圖形學中常取此幾何表示，后文把此類幾何含義稱作矩陣的圖形），如矩陣按照列向量可表示為如下圖形如下圖是在matlab中將z=sin(x)*cos(y)算得的離散點組成的矩陣表示成幾何圖形注1：如果單獨查看一個矩陣，可以有兩種解讀：矩陣A由m個n維向量組成，或者由n個m維向量組成；在使用時會根據(jù)實際情或約定選擇其中一種，而在參與變換或其他運算時，這兩種解讀一般不能混淆，一定要確定

3、注2：當我們把矩陣表示成圖形時，其作圖沒有固定標準，并不一定是把所有向量終點連接起來構(gòu)成一個多邊形，規(guī)則是使用者制定的，可以是網(wǎng)格，可以是離散面片等行列式的幾何意義一個方陣的行列式的絕對值是其行向量或列向量所張成的平行幾何體的空間積，對于二階行列式，就是向量張成的平行四邊形的面積，對于三階行列式，就是對應(yīng)平行六面體的體積；如方陣的行列式絕對值為27，它就是下圖平行四邊形的面積注：行列式其實是帶有符號的，實際上，正負號表征了這些向量作為線性空間基的手性，正號表示右手系，負號表示左手系，在二階矩陣的向量空間里，其判別方法是，伸出右手和矩陣的第一個列向量或行向量平行，然后調(diào)整手的正反使得能從此向量轉(zhuǎn)

4、過小于180度的角到達第二個向量，這時大拇指如果朝上（從紙面指向自己）則為右手系，矩陣的行列式為正，反之則為左手系，對應(yīng)行列式為負；如果是三階矩陣，則從第一個向量轉(zhuǎn)向第二個向量時，如果大拇指指向第三個向量方向（不必重合），則為右手系，其行列式為正，反之為左手系，行列式為負；其實這一點上更廣義的表述應(yīng)是向量空間的基相對自然坐標系的順序性（代數(shù)上可用逆序數(shù)表達）克拉默法則的幾何意義以二維形式為例來說明其幾何意義:方程Ax=b，設(shè)A=，b=，待求的x=將A的兩個列向量分別表示為a1,a2，那么原方程可表示為a1+a2=b，這樣可以把與看作是列向量a1,a2的伸縮因子，經(jīng)過伸縮后再疊加即得到和向量b，

5、故原方程可以看作已知列向量被伸縮并疊加后的向量b，求伸縮因子我們已經(jīng)知道行列式的幾何意義，顯然矩陣A對應(yīng)的平行四邊形的面積就是|A|（這里以帶符號的有方向面積表示，因為伸縮因子也是有符號的），當某一個向量被伸縮后，如圖將OB邊伸長至OE，形成新的平行四邊形OAFE，記其面積為，這樣a1的伸縮因子可表示為，顯然只要求出即可解出未知量；圖中OG即向量b，因為它是a1，a2的線性疊加，所以G點必在EF的延長線上，這樣OG和OE相對OA邊的高就是相同的，故OA與OG組成的平行四邊形面積和OAFE相同，即=|b a2|，所以可求得=|b a2|/|A|，同理可得=|a1 b|/|A|，可以看出此表達式和

6、克拉默法則等價矩陣乘法的幾何意義我們知道矩陣是由若干向量組成的，因此可自然地把矩陣乘法看作是兩個矩陣的同維向量之間做內(nèi)積（或點乘），而內(nèi)積的意義是兩向量同向投影的乘積，但這只是一個表面的幾何含義，比較抽象（也有應(yīng)用之處，后面會提到）；實際上，對于矩陣乘法C=AB，作用后得到的新矩陣C可以看作是矩陣A經(jīng)過某種變換得到的，也可以看作是矩陣B經(jīng)過某種變換后得到的，而這種變換顯然就是乘以另一個矩陣的過程，結(jié)合前面提到的矩陣的幾何意義，故可以把矩陣乘法C=AB看作是圖形A（或B）經(jīng)過變換B（或A）后得到新圖形C，或者是向量空間A（或B）經(jīng)過變換B（或A）后得到新的向量空間C，對于簡單的變換矩陣這一點最容

7、易感性體會到；例如變換矩陣會把原3D圖形向x-y面投影，變換矩陣會把原圖形對x軸鏡像，變換矩陣會把原2D圖形相對原點逆時針旋轉(zhuǎn)30度。由于一些變換在復合作用時順序不同會影響變換結(jié)果，所以在這種情況下矩陣乘法是不可以左右交換的（因為靠近被變換對象的矩陣總是優(yōu)先作用），如下圖所示，對向量OA進行剪切變換與旋轉(zhuǎn)變換，OC是變換后的向量，可以看出兩種變換的作用順序不同則OC也不同，所以這兩種變換矩陣相乘就不能交換左右順序初等變換的幾何意義由前面敘述的部分幾何意義，我們很快就能看出初等變換的幾何含義了交換矩陣的兩行（列）：改變向量在矩陣中的排列順序，當矩陣表示圖形時，此操作對圖形沒有影響，因而矩陣張成的

8、空間維數(shù)（秩）不變，但是當矩陣代表向量空間時，會改變此坐標系的手性，當計算方陣的行列式時，會改變其符號；以一個非零數(shù)k乘矩陣的某一行（列）：即對矩陣中某一向量進行伸縮變換，整個矩陣代表的圖形對應(yīng)發(fā)生變化，由于k不能為0，所以矩陣張成空間的維數(shù)（秩）不變，方陣張成的平行幾何體的空間積（行列式）變成原來的k倍把矩陣的某一行（列）的k倍加于另一行（列）上：對矩陣中某一向量做線性疊加，且新向量終點總是在另一向量的平行線上，所以對任意矩陣，圖形產(chǎn)生了剪切變形，由于剪切變形不會使向量重疊或縮為0，所以張成空間的維數(shù)也不變；對于方陣，由前面幾何推導克拉默法則的過程知道，如果把某一向量加上矩陣內(nèi)另一向量的k倍

9、，由于新向量和原向量相對其余向量組成的平行體的高不變，所以方陣對應(yīng)的平行幾何體的空間積不變（行列式不變），例如在matlab中用矩陣作用下面左圖對應(yīng)的矩陣（第三行乘以0.2，即縮短z方向坐標5倍），得到的新圖形如下右圖所示Matlab程序如下，可以動手試一試，還可修改其中的變換矩陣以得到不同效果x=0:0.1:5;y=x;x y=meshgrid(x,y);%構(gòu)造網(wǎng)格z=sin(x).*cos(y).*x.*y;surf(x,y,z);%繪制原圖形x=reshape(x,2601,1);y=reshape(y,2601,1);z=reshape(z,2601,1);m=x y z;%幾何圖形對

10、應(yīng)的n*3矩陣t=1 0 0;0 1 0;0 0 0.2; %變換矩陣m=m*t;%進行變換x=m(:,1);y=m(:,2);z=m(:,3);x=reshape(x,51,51);y=reshape(y,51,51);z=reshape(z,51,51);figure;surf(x,y,z)%繪制變換后的圖形然后我們把變換矩陣修改為，即把第二行乘以2加到第一行，由上述分析知道這樣會把原圖形的沿y方向剪切變形，剪切量為對應(yīng)x坐標的二倍，實際效果如下圖所示，這里我們?nèi)「┮暯且杂^察x-y面的情形，從右圖可以看出理論分析是正確的（注意觀察變換前后的y向坐標值）矩陣秩的幾何意義矩陣的秩即矩陣的各向量

11、所張成空間的維數(shù)不能說秩是矩陣對應(yīng)圖形的維數(shù)，因為矩陣的圖形只取了各向量的終點，而不含有這些向量的之間的幾何關(guān)系，故二者的維數(shù)不一定相等，而矩陣的秩按定義應(yīng)取其向量空間維數(shù)。如下圖中的空間向量a,b,c可以張成一個三維空間，故矩陣(a b c)的秩為3，但是其終點組成的圖形是一平面，維數(shù)為2，顯然和秩是不一樣的結(jié)合上面對初等變換的幾何解釋，正是因為三種初等變換都不改變矩陣向量空間的維數(shù)，所以對于復雜的難以觀察維數(shù)的矩陣，我們可以先用初等變換作用于矩陣進行簡化，然后到容易觀察的形式時求出它的秩；向量組線性相關(guān)/無關(guān)的幾何意義注：在討論向量張成的空間相關(guān)問題時，某種程度上我們可以把向量組和矩陣等價

12、對待，二者都是一組向量的集合，只是向量組相對矩陣明確了向量的維數(shù)與向量個數(shù)，而矩陣有行與列兩種選擇，所以只要確定矩陣的向量取行還是列，就可以把矩陣當作向量組討論；線性相關(guān)在代數(shù)上就是一組向量中至少有一個向量能用其余向量線性表示，而幾何意義是它們所張成的向量空間維數(shù)少于這些向量的個數(shù)，這樣就至少存在一個向量落在其余向量形成的向量空間中，而向量空間實際上是一個坐標系統(tǒng)，所以處于其中的點（向量）都可以由這些向量定位出來（線性表示），在向量之間表現(xiàn)出一種相關(guān)性；而線性無關(guān)的幾何意義就是一組向量張成空間的維數(shù)等于這些向量的個數(shù)，這樣沒有任何一個向量落在其余向量形成的空間里，每一個向量對其余向量來說都是超

13、越自身空間維度的（獨立的），因而無法被定位（線性表示），表現(xiàn)成一種相互無關(guān)性以上圖棱錐為例，因為HI處于GH和GI所形成的面里，所以HI必然可以由這兩個向量表示，所以三者線性相關(guān)（三者形成的空間維數(shù)為23）；而HI在IG和IF形成的平面之外，所以H點無論如何都不能被GI和IF定位到，同時IF也不在IG和HI形成的平面里，IG不在IH和IF形成的平面里，同理可知它們之間不能線性表示，所以三者線性無關(guān)（三者形成的空間維數(shù)為3=向量個數(shù)）方程Ax=0的幾何意義由前面敘述容易看出此方程表示向量x與A的每一個行向量都垂直，或者說向量x垂直于矩陣A的行向量空間。這樣我們可以直接根據(jù)幾何意義得到結(jié)論：Ax=

14、0有非零解的充要條件是矩陣A的秩要小于x的維數(shù)n；這是因為對于確定維度的向量空間M，如果我們可以找出獨立于它的一維或多維空間N，則在空間N里的向量總是垂直于空間M；例如在直角坐標系O-xyz中，設(shè)A是x-y平面上的向量空間，x是空間向量，因為z維上的向量總是垂直于A，所以x在這一方向上存在無數(shù)非零解。反之若矩陣A的秩等于n，且x非零，則由于x也在n維空間內(nèi)，所以它和A中的行向量必然線性相關(guān)，無法獨立于A的行向量空間，所以這時僅有零解。當方程有非零解時，設(shè)A的向量空間維數(shù)為R（秩），由上敘述可知解向量x中存在n-R個分量取值自由，如果我們把這n-R個自由變量看作是一個n-R維空間中的向量坐標時，

15、顯然此空間中每一個向量都能確定原方程組的一個解，又因為每一個向量都可以用這個n-R維空間的一組單位正交基線性表示，所以這組單位正交向量所確定的一組解通過線性組合就可以表示出原方程的任意解，故這組解就是原方程的一個基礎(chǔ)解系，上述敘述也正是基礎(chǔ)解系的幾何意義方程Ax=b的幾何意義設(shè)A是m*n矩陣，x是n維向量，由前述幾何意義知道，如果b處于A的向量空間中（b和A的向量線性相關(guān)），則一定可以由A的向量線性表示，也即解存在，而b落在A的向量空間等價于b的維數(shù)小于等于向量空間A的維數(shù)，也可表述為R(A)=R(A b)=R，即A的秩等于增廣矩陣的秩，這種表達也是許多教科書中常用的。當R=n時，n維向量x的

16、每個分量都是線性表示的確定系數(shù)，故只有唯一解，而Rn時，向量空間有n-R個維度不存在，故這些維度上對應(yīng)的系數(shù)可任意（自由變量），這時存在無窮多解特征向量與特征值的幾何意義由于特征值較為抽象同時也很重要，所以這里會盡可能詳細地分析其幾何含義探究幾何含義對于確定的方陣A，如果存在向量x與數(shù)值，使得Ax=x，則定義為方陣A的特征值，稱x為方陣A的特征向量；由前面矩陣以及矩陣乘法的幾何含義知道，此等式說明向量x經(jīng)過矩陣A的變換等價于經(jīng)過因子的伸縮變換，所以特征向量和特征值可以如下概述：一個矩陣在對任意向量進行變換時，可能會存在一種特殊情形，即一些方向上的向量在變換后還是在此方向（和原向量共線），這些向

17、量就稱為這個矩陣的特征向量，對這些特征向量來說，變換矩陣完全可以用一個伸縮因子代替，這個伸縮因子就稱為對應(yīng)的特征值；注1：之所以說是可能存在，是因為一些矩陣的確沒有這類特殊情形，后文會介紹到注2：變換矩陣在這種情況下收縮為一個數(shù)值，如果用運動學思想類比，可以把向量的變換看作是其終點的運動（以原向量方向建系），矩陣作為運動約束，在特殊情況下，某些向量受到最大約束，這時只能在原向量方向上運動，終點的廣義坐標就只有一個，矩陣蘊含的新位置坐標有冗余，所以特征值可以對特征向量上的問題進行簡化，這在一些增長模型計算，系統(tǒng)分析中有很多實例應(yīng)用幾何含義可以很容易理解一些性質(zhì)，如定理：設(shè)是A的特征值，則是的特征

18、值；因為對特征向量進行多次A變換后仍然和此向量共線，而每一次作用都等價于伸縮倍，故,x始終是和對應(yīng)的特征值和特征向量，同理可知也是對應(yīng)的特征值。具有實特征值矩陣的特點對于單調(diào)變換矩陣，顯然如果矩陣A是一個縮放變換，那么對于任意方向的向量，變換后都是和原向量共線的，故都存實特征值而且相同，所以縮放變換矩陣具有任意方向的特征向量（在代數(shù)解中表現(xiàn)為解系），有一個實特征值（在代數(shù)解中表現(xiàn)為重根）；除此之外，變換一般會使原向量發(fā)生偏移，如旋轉(zhuǎn)變換，當旋轉(zhuǎn)角不是180度的整倍數(shù)時，顯然它是不存在特征向量的，以90度逆時針旋轉(zhuǎn)矩陣為例，它的特征值用代數(shù)解得到+i與-i，說明在實空間中的確是不存在的（注意如果在matlab中盡量不用普通角驗證，因為存在浮點計算誤差，哪怕數(shù)值誤差很小，但可能改變矩陣性質(zhì)，而mathematica在符號計算和表達上更好，所以對矩陣的精確研究建議使用mathematica）對于復合變換矩陣，存在實特征值的可能性就很大了，例如把一個向量先剪切變換，再旋轉(zhuǎn)某